新教材人教b版選擇性必修三6.2.1導數(shù)與函數(shù)的單調性作業(yè)

導數(shù)與函數(shù)的單調性(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)1.函數(shù)y=(3-x2)ex的單調遞增區(qū)間是 ()A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,-3)和(1,+∞) D.(-3,1)【解析】′=-2xex+(3-x2)ex=(-x2-2x+3)ex,令(-x2-2x+3)ex>0,由于ex>0,則-x2-2x+3>0,解得-3<x<1,所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間是(-3,1).2.函數(shù)f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上是 ()A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.在(0,π)上遞增,在(π,2π)上遞減D.在(0,π)上遞減,在(π,2π)上遞增【解析】′(x)=1-cosx,因為x∈(0,2π),所以cosx∈[-1,1),所以1-cosx>0恒成立,即f′(x)>0在x∈(0,2π)上恒成立,所以f(x)在(0,2π)上是增函數(shù).3.函數(shù)f(x)的定義域為R,f(-1)=2,對任意x∈R,f′(x)>2.則f(x)>2x+4的解集為 ()A.(-1,1) B.(-1,+∞)C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)【解析】選B.構造函數(shù)g(x)=f(x)-(2x+4),則g(-1)=2-(-2+4)=0,又f′(x)>2.所以g′(x)=f′(x)-2>0,所以g(x)是R上的增函數(shù).所以f(x)>2x+4?g(x)>0?g(x)>g(-1).所以x>-1.4.若函數(shù)y=x3-2bx+6在區(qū)間(2,8)內單調遞增,則 ()≤6 B.b<6 ≥6 【解析】′=3x2-2b,由題意知y′≥0在(2,8)內恒成立,即b≤32x2所以b≤6.5.若函數(shù)f(x)=x-13sin2x+asinx在(-∞,+∞)上單調遞增,則a是 ()A.[-1,1] B.-C.-13,1【解析】選C.方法一:用特殊值法:取a=-1,f(x)=x-13f′(x)=1-23但f′(0)=1-23-1=-23<0,不具備在(-∞,+方法二:f′(x)=1-23cos2x+acosx≥0對x∈R恒成立,故1-23(2cos2x-1)+acosx即acosx-43cos2x+53令t=cosx,所以-43t2+at+53≥0對t∈[-1,1]恒成立,構造函數(shù)g(t)=-43t2開口向下的二次函數(shù)g(t)的最小值的可能值為端點值,故只需g解得-13≤a≤16.(多選題)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上單調遞減,則實數(shù)a的可能取值是 () B.-1 【解析】選BC.由題意得f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,且僅在有限個點上f′(x)=0,則有Δ=4a2-12≤0,解得-3≤a≤3.二、填空題(每小題5分,共10分)7.已知函數(shù)f(x)=x+blnx在區(qū)間(0,2)上不是單調函數(shù),則b的取值范圍是________.

【解析】f′(x)=1+bx=x令g(x)=x+b(x>0),則g(x)是增函數(shù),故需g(0)=b<0,g(2)=b+2>0,b>-2,所以b∈(-2,0).答案:(-2,0)8.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2的圖像經(jīng)過點M(1,4),曲線在點M處的切線恰好與直線x+9y=0垂直.則實數(shù)a=__________;若函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,m+1]上單調遞增,求m的取值范圍為________.

【解析】因為函數(shù)f(x)=ax3+bx2的圖像經(jīng)過點M(1,4),所以a+b=4.①f′(x)=3ax2+2bx,則f′(1)=3a+2b.由條件f′(1)·-19=-1,即3a由①②解得a=1,b=3.f(x)=x3+3x2,則f′(x)=3x2+6x.令f′(x)=3x2+6x≥0,得x≥0或x≤-2.因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[m,m+1]上單調遞增,所以[m,m+1]?(-∞,-2]∪[0,+∞),所以m≥0或m+1≤-2,所以m≥0或m≤-3.答案:1m≥0或m≤-3三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數(shù)f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上單調遞減且滿足f(0)=1,f(1)=0,求a的取值范圍.【解析】由f(0)=1,f(1)=0,得c=1,a+b=-1,則f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex.依題意需對于任意x∈[0,1],有f′(x)≤0.當a>0時,因為二次函數(shù)y=ax2+(a-1)x-a的圖像開口向上,而f′(0)=-a<0,所以需f′(1)=(a-1)e≤0,即0<a≤1;當a=0時,對于任意x∈(0,1),f′(x)=-xex<0,符合條件;當a<0時,f′(0)=-a>0,不符合條件.故a的取值范圍為[0,1].10.設函數(shù)f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值.(2)求f(x)的單調區(qū)間.【解析】(1)f′(x)=ea-x-xea-x+b,由切線方程可得f((2)f(x)=xe2-x+ex,f′(x)=(1-x)e2-x+e.令g(x)=(1-x)e2-x,則g′(x)=-e2-x-(1-x)·e2-x=e2-x(x-2).令g′(x)=0得x=2.當x<2時,g′(x)<0,g(x)單調遞減;當x>2時,g′(x)>0,g(x)單調遞增.所以x=2時,g(x)取得極小值-1,也是最小值.所以f′(x)=g(x)+e≥e-1>0.所以f(x)的增區(qū)間為(-∞,+∞),無減區(qū)間.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.下列函數(shù)中,在(0,+∞)內為增函數(shù)的是 ()A.y=sinx B.y=xe2C.y=x3-x D.y=lnx-x【解析】選B.顯然y=sinx在(0,+∞)上既有增又有減,故排除A;對于函數(shù)y=xe2,因e2為大于零的常數(shù),不用求導就知y=xe2在(0,+∞)內為增函數(shù);對于C,y′=3x2-1=3x+故函數(shù)在-∞,-33,在-33,33故函數(shù)在(1,+∞)上為減函數(shù),在(0,1)上為增函數(shù).2.設f(x),g(x)在[a,b]上可導,且f′(x)>g′(x),則當a<x<b時,有 ()A.f(x)>g(x)B.f(x)<g(x)C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)【解析】′(x)-g′(x)>0,所以(f(x)-g(x))′>0,所以f(x)-g(x)在[a,b]上是增函數(shù),所以當a<x<b時,f(x)-g(x)>f(a)-g(a),所以f(x)+g(a)>g(x)+f(a).3.函數(shù)y=ln|x【解析】選C.因為y=f(-x)=ln|-所以y=f(x)=ln|所以y=f(x)的圖像關于原點中心對稱,可排除B.又因為當x>0時,f(x)=lnxx,f′(x)=所以當x>e時,f′(x)<0,所以函數(shù)f(x)在(e,+∞)上單調遞減;當0<x<e時,f′(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(0,e)上單調遞增.故可排除A,D,而C滿足題意.4.定義在R上的函數(shù)f(x),若(x-1)·f′(x)<0,則下列各項正確的是 ()A.f(0)+f(2)>2f(1)B.f(0)+f(2)=2f(1)C.f(0)+f(2)<2f(1)D.f(0)+f(2)與2f(1)大小不定【解析】選C.因為(x-1)f′(x)<0,所以當x>1時,f′(x)<0,當x<1時,f′(x)>0,則f(x)在(1,+∞)上單調遞減,在(-∞,1)上單調遞增,所以f(0)<f(1),f(2)<f(1),則f(0)+f(2)<2f(1).二、填空題(每小題5分,共20分)5.若函數(shù)f(x)=2x2-lnx在定義域內的一個子區(qū)間(k-1,k+1)上不是單調函數(shù),則實數(shù)k的取值范圍是________.

【解析】顯然函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=4x-1x=4由f′(x)>0,得函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為12由f′(x)<0,得函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為0,因為函數(shù)在區(qū)間(k-1,k+1)上不是單調函數(shù),所以k-1<12<k+1,解得-12<k<又因為(k-1,k+1)為定義域內的一個子區(qū)間,所以k-1≥0,即k≥1.綜上可知,1≤k<32答案:16.函數(shù)y=f(x)在其定義域-32,3內可導,其圖像如圖所示,記y=f(x)的導函數(shù)為y=f′(x),則不等式f′(x)≤【解析】由圖像可知f(x)在-13,1和[2,3)上單調遞減,由導函數(shù)的定義知f(x)單調遞減時f′(x)≤0,由此知f′(x)≤答案:-137.若函數(shù)f(x)=x2+ax+1x在12,+∞上是增函數(shù),【解析】因為f(x)=x2+ax+1x在12,+∞上是增函數(shù),故f′(x)=2x+a-1x2≥0在令h(x)=1x2-2x,則h′(x)=-當x∈12,+則h(x)為減函數(shù),所以h(x)<h12=3,所以a≥答案:[3,+∞)8.若函數(shù)f(x)=lnx-12ax2-2x存在單調遞減區(qū)間,則實數(shù)a的取值范圍是__________【解析】f′(x)=1x-ax-2=-a因為函數(shù)f(x)存在單調遞減區(qū)間,所以f′(x)<0有解.又因為函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).所以ax2+2x-1>0在(0,+∞)內有解.①當a>0時,y=ax2+2x-1為開口向上的拋物線,ax2+2x-1>0在(0,+∞)內恒有解;②當a<0時,y=ax2+2x-1為開口向下的拋物線,若ax2+2x-1>0在(0,+∞)內有解,則Δ=4+4a③當a=0時,顯然符合題意.綜合上述,a的取值范圍是(-1,+∞).答案:(-1,+∞)三、解答題(每小題10分,共30分)9.已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在實數(shù)集R上單調遞增,求實數(shù)a的取值范圍.(2)是否存在實數(shù)a,使f(x)在(-1,1)上單調遞減?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.【解析】(1)由已知,得f′(x)=3x2-a.因為f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增,所以f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2對x∈(-∞,+∞)恒成立.因為3x2≥0,所以只需a≤0.(2)假設f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,則a≥3x2在x∈(-1,1)時恒成立.因為-1<x<1,所以3x2<3,所以只需a≥3.當a=3時,在x∈(-1,1)上,f′(x)=3(x2-1)<0,即f(x)在(-1,1)上單調遞減,所以a≥3.故存在實數(shù)a≥3,使f(x)在(-1,1)上單調遞減.10.已知函數(shù)f(x)=ax+x2-xlna-b(a,b∈R,a>1),e是自然對數(shù)的底數(shù).(1)試判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調性;(2)當a=e,b=4時,求整數(shù)k的值,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間(k,k+1)上存在零點.【解析】(1)f′(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.因為a>1,所以當x∈(0,+∞)時,lna>0,ax-1>0,所以f′(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調遞增.(2)因為f(x)=ex+x2-x-4,所以f′(x)=ex+2x-1,所以f′(0)=0.當x>0時,ex>1,所以f′(x)>0,所以f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù).同理,f(x)是(-∞,0)上的減函數(shù).又f(0)=-3<0,f(1)=e-4<0,f(2)=e2-2>0,當x>2時,f(x)>0,所以當x>0時,函數(shù)f(x)的零點在(1,2)內,所以k=1滿足條件.f(0)=-3<0,f(-1)=1e-2<0,f(-2)=1當x<-2時,f(x)>0,所以當x<0時,函數(shù)f(x)零點在(-2,-1)內,所以k=-2滿足條件.綜上所述,k=1或-2.11.已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1-ax(1)當a=-1時,求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.(2)當0≤a<12時,討論f(x)的單調性【解析】(1)當a=-1時,f(x)=lnx+x+2x-1,x∈(0,+∞),所以f′(x)=(x-1)(由f′(x)=0,得x=1或x=-2(舍去),所以當x∈(0,1)時,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減;當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增.故當a=-1時,函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(1,+∞),單調遞減區(qū)間為(0,1).(2)因為f(x)=lnx-ax+1-所以f′(x)=1x-a+a-1x∈(0,+∞).令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞).①當a=0時,g(