2023年高考數(shù)學壓軸題-圓錐曲線專題第03講：面積問題二（解析版）

第二講：面積問題（二）【學習目標】基礎目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質，三角形，四邊形面積的推導過程；應用目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的弦長公式，點到直線距離公式的應用，并能夠熟練使用求解面積；拓展目標：能夠熟練應用弦長和點到直線距離公式，求解圓錐曲線面積定值等問題.素養(yǎng)目標：通過數(shù)形結合，轉化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨立思考和邏輯分析能力，提升學生的數(shù)學運算和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).【基礎知識】1、面積范圍首選均值不等式，其實用二次函數(shù)，最后選導數(shù)均值不等式變式：作用：當兩個正數(shù)的積為定值時求出這兩個正數(shù)的和的最小值；當兩個正數(shù)的和為定值時求出這兩個正數(shù)的積的最大值注意：應用均值不等式求解最值時，應注意“一正二定三相等”2、面積比值通過兩個三角形面積的作比，尋找等底或等高情況，將面積問題轉化為底邊長度或高度的比值，進行坐標或向量進行求解.【考點剖析】考點一：三角形面積最值例1．已知橢圓與的正半軸交于點，且離心率.(1)求橢圓的方程；(2)若直線過點與橢圓交于兩點，求面積的最大值并求此時的直線方程.【答案】(1)；(2)；解析：(1)橢圓與軸的正半軸交于點，則，則?橢圓?的方程為:(2)當直線的斜率為0時，三點共線，顯然不滿足題意.當直線的斜率不為0時，設代入，得到?設令令，在?單調遞增，當為最大，此時的方程為:變式訓練1：已知橢圓與拋物線有相同的焦點.(1)求橢圓的方程；(2)為坐標原點，過焦點的直線交橢圓于，兩點，求面積的最大值.【答案】(1)；(2)解析：（1）橢圓與拋物線有相同的焦點，即且，，橢圓的方程為：.（2）由（1）可知的坐標為.顯然的斜率不為0.設直線的方程為：，設，.聯(lián)立,可得,恒成立，，,,.當且僅當,即時取等號,面積的最大值為.例2．已知點是拋物線上的動點，過點的直線與拋物線交于另一點．(1)當?shù)淖鴺藶闀r，求點的坐標；(2)已知點，若為線段的中點，求面積的最大值．【答案】(1)；(2)2解析：(1)當?shù)淖鴺藶闀r，則，所以，所以拋物線的方程為：，由題意可得直線的方程為：，即，代入拋物線的方程可得解得（舍）或6，所以，的坐標為(2)法一：設直線的方程：，即，設直線與軸的交點為，，，由可得，，，因為為線段的中點，所以令，，即，所以則的面積，把代入上式，，當時，，所以的面積的最大值為2．（2）法二：可得，，，因為為線段的中點，所以，設點到直線的距離為，則，把代入上式，，所以，當時，的面積的最大值為2變式訓練2：已知橢圓的中心是坐標原點O，左右焦點分別為，，設P是橢圓C上一點滿足軸，，橢圓C的離心率為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)過橢圓C左焦點且不與軸重合的直線與橢圓相交于兩點，求內切圓半徑的最大值.（參考公式：已知的三邊分別是，且內切圓的半徑是，則的面積）.【答案】(1)；(2)解析：(1)設,由題意是橢圓上一點，滿足軸，，離心率為．∴，解得．∴橢圓的標準方程為；(2)由（1）可知，的周長為，設直線為，由，得．設，則，．∴∴，令內切圓的半徑為，則，即，令，則，當且僅當，即時等號成立，∴當時，取得最大值，即內切圓半徑的最大值.例3．已知圓：，圓：，一動圓與圓和圓同時內切.(1)求動圓圓心的軌跡方程；(2)設點的軌跡為曲線，兩互相垂直的直線，相交于點，交曲線于，兩點，交圓于，兩點，求與的面積之和的取值范圍.【答案】(1)；(2)解析：(1)由：，得，可知，其半徑為，由：，得，可知，其半徑為.設動圓半徑為，動圓圓心到的距離為，到的距離為，則有或，即，得，又，所以動圓圓心的軌跡是以，為焦點的雙曲線，由，可得.所以動圓圓心的軌跡方程為.(2)①當直線的斜率存在時，由題意，，設：，與雙曲線聯(lián)立，由于其于雙曲線有兩個不同的交點，所以，得且，且.設：，即.設圓到直線的距離為，則，因為交圓于，兩點，故，得.且，由題意可知,所以，因為，可得.②當直線的斜率不存在時，，，所以，所以.變式訓練3：已知點，點為直線上的動點，過作直線的垂線，線段的中垂線與交于點.(1)求點的軌跡的方程；(2)若過點的直線與曲線交于，兩點，求與面積之和的最小值.（為坐標原點）【答案】(1)；(2)解析：(1)如圖所示，由已知得點為線段中垂線上一點，即，即動點到點的距離與點到直線的距離相等，所以點的軌跡為拋物線，其焦點為，準線為直線，所以點的軌跡方程為，(2)如圖所示：設，點，，聯(lián)立直線與拋物線方程，得，，，，，，所以，當且僅當，即，時取等號，此時，即，所以當直線直線，時取得最小值為.考點二：四邊形面積最值例1．已知橢圓的一個焦點為，經(jīng)過點，過焦點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB中點為D，O為坐標原點，過O，D的直線交橢圓于M，N兩點.(1)求橢圓C的方程；(2)四邊形AMBN面積是否有最大值，若有求最大值，若沒有請說明理由.【答案】(1)；(2)解析：(1)由題意可得，解得,故橢圓的方程為.(2)當直線斜率不存在時,的坐標分別為,四邊形面積為；當直線斜率存在時,設其方程為，點,點到直線的距離分別為，則四邊形面積為,由得,則，所以，因為所以中點,當時,直線方程為,解得所以.當時,四邊形面積的最大值綜上四邊形面積的最大值為.變式訓練1：已知定點，圓：，點Q為圓上動點，線段MQ的垂直平分線交NQ于點P，記P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點M與N作平行直線和，分別交曲線C于點A，B和點D，E，求四邊形ABDE面積的最大值．【答案】(1)；(2)6解析：(1)由題意可得，所以動點P的軌跡是以M，N為焦點，長軸長為4的橢圓，即曲線C的方程為：；(2)由題意可設的方程為，聯(lián)立方程得，設，，則由根與系數(shù)關系有，所以，根據(jù)橢圓的對稱性可得，與的距離即為點M到直線的距離，為，所以四邊形ABDE面積為，令得，由對勾函數(shù)性質可知：當且僅當，即時，四邊形ABDE面積取得最大值為6．例2．已知拋物線上的點到焦點的距離等于圓的半徑．(1)求拋物線的方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線與，直線交于，兩點，直線交于，兩點，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)；(2)解析：（1）由題設知，拋物線的準線方程為，由點到焦點的距離等于圓的半徑，而可化為，即該圓的半徑為，所以，解得，所以拋物線的標準方程為；（2）由題意可知，直線與直線的斜率都存在，且焦點坐標為，因為，不妨設直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，得，恒成立．設，，則，，所以，同理，得，所以四邊形的面積，（當且僅當時等號成立）所以四邊形的面積的最小值是．變式訓練2：已知拋物線的焦點為，拋物線上的點的橫坐標為1，且.(1)求拋物線的方程；(2)過焦點作兩條相互垂直的直線（斜率均存在），分別與拋物線交于?和?四點，求四邊形面積的最小值.【答案】(1)；(2)2解析：(1)由已知知：，解得，故拋物線的方程為：.(2)由（1）知：，設直線的方程為：，、，則直線的方程為：，聯(lián)立得，則，所以，，∴，同理可得，∴四邊形的面積，當且僅當，即時等號成立，∴四邊形面積的最小值為2.考點三：面積比值（求解）例1．已知橢圓的右焦點為，上頂點為，為坐標原點，，點在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)設經(jīng)過點且斜率不為0的直線與橢圓相交于兩點，點，．若分別為直線，與軸的交點，記，的面積分別為，，求的值．【答案】(1)；(2)解析：（1）由，得（c為半焦距），∵點在橢圓E上，則．又，解得，，．∴橢圓E的方程為．（2）由（1）知．設直線，，．由消去x，得．顯然．則，．∴．由，，得直線AP的斜率，直線的斜率．又，，，∴．∴．∵．∴．變式訓練1：已知橢圓的左、右焦點分別為，，實軸長為，且斜率為的直線與橢圓C交于A，B兩點，且AB的中點為.(1)求橢圓C的方程；(2)若橢圓C的左、右頂點分別為，，點P，Q為橢圓上異于，的兩點，且以P，Q為直徑的圓過點，設，的面積分別為，，計算的值.【答案】(1)；(2)4解析：(1)設點，，代入橢圓C的方程得，，兩式相減得，即，所以.因為，，解得，，所以橢圓C的方程為.；(2)根據(jù)題意可知直線PQ的斜率一定存在，設直線PQ的方程為，點，，聯(lián)立，消去y并整理得.，，，.，，則，整理得，解得或.當時，直線PQ的方程為，不符合題意；當時，直線PQ的方程為，過定點，，，.考點四：已知面積比值（求參）例1．已知點M是橢圓C：上一點，，分別為橢圓C的上、下焦點，，當，的面積為5.(1)求橢圓C的方程：(2)設過點的直線和橢圓C交于兩點A，B，是否存在直線，使得與（O是坐標原點）的面積比值為5：7.若存在，求出直線的方程：若不存在，說明理由.【答案】(1)；(2)存在，解析：(1)由,由,,故,∴,∴,∴，即橢圓的標準方程為.(2)假設滿足條件的直線存在，當直線的斜率不存在時，不合題意，不妨設直線：，，，顯然，聯(lián)立，得，所以，因為S△OAF2=1即（3），由（1），（3），得（4），將（1）（4）代入（3）得，所以直線的方程為，故存在直線，使得與的面積比值為5：7.變式訓練1：已知橢圓的焦距為4，點在G上.(1)求橢圓G的方程；(2)過橢圓G右焦點的直線l與橢圓G交于M，N兩點，O為坐標原點，若，求直線l的方程.【答案】(1)；(2).解析：(1)橢圓的焦距是4，所以焦點坐標是，.因為點在G上，所以，所以，.所以橢圓G的方程是.(2)顯然直線l不垂直于x軸，可設l的方程為，，，將直線l的方程代入橢圓G的方程，得，則，.因為，所以，則，即，由，得，.所以，解得，即，所以直線l的方程為.變式訓練2：已知圓，圓，動圓與圓外切，且與圓內切.(1)求動圓圓心的軌跡的方程，并說明軌跡是何種曲線；(2)設過點的直線與直線交于兩點，且滿足的面積是面積的一半，求的面積．【答案】(1)；(2)或解析：(1)圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設圓的半徑為，由題意，，所以，由橢圓的定義可知，動圓圓心的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，則，所以，所以動圓圓心的軌跡的方程為；(2)由題意，直線的斜率存在且不為0，設，，由，可得，所以①，②，且，即，因為的面積是面積的一半，所以點為線段的中點，所以，即③，聯(lián)立①②③可得，所以，因為到直線AB的距離，，所以，所以當時，，當時，.所以的面積為或.考點五：面積比值（證明）例1．在平面直角坐標系中，已知點到的距離與到直線的距離相等，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)為坐標原點，軌跡上兩點、處的切線交于點，在直線上，、分別交軸于、兩點，記和的面積分別為和．試探究：是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由．【答案】(1)；(2)為定值解析：(1)點到直線的距離與到的距離相等，的軌跡為拋物線，且焦點為，準線為直線，設軌跡的方程為，則，可得，所以，曲線的方程為．(2)設點、、，拋物線方程為，即，所以．則的方程為：，即，同理的方程為：．聯(lián)立、方程得，，在直線的方程中，令可得，即點，同理可得點，則，可得，易知，則直線的斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由韋達定理可知，所以，則直線的方程為，故直線過定點．所以，，因此，，故為定值.變式訓練1：已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，過左焦點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，的周長為8．(1)求橢圓C的標準方程；(2)如圖，，是橢圓C的短軸端點，P是橢圓C上異于點，的動點，點Q滿足，，求證與的面積之比為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析解析：(1)∵的周長為8，∴，即，∵離心率，∴，，∴橢圓C的標準方程為．(2)方法一：設，則直線斜率，∵，∴直線斜率，∴直線的方程為：，同理直線的方程為：，聯(lián)立上面兩直線方程，消去y，得，∵在橢圓上，∴，即，∴，∴所以與的面積之比為定值4．方法二：設直線，的斜率分別為k，，點，，則直線的方程為，∵，∴直線的方程為，將代入，得，∵P是橢圓上異于點，的點，∴，又∵，即，∴，即，由，得直線的方程為，聯(lián)立得，∴所以與的面積之比為定值4．變式訓練2：已知為坐標原點，橢圓的右頂點為，離心率為.動直線與相交于兩點，點關于軸的對稱點為，點到的兩焦點的距離之和為.(1)求的標準方程；(2)若直線與軸交于點，的面積分別為，問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)；(2)為定值，定值為1解析：(1)因為點在橢圓上，由橢圓的對稱性，點關于x軸的對稱點為也在橢圓上，再由點到的兩焦點的距離之和為可得，即，又橢圓的離心率，所以，可得，所以橢圓的方程為：；(2)為定值，且定值為1，證明如下：設，則，聯(lián)立，整理可得：，則，直線的方程為：，令，可得；所以當變化時直線與軸交于定點，所以，即為定值，且定值為.考點六：面積比值（范圍）例1．已知焦點在軸上的橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，離心率為，的面積為．(1)求橢圓的標準方程．(2)若過點的直線與該橢圓交于，兩點，與分別表示和的面積，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)解析：(1)設所求橢圓的方程為，因為離心率為，的面積為，可得，解得，所以橢圓的方程為.(2)設，，直線為，聯(lián)立方程組，整理得，則且，，可得，，兩式相除得，令，則，解得，又由，即的取值范圍．變式訓練1：．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，且雙曲線的實軸長為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）若曲線與在第一象限的交點為，求證：.（3）過右焦點的直線與雙曲線的右支相交于的，兩點，與橢圓交于，兩點.記，的面積分別為，，求的最小值.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）最小值為.解析：（1）因為橢圓與雙曲線有共同的焦點，，且雙曲線的實軸長為，所以解之得雙曲線的標準方程為（2）聯(lián)立方程組解之得所以點，，，∴（3）當直線的斜率不存在時，，，此時當直線的斜率存在時，設方程為代入橢圓方程得，由弦長公式得把直線方程代入雙曲線方程得由弦長公式得因為直線與雙曲線的右支相交于的，兩點，所以設原點到直線的距離為，∴綜上可知，的最小值為.變式訓練2：設O為坐標原點，動點P在圓上，過點P作軸的垂線，垂足為Q且.(1)求動點D的軌跡E的方程；(2)直線與圓相切，且直線與曲線E相交于兩不同的點A、B，T為線段AB的中點.線段OA、OB分別與圓O交于M、N兩點，記的面積分別為，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).解析：(1)設點，則，因，則有，又點P在圓上，即，所以動點D的軌跡E的方程是.(2)當直線的斜率存在時，設其方程為：，因直線與圓相切，則，即，而時，直線與橢圓E相切，不符合題意，因此，由消去x并整理得：，設，則，而點T是線段AB中點，則有：，令，則，而，當，即時，，當，即時，，而，于是得，當直線的斜率不存在時，直線，，此時，所以的取值范圍是.【當堂小結】1、知識清單：（1）橢圓，雙曲線，拋物線弦長公式；（2）弦長最值的基本不等式求解；（3）交點坐標的求解和非弦長的計算；（4）面積比值轉化為底邊或高線的比值；2、易錯點：基本不等式的應用；3、考查方法：基本不等式，數(shù)形結合思想，數(shù)與形的轉化；4、核心素養(yǎng)：數(shù)學運算，數(shù)學抽象.【過關檢測】1．已知橢圓的離心率為，點是橢圓上一點.(1)求的方程；(2)設過點的動直線與橢圓相交于兩點，為坐標原點，求面積的取值范圍.【答案】(1)；(2).解析：(1)由題設知，解得.∴橢圓的方程為；(2)當軸時不合題意，故可設，則，得.由題意知，即，得.從而.又點O到直線的距離，∴，令，則，，，所求面積的取值范圍為.2．已知橢圓，過定點的直線交橢圓于兩點，其中.(1)若橢圓短軸長為且經(jīng)過點，求橢圓方程；(2)對（1）中的橢圓，若，求面積的最大值，并求此時直線的方程；【答案】(1)；(2)面積的最大值為，或解析：（1）橢圓短軸長為，，解得：；橢圓方程為；點在橢圓上，，解得：，橢圓方程為.（2）由題意可設直線，，，由得：，，，，（當且僅當，即時取等號），面積的最大值為，此時直線的方程為：或.3．如圖所示：已知橢圓：的長軸長為4，離心率．是橢圓的右頂點，直線過點交橢圓于，兩點，記的面積為．(1)求橢圓的標準方程；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2).解析：(1)由題意可得：，，離心率，則，，橢圓的方程為：；(2)依題意知直線的斜率可能不存在，但直線的斜率不能為0，則設直線方程為：，設，，，，由，得，恒成立則，，則，又點到直線的距離，，令，則當且僅當，即，等號成立，取等條件不成立，故當時，時，故．即的最大值為.4．已知圓，圓，動圓與圓內切，與圓外切.為坐標原點.(1)若求圓心的軌跡的方程.(2)若直線與曲線交于、兩點，求面積的最大值，以及取得最大值時直線的方程.【答案】(1)；(2)，解析：（1）設動圓的半徑為，依題意有，，．所以軌跡是以，為焦點的橢圓，且，，所以，當點坐標為橢圓右頂點時，不符合題意，舍去．所以軌跡的方程．（2）設，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，所以，，，得，設原點到直線的距離為，所以，所以，令，則，所以，當且僅當時，等號成立，即當時，面積取得最大值，此時直線方程為．5．如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為，，設是第一象限內橢圓C上的一點，的延長線分別交橢圓C于點．當時，的面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)分別記和的面積為和，求的最大值．【答案】(1)；(2)解析：(1)設，則，的面積為，解得，在中，，由余弦定理，即，所以，則，橢圓C的方程為．(2)設點P的坐標為，則直線的方程為，將其代入橢圓方程中可得，所以，所以，同理可求得，，，，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為.6．已知拋物線的焦點到準線的距離為2.(1)求C的方程：(2)過C上一動點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，求四邊形PAMB面積的最小值.【答案】(1)；(2)解析：(1)因為C的焦點為，準線為，由題意得，即，因此.(2)圓M的圓心為，半徑為1.由條件可知，，且，于是.設，則.當時等號成立，所以四邊形PAMB面積的最小值為.7．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，當以為始邊，為終邊的角時，.(1)求的方程(2)過點的直線交于兩點，以為直徑的圓平行于軸的直線相切于點，線段交于點，求的面積與的面積的比值【答案】(1)；(2)解析：(1)由題意，拋物線，可得其準線方程，如圖所示，過點作，垂足為，過點作，垂足為，因為時，，可得，又由拋物線的定義，可得，解得，所以拋物線的方程為.(2)由拋物線，可得，設，因為直線的直線過點，設直線的方程為聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，因為為的中點，所以，由拋物線的定義得，設圓與直線