高中數(shù)學二章隨機變量其分布23離散型隨機變量的均值與方差232離散型隨機變量的方差

失散型隨機變量的方差知識點方差、標準差的定義及方差的性質(zhì)設失散型隨機變量X的散布列為Xx1x2xixnPp1p2inppn01∑i－EX2iX的方差，其算術平方根DX為隨機變量X則稱D(X)＝□xp為隨機變量i＝102的□標準差．隨機變量的方差和標準差都反應了隨機變量取值偏離于均值的□03均勻程度，方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的□04均勻程度越?。R點兩點散布與二項散布的方差XX聽從兩點散布～(，)XBnp( )0102□p(1－p)(此中p為成功概率)□np(1－p)DX方差的性質(zhì)：D(aX＋b)＝a2D(X)，D(C)＝0(C是常數(shù))．1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)失散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩(wěn)固．( )(2)若a是常數(shù)，則D(a)＝0.( )(3)失散型隨機變量的方差反應了隨機變量偏離于希望的均勻程度．( )答案(1)×(2)√(3)√2．做一做若隨機變量X聽從兩點散布，且成功的概率p＝0.5，則E(X)和D(X)分別為________．1設隨機變量ξ～B6，2，則D(ξ)＝________.假如X是失散型隨機變量，Y＝3X＋2，那么D(Y)＝________D(X)．答案3(1)0.5和0.25(2)(3)92分析(1)因為X聽從兩點散布，所以X的概率散布為X01P所以E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D(X)＝0.52×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25.1因為隨機變量ξ～B6，2，13所以D(ξ)＝6×2×1－2＝2.(3)因為X是失散型隨機變量，Y＝3X＋2呈線性關系，代入公式，則D(Y)＝32D(X)＝9D(X)．研究1方差及標準差的計算例1已知隨機變量X的散布列為X010205060P1212135151515求X的方差及標準差；設Y＝2X－E(X)，求D(Y)．12121[解](1)E(X)＝0×3＋10×5＋20×15＋50×15＋60×15＝16，2122212221D(X)＝(0－16)×3＋(10－16)×5＋(20－16)×15＋(50－16)×15＋(60－16)×15384.DX＝86.∵Y＝2X－E(X)，D(Y)＝D(2X－E(X))＝4D(X)＝4×384＝1536.拓展提高求方差和標準差的重點是求散布列，只需有了散布列，就能夠依照定義求數(shù)學希望，進而求出方差、標準差，同時還要注意隨機變量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．[追蹤訓練1]已知隨機變量ξ的散布列以下表：ξ－101P111236求ξ的均值、方差和標準差；設η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η)．解1111(1)均值E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×6＝－；233方差D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋(x3－E(ξ))2·p3＝5；標準差Dξ95＝3.720(2)E(η)＝2E(ξ)＋3＝3；D(η)＝4D(ξ)＝9.研究2兩點散布與二項散布的方差例2(1)籃球競賽中每次罰球命中得1分，不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求他一次罰球得分的方差；將一枚硬幣連續(xù)投擲5次，求正面向上的次數(shù)的方差；(3)老師要從10名同學中隨機抽3名同學參加社會實踐活動，此中男同學有6名，求抽到男同學人數(shù)的方差．[解](1)設一次罰球得分為X，X聽從兩點散布，即X01P∴D(X)＝p(1－p)＝0.7×0.3＝0.21.(2)設正面向上的次數(shù)為，則～B5，1，YY211D(Y)＝np(1－p)＝5×2×2＝1.25.設抽到男同學的人數(shù)為ξ.聽從超幾何散布，散布列為ξ012303122130CCCCCCCCP646464643333C10C10C10C10即ξ0123P1311301026∴E(ξ)＝0×1＋1×3＋2×1＋3×1＝0.3＋1＋0.5＝1.8，30102621232121D(ξ)＝(0－1.8)×30＋(1－1.8)×10＋(2－1.8)×2＋(3－1.8)×6＝0.56.拓展提高解決此類問題的第一步是判斷隨機變量ξ聽從什么散布，第二步代入相應的公式求解．若ξ聽從兩點散布，則D(ξ)＝p(1－p)；若ξ聽從二項散布，即ξ～B(n，p)，則D(ξ)＝np(1－p)．[追蹤訓練2](1)若隨機變量X的散布列以下表所示X01P則E(X)＝________，D(X)＝________；2(2)若隨機變量X～B(3，p)，D(X)＝3，則p＝________.12答案(1)0.60.24(2)3或3分析(1)∵E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D(X)＝0.6×(1－0.6)＝0.6×0.4＝0.24.∵X～B(3，p)，∴D(X)＝3p(1－p)，2由3p(1－p)＝3，2得p＝3或p＝3.研究3方差的實質(zhì)應用例3有甲、乙兩名同學，據(jù)統(tǒng)計，他們在解答同一份數(shù)學試卷時，各自的分數(shù)在80分，90分，100分的概率散布大概以下表所示：試剖析甲、乙兩名同學誰的成績好一些．[解]在解答同一份數(shù)學試卷時，甲、乙兩人成績的均值分別為E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90.方差分別為D(X甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，D(X乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80.由上邊數(shù)據(jù)，可知E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)<D(X乙)．這表示甲、乙兩人所得分數(shù)的均值相等，但兩人的分數(shù)的穩(wěn)固程度不一樣，甲同學分數(shù)較穩(wěn)固，乙同學分數(shù)顛簸較大，所以甲同學的成績較好．拓展提高失散型隨機變量的均值反應了失散型隨機變量取值的均勻水平，而方差反應了失散型隨機變量取值的穩(wěn)固與顛簸、集中與失散的程度．所以，在實質(zhì)決議問題中，需先計算均值，看一下誰的均勻水平高，而后再計算方差，剖析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)固．所以，在利用均值和方差的意義去剖析解決實質(zhì)問題時，二者都要剖析．[追蹤訓練3]甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個互相獨立的隨機變量ξ與η，且ξ，η的散布列為：ξ123Paη123P0.3b0.3求a，b的值；計算ξ，η的希望與方差，并依此剖析甲、乙技術情況．解(1)由失散型隨機變量散布列的性質(zhì)得a＋0.1＋0.6＝1，解得＝0.3；a同理0.3＋b＋0.3＝1，解得b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3；E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2；D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81；D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.因為E(ξ)>E(η)，說明在一次射擊中，甲的均勻得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，說明甲得分的穩(wěn)固性不如乙，所以甲、乙兩人技術水平都不夠全面，各有優(yōu)勢與劣勢．隨機變量的方差和標準差都反應了隨機變量取值的穩(wěn)固與顛簸、集中與失散的程度，以及隨機變量取值偏離于均值的均勻程度．方差D(X)或標準差越小，則隨機變量X偏離均值的均勻程度越小；方差越大，表示均勻偏離的程度越大，說明X的取值越分別.求失散型隨機變量X的均值、方差的步驟(1)理解X的意義，寫出X的全部可能的取值；求X取每一個值的概率；寫出隨機變量X的散布列；由均值、方差的定義求E(X)，D(X).特別地，若隨機變量聽從兩點散布或二項散布，可依據(jù)公式直接計算E(X)和D(X).1．已知隨機變量X的散布列為X012P111333設Y＝2X＋3，則D(Y)＝()8521A.3B.3C.3D.3答案A111分析∵E(X)＝0×3＋1×3＋2×3＝1，2121212∴D(X)＝(0－1)×3＋(1－1)×3＋(2－1)×3＝3，8D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝3.12．一批產(chǎn)品中，次品率為4，現(xiàn)有放回地連續(xù)抽取4次，若抽取的次品件數(shù)記為X，則D(X)的值為( )4831A.3B.3C.4D.16答案C分析由題意，次品件數(shù)X聽從二項散布，即～4，1，故( )＝·(1－p)＝4×1XB4DXnp433×＝.443．已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，則二項散布的參數(shù)n，p的值為()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1答案B分析由(3ξ＋2)＝3(ξ)＋2，(3ξ＋2)＝9(ξ)，及ξ～(，)時，(ξ)＝，EEDDBnpEnpD(ξ)＝np(1－p)可知3np＋2＝9.2，

n＝6，所以

應選

B.9np1－p

＝12.96，

p＝0.4.4．袋中有大小同樣的三個球，編號分別為

1,2,3

，從袋中每次拿出一個球，若取到球的編號為奇數(shù)，則取球停止，用

X表示全部被取到的球的編號之和，

則X的方差為

________．17答案9分析X的散布列為X135P111326111817則E(X)＝1×3＋3×2＋5×6＝3，D(X)＝9.5．一出租車司機從某飯館到火車站途中有