2022年全國(guó)統(tǒng)一高考乙卷文科數(shù)學(xué)試卷含答案解析

2022年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（乙卷）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.集合M={2,4,6,8,10},N={x\-\<x<6},則M「|N=()

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.[2,4,6,8,10}

2.設(shè)(l+2i)a+b=2i,其中〃，人為實(shí)數(shù)，貝！J()

A.a=1,b=—lB.a=l,b=lC.a=—l(b=\D.a=—l,b——\

3,已知向量4=(2,1),6=(-2,4),貝:下一5|=()

A.2B.3C.4D.5

4.分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：/?）,得如圖莖葉圖：

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.1

A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.4

D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.6

x+y..2,

5.若x,y滿足約束條件,"2%4,則z=2x-y的最大值是（）

y..0,

A.-2B.4C.8D.12

6.設(shè)尸為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8（3,0）,若,則|A例=（

）

A.2B.25/2C.3D.3夜

7.執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的〃=（）

（結(jié)束】

A.3B.4C.5D.6

8.如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是（）

-2xcosx八2sinx

c-y=—~-D.y=-5—

X+\XT+1

9.在正方體A8CD-A4CQ中，E,F分別為AB,8c的中點(diǎn)，則（）

A.平面B】EF，平面BDD、B.平面B,EF1_平面\BD

C.平面4EF//平面AACD.平面B|EF//平面AG。

10.已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168,%-%=42,則4=（）

A.14B.12C.6D.3

11.函數(shù)/（x）=cosx+（x+l）sinx+l在區(qū)間［0,2加的最小值、最大值分別為（）

7171心3471c冗兀、rx37r冗

AA.—一，—B.-------，—C.—一,一+2D.------,-+2

22222222

12.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該

四棱推的體積最大時(shí)，其高為（）

A.-B.-C.-

32DE

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.記S.為等差數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和.若2s3=3邑+6,則公差"=

14.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為

15.過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為

16.若f(x)=ln\a+」一|+b是奇函數(shù)，貝［Ia=____,b=

1-x

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(-)必考題：共

60分。

17.(12分)記AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)若4=23,求C；

(2)證明：2/=6+c?.

18.(12分)如圖，四面體/WC￡)中，ADICD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的

中點(diǎn).

(1)證明：平面阻)_L平面ACD；

(2)設(shè)A5=3D=2,ZACB=60°,點(diǎn)尸在加＞上,當(dāng)AAFC的面積最小時(shí)，求三棱錐

尸一ABC的體積.

19.(12分)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹

木的總材積量,隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積(單位：，/)和材

積量(單位：〃力,得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)i12345678910總和

根部橫截面積X,0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量y,0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得21片=0.038,Zy；=L6158,工工),=0.2474.

i=li=li=l

(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；

(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積

總和為186".已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)

這種樹木的總材積量的估計(jì)值.

之(七一稻(另一刃____

附：相關(guān)系數(shù)廠=下皂----------------,VL896?1.377.

Vi=li=l

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=ax---(a+V)lnx.

x

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求f(x)的最大值；

(2)若/*)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求”的取值范圍.

21.(12分)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過A(0,-2),B(旦,

2

-1)兩點(diǎn).

(1)求￡的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)尸(1,-2)的直線交E于M,N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段

AB交于點(diǎn)T,點(diǎn)H滿足證=TH.證明：直線HN過定點(diǎn).

(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為卜=為參數(shù)).以坐標(biāo)

y=2sinf

原點(diǎn)為極點(diǎn)，入軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線/的極坐標(biāo)方程為

冗

psin(e+g)+m=0.

(1)寫出/的直角坐標(biāo)方程；

(2)若/與C有公共點(diǎn)，求機(jī)的取值范圍.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

333

23.已知a,b，，都是正數(shù)，且層+房+a=1,證明：

(1)ahc?；

，八abc1

(2)----F----+-----j==，

b+ca+ca+b27abe

2022年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(乙卷)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.集合M={2,4,6,8,10},7V={x|-l<x<6},則M0|N=()

A.{2,4}B.{2,4,6}C.{2,4,6,8}D.{2,4,6,8,10}

【思路分析】直接利用交集運(yùn)算求解即可.

【解析】,.?M={2,4,6,8,10},N={x［-l<x<6},

.-.Mp|7V={2,4}.故選：A.

【試題評(píng)價(jià)】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.設(shè)(l+2i)a+h=2i,其中a,6為實(shí)數(shù)，貝?。?)

A.a=l,b=—lB.a=\zb=lC.a=-1,b=\D.?！?,b=—l

【思路分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解.

【解析】?,?(l+2i)a+b=2i,

.-.a+b+2ai=2i,即，解得［.故選：A.

【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知向量1=(2,1),5=(-2,4),則|下一。|=()

A.2B.3C.4D.5

【思路分析】先計(jì)算處&-■的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)模長(zhǎng)公式即可.

【解析】a-白=(4,-3),故卜-@=&+(-3)2=5，故選：。.

【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查向量坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

4.分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)(單位：/?),得如圖莖葉圖：

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

甲乙

615.

85306.3

75327.46

64218.12256666

429.0238

10.1

A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.4

D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.6

【思路分析】根據(jù)莖葉圖逐項(xiàng)分析即可得出答案.

【解析】由莖葉圖可知，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為空上至=7.4，選項(xiàng)A

2

說法正確；

由莖葉圖可知，乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8,選項(xiàng)3說法正確；

甲同學(xué)周課夕體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值為9=?<0.4,選項(xiàng)C說法錯(cuò)誤；

168

乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值為與=0.8125>0.6,選項(xiàng)。說法正確.

16

故選：C.

【試題評(píng)價(jià)】本題考查莖葉圖，考查對(duì)數(shù)據(jù)的分析處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

x+y..2,

5.若x,y滿足約束條件，x+2y,,4,則z=2x-)?的最大值是()

7--0,

A.-2B.4C.8D.12

【思路分析】作出可行域，根據(jù)圖象即可得解.

【解析】作出可行域如下圖陰影部分所示，

由圖可知，當(dāng)(x,y)取點(diǎn)C(4,0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=2x-y取得最大值，且最大為8.

故選：C.

【試題評(píng)價(jià)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

6.設(shè)下為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8(3,0),若|4尸|=|8用，則|A8|=(

)

A.2B.25/2C.3D.3y/2

【思路分析】利用已知條件，結(jié)合拋物線的定義，求解A的坐標(biāo)，然后求解即可.

【解析】F為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)(1,0),點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8(3,0),尸|=2,

由拋物線的定義可知A(1,2)(A不妨在第一象限),所以|他|=八3-1)2+(-2尸=20.

故選：B.

【試題評(píng)價(jià)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

7.執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的〃=()

（結(jié)束】

A.3B.4C.5D.6

【思路分析】模擬執(zhí)行程序的運(yùn)行過程，即可得出程序運(yùn)行后輸出的〃值.

【解析】模擬執(zhí)行程序的運(yùn)行過程，如下：

輸入a=l,b=l,n=\,

計(jì)算Z;=l+2=3,67=3—1=2,n=2,

32i

判斷|育一2|=—=。.25..0.01,

2~4

計(jì)算Z?=3+4=7,a=7—2=5/n=3/

721

判斷l(xiāng)r—2|=—=0.04..0.01；

5225

計(jì)算〃=7+10=17,々=17—5=12,〃=4,

判斷1昌-2|啾＜0.01；

輸出〃=4.

故選：B.

【試題評(píng)價(jià)】本題考查了程序的運(yùn)行與應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.

8.如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大致圖像，則該函數(shù)是（）

-24cosx八2sinx

C?y=、1D,y=-^—

+1x-+1

【思路分析】首先分析函數(shù)奇偶性，然后觀察函數(shù)圖像在(1,3)存在零點(diǎn)，可排除3,。選

項(xiàng)，再利用cosx在(0,+co)的周期性可判斷C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

【解析】首先根據(jù)圖像判斷函數(shù)為奇函數(shù)，

其次觀察函數(shù)在(1,3)存在零點(diǎn)，

而對(duì)于B選項(xiàng)：令y=0，即。=0，解得x=0，或x=l或x=-l,故排除8選項(xiàng)，

X+1

對(duì)于。選項(xiàng)，令y=0,即犁丫=。，解得工=覬，y，故排除。選項(xiàng)，

r+1

C選項(xiàng)分母為x2+1恒為正，但是分子中cosx是個(gè)周期函數(shù)，故函數(shù)圖像在(0,+00)必定是

正負(fù)周期出現(xiàn)，故錯(cuò)誤，

故選：力.

【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.

【解法二】(補(bǔ)解)對(duì)B令x=l,y=0,.\B不對(duì)

2xcosx=2cosx<1

對(duì)C：xe[0,l]-f+l不對(duì)

XH---

X

對(duì)D：x2+l>2x>2sinx,y<l；.D不對(duì)

故：只能選A

9.在正方體A8CO-A4CQ中，E,尸分別為他,3c的中點(diǎn)，則()

A.平面B.EF_L平面BOO,B.平面BtEF，平面A.BD

C.平面4EF//平面AACD.平面4EF//平面4CQ

【思路分析】對(duì)于A,易知所//AC,ACJ_平面8OR,從而判斷選項(xiàng)A正確；對(duì)于3,

由選項(xiàng)A及平面BDD、O平面\BD=BD可判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C,由于A4,與qE必相

交，容易判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于。，易知平面A8C〃平面AG。，而平面A0C與平面片"

有公共點(diǎn)與，由此可判斷選項(xiàng)力錯(cuò)誤.

【解析】對(duì)于4,由于E,尸分別為AB,的中點(diǎn)，則斯//AC,

又ACJ_3E>,AClDDt,BDp\DDt=D，且3。,QRu平面,

AC1平面80.,則EF_L平面BDD、，

又EFu平面4EF,

平面片EF1平面BD?,選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,由選項(xiàng)A可知，平面用EF1平面BDDt,而平面BDDtC平面\BD=BD,

故平面B,EF不可能與平面A3。垂直，選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,在平面48MA上，易知照與用E必相交，故平面BtEF與平面A.AC不平行，選

項(xiàng)c錯(cuò)誤；

對(duì)于。，易知平面A4C//平面4G。，而平面A4c與平面片所有公共點(diǎn)與，故平面4EF

與平面4G。不可能平行，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：A.

【試題評(píng)價(jià)】本題考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力，屬于中

檔題.

10.已知等比數(shù)歹［］｛““｝的前3項(xiàng)和為168,a2-as=42，貝?。?=()

A.14B.12C.6D.3

【思路分析】由題意，利用等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式，求得生的值.

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛““｝的公比為q，尹0,由題意,q*l.

前3項(xiàng)和為q+“，+%=—~—=168,a,-%=弓?q-%?q"=aI?q(l-/)=42,

i-q

；.q=g,4=96，貝！I4=4,4,=96x盤=3,故選：D.

【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

11.函數(shù)f(x)=cosx+(x+l)sinx+l在區(qū)間［0,2］］的最小值、最大值分別為()

4717t八37r7C--7T71_37r71.

A.——，一B.——，一C.——，一+2D.——，一+2

22222222

【思路分析】先求出導(dǎo)函數(shù)r(x)=(x+l)cosx,令cosx=0得，x='或與，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)

廣(X)的正負(fù)得到函數(shù)/(X)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)/(X)的極值，再與端點(diǎn)值比較即可.

【解析】/(x)=cosx+(x+l)sinx+l；XG［0,2乃］,

貝UW=-sinx+sinx+(x4-1)cosx=(x+1)cosx,

令cosx=0得，x=E或網(wǎng)，

22

.?.當(dāng)xe］0,9時(shí)，f\x)>0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xe弓多時(shí)，八x)<0,f(x)單調(diào)遞

減；當(dāng)xe彳，2加時(shí)，f\x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

.?J(x)在區(qū)間［0,2加上的極大值為/(g=1+2，極小值為/(當(dāng))=一當(dāng),

又"(0)=2,fQ儲(chǔ)=2,

，函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2m的最小值為-9,最大值為生+2,

22

故選：D.

【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題.

12.已知球O的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為O,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該

四棱錐的體積最大時(shí)，其高為()

B.-

2

【思路分析】由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，由勾股

定理可知該四棱錐的高力=/^，所以該四棱錐的體積曠=3〃1，再利用基本不等

式即可求出丫的最大值，以及此時(shí)。的值，進(jìn)而求出/，的值.

【解析】由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，底面所在圓

的半徑為『，

該四棱推的體積

"￥口=壽『。與』(上…送行=當(dāng)，

22A

當(dāng)且僅當(dāng)9=1-5，即“2=3時(shí)，等號(hào)成立，

423

該四棱錐的體積最大時(shí)，其高〃==R=y,

故選：C

【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共2()分。

13.記S“為等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和.若2s3=3S?+6,則公差d=2.

【思路分析】根據(jù)已知條件，可得2(q+%+4)=3(6+生)+6,再結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì),

即可求解.

【解析】?.?2邑=35+6,

/.2(4+a2+a3)=3(“+4)+6,

???{〃“}為等差數(shù)歹」，

6a2=3q+3a2+6,

.0.3(%—4)=3d=6f解彳導(dǎo)d=2.

故答案為：2.

【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

14從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為-.

一10一

【思路分析】從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人，先求出基本事件總數(shù)，再求出甲、乙被

選中包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由此求出甲、乙被選中的概率.

【解析】由題意，從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人，基本事件總數(shù)C；=10,

甲、乙被選中，則從剩下的3人中選一人，包含的基本事件的個(gè)數(shù)C；=3,

根據(jù)古典概型及其概率的計(jì)算公式，甲、乙都入選的概率尸=冬=3?

c；io

故答案為：2.

【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于基

礎(chǔ)題.

15.過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為_x2+y2-4x-6y^0

(或x?+y2_4x-2y=0或d+y2-|x-弓y=0或x2+y2--x-2y---=0)_.

【思路分析】選其中的三點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求出圓的方程.

【解析】設(shè)過點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1)的圓的方程為丁+/+瓜+砂+尸=。，

F=0

即(16+4Q+尸=0，解彳導(dǎo)尸=0,O=T,E=-6,

2-D+E+F=0

所以過點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1)圓的方程為/+y2-4乂-6尸0.

同理可得，過點(diǎn)(0,0),(4,0),(4,2)圓的方程為*2+〉2-4犬-2>=0.

過點(diǎn)(0.0),(-1,1),(4⑵圓的方程為』+尸_(—］尸0.

過點(diǎn)(4,0),(-1,1),(4,2)圓的方程為x?+y2T%—2y—與=0.

故答案為：<+/-4x-6y=0(或Y+丁-4x-2y=0或W+/一§x-lly=o或

33

【試題評(píng)價(jià)】本題考查了過不在同一直線上的三點(diǎn)求圓的方程應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

16.若/(x)=/”|a+—!—|+匕是奇函數(shù),貝!|。=_--_,b=____.

1-x-2-

【思路分析】顯然4*0,根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得，XW1且XX1+L,所以1+工=一1,

aa

進(jìn)而求出。的值，代入函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)/(0)=0即可求出〃的值.

【解析】【解法一】f(x)=ln\a+—^—\+b,

1一x

若a=0,則函數(shù)的定義域?yàn)閧x|xwl},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不具有奇偶性，

二.awO,

由函數(shù)解析式有意義可得，xwl且。+—匚工0,

\-x

xwl且XW1+L,

???函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，，定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

，1+'=一1,解得4,

a2

'''/（x）=In|1+A|+h，定義域?yàn)閧X|XH1且XH-1},

2（1-x）

由"0）=0得，ln-+b=0,

2

:.b=lnl,故答案為：」；ln2.

2

【解法二】（補(bǔ)解）（特殊值法）

.??函數(shù)?/")為奇函數(shù)，/(0)=0,f(-2)=-f(2)

所以ln|a+l|+b=0,Ina+-+b+ln|a-l|+b=0,

3

即Ina+g+b+ln|a-+b=21n|a+1

解得，a=--,b=/?2o故答案為：--；In2.

【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查了奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共

60分。

17.（12分）記MBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知

sinCsin(A-B)=sin5sin(C-A).

(1)若A=2B,求C；

(2)證明：2a2=從+>.

【思路分析】(1)由§皿。疝1(4-B)=sinBsin(C-A)，結(jié)合A=23，可得sinC=sin(C-A),

即C+C-A=/，再由三角形內(nèi)角和定理列式求解C；

(2)把已知等式展開兩角差的正弦，由正弦定理及余弦定理化角為邊即可證明結(jié)論.

【解析】(1)由sinCsin(A-8)=sin8sin(C-A),

又A=28,/.sinCsinZ?=sinBsin(C-A),

???sinB聲0,.\sinC=sin(C-A),BPC=C-A(舍去)或C+C—A=〃，

A=2B

聯(lián)立，2(：-4=乃，解得C=9萬；

A+B+C=7T

證明：(2)【解法一】由sinCsin(A—8)=sinBsin(C—A),

彳導(dǎo)sinCsinAcosB—sinCeosAsinB=sinBsinCeosA—sinBcosCsinA,

由正弦定理可得ac8sB-bccosA=becosA-abcosC,

/+C2一82層+《2M八a2^b2-c2

由余弦定理可得：改=2hc--ab----------

2ac2bc2ab

整理可得：2a2=b2+c2.

【解法二】（補(bǔ)解）

'??A+3+C=4,A=2B

:.C-A=7r-5B

sin(C-A)=sin5B

，原式可化為sin3BsinB=sinBsin5B,

vsinB^O,

sin3B=sin5B,

???3B+5B=%,

848

證明：(2)由sinCsin(A-3)=sinBsin(C-A),

彳導(dǎo)sinCsinAcosB—sinCeosAsin8=sinBsinCeosA—sin8coscsinA,

由正弦定理可得accosB-bccosA=bccosA-abcosC,

整理可得：為2=〃+°2.

【試題評(píng)價(jià)】本題考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，

是中檔題.

18.(12分)如圖，四面體yWCD中，ADYCD,AD=CD,ZADB=ABDC,E為AC的

中點(diǎn).

(1)證明：平面BE￡>_L平面ACD；

(2)設(shè)AB=BD=2,ZACB=60。，點(diǎn)尸在加上,當(dāng)AAFC的面積最小時(shí)，求三棱錐

F-ABC的體積.

A

【思路分析】(1)易證AAZ出三△CD3,所以ACL3E，又ACLQE,由線面垂直的判定

定理可得AC1■平面比D,再由面面垂直的判定定理即可證得平面BED_L平面ACD；

(2)由題意可知A4BC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，進(jìn)而求出BE=&,AC=2,

AD=CD=>/2,DE=\,由勾股定理可得DELBE,進(jìn)而證得DE1平面ABC,連接EF,

因?yàn)锳F=CF,則EFYAC,所以當(dāng)砂_L3D時(shí)，砂最短，此時(shí)AAFC的面積最小，求

出此時(shí)點(diǎn)F到平面ABC的距離，從而求得此時(shí)三棱錐F-ABC的體積.

【解答】證明：(1),.,AE)=C￡>,ZADB=ABDC,BD=BD,

:./SADB=ACDB,

..AB=BC,又為AC的中點(diǎn).

AC1.BE,

.AD=CD,E為AC的中點(diǎn).

ACIDE,5L-.-BE[yDE=E,

.?.4。_1_平面甌),

又「ACu平面ACE）,

..平面平面AC￡>；

解：（2）由（1）可知A8=8C,

:.AB=BC=2,ZACB=60。，.?.A4BC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為2,

:.BE=&,AC=2,AD=CD=>[2,DE=l,

?：DE1+BE2=BD：DELBE,

又,.?￡>￡_LAC,ACp|BE=E,

.?.。匠，平面ABC,

由（1）知AWBMACDB,:.AF=CF,連接所,貝!!EF_LAC,

??^MFC=gxACxEF=EF,

當(dāng)EF_L5D時(shí)，EF最短,此時(shí)MFC的面積最小，

過點(diǎn)尸作尸G_LBE于點(diǎn)G，則FG//￡>E,/.FG_L平面ABC,

??DExBE73

?;EF=-----=——，

BD2

BF=>jBE2-EF'=-,.-.FG=-Px8k-=-,

2BE4

..三棱推F-ABC的體積1/=1乂5"比*尸6=!*9*22、3=也.

33444

【試題評(píng)價(jià)】本題主要考查了面面垂直的判定定理，考查了三棱錐的體積公式，同時(shí)考查了

學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算能力，是中檔題.

19.（12分）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹

木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：川）和材

積量（單位：加），得到如下數(shù)據(jù)：

樣本號(hào)，12345678910總和

根部橫截面積X,0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6

材積量%0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得Zx：=0.038,24=16158,工%％=0.2474.

r=li=l/=1

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積

總和為186M.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)

這種樹木的總材積量的估計(jì)值.

Eu,-W,-y)

附：相關(guān)系數(shù)，-=1”,VL896?1.377.

位(士—T比(y5

*=1

【思路分析】根據(jù)題意結(jié)合線性回歸方程求平均數(shù)、樣本相關(guān)系數(shù)，并估計(jì)該林區(qū)這種樹木

的總材積量的值即可.

【解析】(1)設(shè)這棵樹木平均一棵的根部橫截面積為5，平均一棵的材積量為，，

竺=0.06m2,y=—=0.39w?3；

則根據(jù)題中數(shù)據(jù)得：X

1010

2)由題可知

10io

幻(％一刃z*%一時(shí)

0.01340.01340.0134

i=li=l*0.97

"ionF1010V0.0()2x0.09480.01xJ1.8960.01377

-可Z(y_寸(gx：-怖2)(Z.y：-"F)

(3)設(shè)從根部面積總和X，總材積量為y,則工=三，故y=義型X186=1209(加).

Yy0.06

【試題評(píng)價(jià)】本題考查線性回歸方程，屬于中檔題.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=ar」-(q+l)/MX.

x

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求/(x)的最大值；

(2)若f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【思路分析】(1)將a=0代入，對(duì)函數(shù)"X)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，由此可得最大值；

(2)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，分a=0,a<0,0<a<l,a=l及“>1討論即可得出結(jié)論.

【解析】(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=---lnx(x>0),貝?。?⑶,

xx~xx

易知函數(shù)/(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,g0)上單調(diào)遞減，

/(X)在X=1處取得極大值，同時(shí)也是最大值，

.??函數(shù)/(X)的最大值為/(1)=-1；

(2)廣⑴=口11〃+1二辦2-(iz+l)x+l_(A：-l)(ar-l)

XX

①當(dāng)4=0時(shí)，由(1)可知，函數(shù)/(X)無零點(diǎn)；

②當(dāng)a<0時(shí)，易知函數(shù)/")在(0,1)上單調(diào)遞增，在(l,”o)上單調(diào)遞減，

又f(1)=a-1<0,故此時(shí)函數(shù)/(x)無零點(diǎn)；

③當(dāng)0<。<1時(shí)，易知函數(shù)/(力在(0,l),(L+oo)上單調(diào)遞增，在(1一)單調(diào)遞減,

且/(—)=1-a+(a+\)lna<0,且當(dāng)x—>+oo時(shí)zf(x)>0,此時(shí)f(x)在

a

(0,+oo)上存在唯一零點(diǎn)；

④當(dāng)a=l時(shí)，/'(幻=匕匚一0,函數(shù)/(x)在(0,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增，

X

又f(1)=0,故此時(shí)函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)；

⑤當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)f(x)在(0,3,(1,3)上單調(diào)遞增，在(L1)上單調(diào)遞減，

aa

且/(I)=。-1>0,且當(dāng)x->0時(shí)，/(x)<0,故函數(shù)f(x)在(0,+<?)上存在唯一零點(diǎn)；

綜上，實(shí)數(shù)”的取值范圍為(0,+oo).

【試題評(píng)價(jià)】本題考查里利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題,

考查分類討論思想及運(yùn)算求解能力,屬于難題.

21.(12分)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、了軸，且過A(0,-2),B(|,-1)

兩點(diǎn).

(1)求E的方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)尸(1,-2)的直線交E于M,N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段相交于

點(diǎn)T,點(diǎn)H滿足祈=而.證明：直線HN過定點(diǎn).

【思路分析】(1)設(shè)上的方程為皿2+")?=1(%>0,〃>0且〃?*〃)，將A,3兩點(diǎn)坐標(biāo)代

a?_

入即可求解；(2)由A(0,-2),8q,-1)可得線段A8:y=§x-2,①若過P(l,-2)的直線的斜

率不存在，直線為x=1,代入橢圓方程，根據(jù)行=而即可求解；②若過P(l,-2)的直線的

kx-y-(k+2)=0

斜率存在，設(shè)"-n-伏+2)=0,,y\),N(X2,y2),聯(lián)立,/2,得

—4--=1

34

2

(3公+4)x-6依2+k)x+3k(k+4)=0,結(jié)合韋達(dá)定理和已矢口條彳牛即可求解.

【解析】(1)設(shè)石的方程為，加+江=1(〃7>0,〃>0且加工幾)，

4〃=1

將74(0,—2),8(二,-1)兩點(diǎn)代入得,9

2-〃=1

14

11y2

解得加=；,n=—,故石的方程為丁+=1；

3434

Q7

(2)由A(0,-2),B(-,-l)可得線段AB.y=-x-2

(I)若過點(diǎn)P。,-2)的直線斜率不存在,直線x=l.代入:+?=1

,N=(1,一半),將尸半代入y=*2,可得T(#+3，￥),得到

可得Af(l,

”(2遙+5,求得"N方程：y=(2-=2,過點(diǎn)(0,-2).

②若過P(l,-2)的直線的斜率存在，設(shè)履-y-(Z+2)=0,M(x,,y,),N(x2,y2),

kx-y-(k+2)=0

聯(lián)立,得(3公+4)x2-6化(2++3皈t+4)=0,

—I——1

,34

_6k(2+k)_,一8(2+k)

V，

1-3^+4曰-24k

故有