八年級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)專題講解勾股定理

2八級(jí)學(xué)培優(yōu)專題講解《勾股2【培優(yōu)圖解】【技法透析】勾股定理是幾何重要的定理之一它是直角三角形“形與三關(guān)系這“數(shù)”結(jié)合起來，是數(shù)結(jié)合思想方法的典范．1．勾股定理反逆定理的應(yīng)用主要用于計(jì)算和明等．2．勾股數(shù)的推算公式①若任取兩個(gè)正數(shù)m，那么m－n，2mn，m＋n是一組勾股數(shù)．k②如果k是大于1的奇數(shù)，那么k，，是一組勾數(shù)．22③如果k是大于2的偶數(shù)，那么k，，是組勾股數(shù)，④如果a，b，c是勾數(shù)，那么na，nb，nc(n是正整數(shù)也是勾股數(shù)．3．創(chuàng)設(shè)勾股定理運(yùn)用條件當(dāng)勾股定理不能接運(yùn)用時(shí)，常需要通過等線段換、作輔助線段等途徑，為勾股理的運(yùn)用創(chuàng)造必的條件，有時(shí)又需要由線段的量關(guān)系去判斷線段的位置關(guān)系．在有等邊三角形正方形的條件下，可將圖形旋60°或，旋轉(zhuǎn)程中角度、線段的長度保持變，在新的位置上分散條件相集中，以便挖掘隱含條件，探求題思路．【名題精講】

考1運(yùn)用股理有關(guān)折＂問例1如圖，折疊長方ABCD一邊，D落在BC邊的F處，AB＝8cm，BC＝10cm，求EC長．【切題技巧】由圖形易知△ADFAFE從AD＝AF，DE．先在eq\o\ac(△,Rt)ABF用勾股定理求出，再在eq\o\ac(△,Rt)EFC中由勾骰定理列方程可求EC的長．【規(guī)范解答】【借題發(fā)揮】圖形折疊問題一般是“全等形“等腰三形”等對(duì)稱圖形問題，勾股定理是常常到的計(jì)算方法體現(xiàn)了勾定理作為主要計(jì)算工具在解決直角三角形相關(guān)圖形變換的合題中的具體應(yīng)用．【同類拓展】．把一張長方形(長方形ABCD)按圖－2所示的式折疊，使頂點(diǎn)B和D合為EFAB＝3cm疊部eq\o\ac(△,分)DEF的面積_______cm．考2運(yùn)用股理逆定求度例2如圖，在正方形ABCD中PA＝1，PB＝2＝3在方形內(nèi)部，試求APB的度數(shù)．【切題技巧】【規(guī)范解答】

【借題發(fā)揮】旋轉(zhuǎn)換后再運(yùn)用勾股定理及逆定理求三角形角的度數(shù)的常見方法，即用恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)變換方式來構(gòu)建直角三角形能夠使用旋轉(zhuǎn)法的條件是旋轉(zhuǎn)后圖形與原圖形有邊相能夠重合．2．如圖，等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂、B、C的離分別為3、4、5求∠APB度數(shù)．考3求立圖中兩點(diǎn)間最短離例3如圖所示，一只螞如果沿長方體的表面從A點(diǎn)爬到B'點(diǎn)，那么哪條路線最短最短路程是少已知長方體的長為2cm寬為1cm、高為．【切題技巧】由于螞蟻沿長方體的表面爬行故需把長方體展開成平面圖形，據(jù)兩點(diǎn)之間線段最和“勾股定理”可求解．【規(guī)范解答】【借題發(fā)揮】“短路線”是勾股定理在實(shí)生活中的具體應(yīng)用，一般地，求最短路線”要“立問題”轉(zhuǎn)化為“平面問題這類問題涉及到的幾體主要有長方體、正方體柱錐等將幾何體的表展開時(shí)注意定展開圖中兩點(diǎn)的相應(yīng)位置時(shí)，由于將幾何的表面展開時(shí)可能有幾種不同情況，因此，有些問題可能會(huì)求幾個(gè)

不同的結(jié)果，這需要通過分析比較后才能確定合題意的答案．【同類拓展】3如是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階它每一級(jí)的長寬和高分別于5cm、3cm和lcm和B是這個(gè)臺(tái)階的個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)A點(diǎn)有一只螞蟻它想到B點(diǎn)吃可口的食物．請(qǐng)你想一，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿臺(tái)階面爬到點(diǎn)，最短路線的是多少考4勾股理其定理綜運(yùn)用例4如圖所示，正方形中，是AD中點(diǎn)，點(diǎn)F上，且DF＝DC，試判斷BE和EF的位關(guān)系并說明你的理由．【切題技巧】觀察圖，會(huì)給我們BE與EF直的直觀印象．若直接證明BE與垂直，則十分困難若連接BF，設(shè)DF，利用勾股定理及其逆定理證eq\o\ac(△,明)BEF直角三角形，得到BE⊥EF．【規(guī)范解答】BF和EF的位置關(guān)系是BE⊥EF【借題發(fā)揮】勾股定理及其逆定理在解決些實(shí)際問題或具體的幾何問題時(shí)密不可分的，通常既通過勾股定理求出三角形邊長又要通過逆定理判斷一個(gè)三角形直角三角形，兩者相相成．4．如圖，在四邊形ABCD中∠ABC＝30°，，AD＝CD求證：BD＝AB＋BC．考5勾股理實(shí)問題應(yīng)例5如，護(hù)城河在CC'處角轉(zhuǎn)彎，寬度保持4米，從處往B，經(jīng)過兩座橋DD'、EE'設(shè)護(hù)城河是東西——南北方的A在東西向相距64，南北方向相距84米，恰當(dāng)?shù)丶芎涌墒笰D、D'E'、EB的路程短，這個(gè)最短距離是______米．

【切題技巧】要斷最短路程，需先確定兩橋的位置，確定橋的位置后，再據(jù)護(hù)城河的直角轉(zhuǎn)形成的直角三角形利用勾股定求解．【規(guī)范解答】如(2)AA'⊥CDAA'＝DD'BB'⊥CE＝EE'折線ADD'E'EB的長度等于折線，D'E'B'B的度，即等于折線A'D'E'B'的長度＋AA'＋BB'．折線A'D'E'B'以線段最，故題目所求最短路程＝A'B'＋8，A'在東西方向上相距為米南北方向上相距－8（米）由勾股定理可知＝2＝100(米，S＝108（米）【借題發(fā)揮】實(shí)問題中，最短路程問題等常在構(gòu)造直角三角形后，利用勾定理計(jì)算求解．5．如圖所示的長方體是某種飲料紙質(zhì)包裝盒，規(guī)格為5×6×10(位cm)在上蓋中開有一孔便于插吸管吸管長為13cm，小孔到圖邊AB距離為，到上蓋中與相鄰的的兩邊距離相等，設(shè)入吸管后露在盒外面的長為hcm則h的最小值大約為______cm．（精確到個(gè)位，考數(shù)據(jù)：＝＝，5＝考6勾股理函的綜問例6如圖①在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線y＝與線y＝交于點(diǎn)A．(1)x4求的長(2)點(diǎn)P第一象限雙曲線上一點(diǎn)，如圖②所示BC⊥AP于點(diǎn)，交x于點(diǎn)F交y軸點(diǎn)E，試判斷

2BF2

2

的值是否為定值加以證明．

【切題技巧】(1)因?yàn)闉殡p曲線與直線的交點(diǎn)，所以只需將兩個(gè)已知數(shù)的解AEBF2析式成方程組們的解即交點(diǎn)AB的坐標(biāo)(2)從結(jié)論入聯(lián)想勾股定理，2通過作輔助線將AE、BF這條線段轉(zhuǎn)移到同一直角三角形．【規(guī)范解答】【借題發(fā)揮】(1)當(dāng)題目中涉及段平方時(shí)應(yīng)聯(lián)想到勾股定理，若些線段不在直角三角形中則應(yīng)加輔助線，將分散的線段集中同一直角三角形中，本題還可以點(diǎn)作BN∥AE交y軸于點(diǎn)N三條線段收集在eq\o\ac(△,Rt)BNF中如圖17－11③所示利中點(diǎn)”能構(gòu)成多種助線，要根據(jù)題目的需要進(jìn)行造．【同類拓展】6已知△OMN中OM＝ON∠MON＝90°點(diǎn)B為的延長線上一點(diǎn)，OC⊥OB．且OC＝OB，OG⊥BC于，交MN于點(diǎn)A．(1)圖①所示，①求證：∠CMB＝90°；②求AM＋BN＝AB；(2)圖②，在條件1)，過A作AE于E，過B作BF⊥ON于F，EA、BF的延線交于點(diǎn)，則PA、AE、BF之間的數(shù)量關(guān)系_