人教b版選擇性必修第一冊(cè)1.2.4二面角作業(yè)

二面角A組基礎(chǔ)鞏固1．在三棱錐A－BCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1，n2，若＜n1，n2＞＝π3，則二面角A－BD－C的大小為 （CA．π3B．C．π3或2π3 D．解析：如圖所示，當(dāng)二面角A－BD－C為銳角時(shí)，它就等于＜n1，n2＞＝π3；當(dāng)二面角A－BD－C為鈍角時(shí)，它應(yīng)等于π－＜n1，n2＞＝π－π3＝2．已知平面α的一個(gè)法向量為n1＝32,12,-1，平面β的一個(gè)法向量為n2＝（1，－1，1），則平面α與β所成的角為A．30° B．45°C．60° D．90°解析：∵n1·n2＝0，∴α⊥β，∴α與β所成的角為90°．3．在一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為（0，－1，3），（2，2，4），則這個(gè)二面角的余弦值為 （D）A．156 B．－C．153 D．156或解析：∵(0,-1,3)·(2,4．把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，二面角B－AC－D的大小為 （D）A．30° B．45°C．60° D．90°解析：如圖所示，欲使得三棱錐體積最大，∵三棱錐底面積一定，∴只須三棱錐的高最大即可，即當(dāng)平面BAC⊥平面DAC時(shí)，三棱錐體積最大，∴當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐體積最大時(shí)，二面角B－AC－D的大小為90°．5．如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段EA⊥平面AC，若EA＝1，則平面ADE與平面BCE所成角的大小是 （B）A．120° B．45°C．150° D．60°解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則E（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），EB＝（1，0，－1），EC＝（1，1，－1）．設(shè)平面BCE的法向量為n＝（x，y，z），則有x-z=0,x+y-z=0,又平面EAD的一個(gè)法向量為AB＝（1，0，0），所以cos＜n，AB＞＝12×1＝22，故平面ADE與平面BCE6．已知兩平面的法向量分別為m＝（0，1，0），n＝（0，1，1），則兩平面所成的二面角的大小為

π4或3解析：cos＜m，n＞＝m·n|m||n|＝22，∴∴兩平面所成二面角的大小為π4或37．已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值等于23解析：延長(zhǎng)FE，CB相交于點(diǎn)G，連接AG，如圖所示．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，則GB＝BC＝3，作BH⊥AG于點(diǎn)H，連接EH，則∠EHB為所求二面角的平面角．∵BH＝322，EB＝1，∴tan∠EHB＝EBBH8．已知點(diǎn)A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），則平面ABC與平面xOy所成角的余弦值為27解析：由題意得AB＝（－1，2，0），AC＝（－1，0，3）．設(shè)平面ABC的法向量為n＝（x，y，z）．由n·AB令x＝2，得y＝1，z＝23，則平面ABC的一個(gè)法向量為n＝2，1，23．平面xOy的一個(gè)法向量為OC＝（0，0，3）．由此易求出所求銳二面角的余弦值為|n·OC9．如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于點(diǎn)F，F(xiàn)E∥CD，交PD于點(diǎn)E．（1）證明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D－AF－E的余弦值．解析：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PD⊥AD．又CD⊥AD，PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD．又PC?平面PCD，∴AD⊥PC．又AF⊥PC，AD∩AF＝A，∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF．（2）設(shè)AB＝1，則在Rt△PDC中，CD＝1，又∠DPC＝30°，∴PC＝2，PD＝3，∠PCD＝60°．由（1）知CF⊥DF，∴DF＝CDsin60°＝32CF＝CDcos60°＝12又FE∥CD，∴DEPD＝CFPC＝14，∴DE同理EF＝34CD＝3如圖所示，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，1），E34，0，0，F(xiàn)34，34，0，P（3，0，0），C（0，1，0）．設(shè)m＝（x，y，z）是平面AEF的一個(gè)法向量，則m又AE＝34，0，－1，EF＝0，34，0，∴m令x＝4，得m＝（4，0，3）．由（1）知平面ADF的一個(gè)法向量為PC＝（－3，1，0），設(shè)二面角D－AF－E的平面角為θ，可知θ為銳角，故cosθ＝|cos＜m，PC＞|＝|m·PC||故二面角D－AF－E的余弦值為25710．如圖，在四棱錐A－BCDE中，底面BCDE為平行四邊形，平面ABE⊥平面BCDE，AB＝AE，DB＝DE，∠BAE＝∠BDE＝90°．（1）求異面直線AB與DE所成角的大??；（2）求二面角B－AE－C的余弦值．解析：（1）設(shè)O是BE的中點(diǎn)，連接AO、DO，由AB＝AE，DB＝DE，得AO⊥BE，DO⊥BE，因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面BCDE，AO?平面ABE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，AO⊥BE，所以AO⊥平面BCDE，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－xyz，不妨設(shè)OA＝a，則A（0，0，a），B（0，－a，0），C（a，－2a，0），D（a，0，0），E（0，a，0），所以AB＝（0，－a，－a），DE＝（－a，a，0）．因此cos＜AB，DE＞＝AB·DE|AB||DE所以異面直線AB與DE所成的角為60°．（2）設(shè)平面ACE的法向量為n1＝（x，y，z）．因?yàn)锳E＝（0，a，－a），EC＝（a，－3a，0），所以n取y＝1，得x＝3，z＝1，所以n1＝（3，1，1）．又易知平面ABE的一個(gè)法向量為n2＝（1，0，0），因此cos＜n1，n2＞＝n1·n2|設(shè)二面角B－AE－C的平面角為θ，由圖形知θ是銳角，則cosθ＝311因此二面角B－AE－C的余弦值為311B組能力提升1．如圖，已知三棱錐ABC－A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，M是A1B1的中點(diǎn)，MB⊥AC，則二面角A1－BB1－C的余弦值為 （B）A．255 BC．12 D．解析：取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA1則AB⊥OC，AB⊥OA1，又∵OA1∥BM，BM⊥AC，∴OA1⊥AC，OA1⊥AB，AB∩AC＝A，∴OA1⊥平面ABC，建系如圖所示，設(shè)OA＝OB＝1，則OA1＝OC＝3，則平面ABB1的法向量為m＝（1，0，0）．B（0，1，0），C（－3，0，0），A1（0，0，3），M（0，1，3），B1（0，2，3）．則BC＝（－3，－1，0），BB1＝（0，1，3設(shè)平面BB1C的法向量為n＝（x，y，z），則n·BC令x＝1，得n＝（1，－3，1），cos＜m，n＞＝m·n|m||2．如圖所示，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，則二面角C－BF－D的正切值為 （D）A．36 B．C．33 D．解析：如圖所示，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連接OF．因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以O(shè)B⊥OC，O為AC的中點(diǎn)，又F是PC的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥AP，所以O(shè)F⊥平面ABCD，所以O(shè)B，OC，OF兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OF所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz．設(shè)PA＝AD＝AC＝1，則BD＝3，所以O(shè)（0，0，0），B32，0，0，F(xiàn)0，0，12，C（0，12，0），OC＝0，12，0，易知OC為平面BDF的一個(gè)法向量，由BC＝－32，12，0，F(xiàn)B＝32，0，－12，可得平面BCF的一個(gè)法向量為n＝（1，3，3）．所以cos＜n，OC＞＝217，sin＜n，OC＞＝277，所以tan＜n，OC＞＝233．故二面角C－BF－D3．如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折成大小等于θ的二面角B'－AC－D，M，N分別為AC，B'D的中點(diǎn)，若θ∈π3,2π3，則線段MN長(zhǎng)度的取值范圍為 A．24,6C．13,33 D．[解析：連接B'M，DM，得AC⊥B'M，AC⊥DM，∴∠DMB'是二面角B'－AC－D的平面角，且B'M＝DM＝22在等腰△DMB'中，MN⊥B'D，且∠DMN＝12∠DMB'＝12θ，θ∈則MN＝DMcos12θ∈2∴線段MN長(zhǎng)度的取值范圍為244．（多選題）如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為線段AA1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為線段B1C1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則平面EFB與底面ABCD所成的銳二面角的平面角余弦值可能為 （ABCD）A．13 B．C．23 D．解析：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為線段AA1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為線段B1C1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)F與B1重合時(shí)，平面EFB即為平面ABB1A，此時(shí)平面EFB與底面ABCD所成的二面角的平面角為90°，余弦值為0，當(dāng)E與A重合，F(xiàn)與C1重合時(shí)，平面EFB是平面ABC1D1，此時(shí)平面EFB與底面ABCD所成的銳二面角的平面角為45°，余弦值為22∴平面EFB與底面ABCD所成的銳二面角的平面角余弦值的取值范圍是0,5．若二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的距離分別為5和8，兩垂足間的距離為7，則這個(gè)二面角的大小是120°．解析：設(shè)二面角大小為θ，由題意可知cos（π－θ）＝82+52-所以θ＝120°．6．如圖所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一點(diǎn)，且VA＝VB＝VC＝AB，則二面角A－VB－C的余弦值為－13解析：取VB的中點(diǎn)為E，連接AE，CE．∵VA＝VB＝VC＝AB，ABCD為正方形，∴AE⊥VB，CE⊥VB．∴∠AEC是二面角A－VB－C的平面角．設(shè)AB＝a，連接AC，在△AEC中，AE＝EC＝32a，AC＝2a，由余弦定理可知cos∠AEC＝32a2+∴所求二面角A－VB－C的余弦值為－137．如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB＝BE＝2．（1）求證：EG∥平面ADF；（2）求二面角O－EF－C的正弦值；（3）設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH＝23HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值解析：依題意，OF⊥平面ABCD，取CD、AD的中點(diǎn)M和N，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)M、ON、OF的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得O（0，0，0），A（－1，1，0），B（－1，－1，0），C（1，－1，0），D（1，1，0），E（－1，－1，2），F(xiàn)（0，0，2），G（－1，0，0）．（1）證明：依題意，AD＝（2，0，0），AF＝（1，－1，2）．設(shè)n1＝（x，y，z）為平面ADF的法向量，則n1·AD=0,n1·AF=0,即2x=0,x-y+2z=0.不妨設(shè)z＝1，可得n1＝（0，2，1）．又EG＝（0，1，－2（2）易證，OA＝（－1，1，0）為平面OEF的一個(gè)法向量．依題意，EF＝（1，1，0），CF＝（－1，1，2）．設(shè)n2＝（x'，y'，z'）為平面CEF的法向量，則n2·EF=0,n2·CF=0,即x'+y'=0,-因此有cos＜OA，n2＞＝OA·n2|于是sin＜OA，n2＞＝33所以二面角O－EF－C的正弦值為33（3）由AH＝23HF，得AH＝25AF．因?yàn)锳F＝（1，－1，2），所以AH＝25AF＝25,-25,4因此cos＜BH，n2＞＝BH·n2|所以直線BH和平面CEF所成角的正弦值為7218．如圖所示，在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F(xiàn)分別在線段BC，AD上（異于端點(diǎn)），EF∥AB．將四邊形ABEF沿EF折起，連接AD，AC，BC．（1）若BE＝3，在線段AD上取一點(diǎn)P，使AP＝12PD，求證：CP∥平面ABEF（2）若平面ABEF⊥平面EFDC，且線段FA，F(xiàn)C，F(xiàn)D的長(zhǎng)成等比數(shù)列，求平面EAC和平面ACF夾角的大?。馕觯海?）證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AB，BE＝3，∴AF＝3．又AD＝6，BC＝4，∴EC＝1，F(xiàn)D＝3，在線段AF上取點(diǎn)Q，使AQ＝12QF，連接PQ，QE∵AP＝12PD，∴PQ13∵CE13DF，∴CEPQ∴四邊形ECPQ為平行四邊形，∴CP∥EQ，∵CP?平面ABEF，EQ?平面ABEF，∴CP∥平面ABEF．（2）在梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥EF，∴EF⊥AF，EF⊥FD，∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF，AF?平面ABEF，∴AF⊥平面EFDC．設(shè)FA＝x（0＜x＜4），∵EF＝AB＝2，∴FD＝6－x，EC＝4－x，∴FC＝4+(∵線段FA，F(xiàn)C，F(xiàn)D的長(zhǎng)成等比數(shù)列，∴FC2＝FA·FD，即4＋（4－x）2＝x（6－x），化簡(jiǎn)得x2－7x＋10＝0，∴x＝2或x＝5（舍去）．以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)E，F(xiàn)D，F(xiàn)A所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，