高中數(shù)學(xué)3章排列組合與二項(xiàng)式定理31排列與組合3121課時(shí)排列與排列數(shù)B選擇性B

擺列與擺列數(shù)第1課時(shí)擺列與擺列數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心修養(yǎng)1．理解擺列的觀點(diǎn)，能正確寫出一些簡單問1．經(jīng)過學(xué)習(xí)擺列的觀點(diǎn)，培育數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．題的全部擺列．(要點(diǎn))2．借助擺列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算2．會(huì)用擺列數(shù)公式進(jìn)行求值和證明．(難點(diǎn))的修養(yǎng).教師節(jié)當(dāng)日，市委領(lǐng)導(dǎo)到學(xué)校觀察，聽完一節(jié)課后與老師們會(huì)談，有12位教師參加，面對市委領(lǐng)導(dǎo)坐成一排．問題：這12位老師的坐法共有多少種？1．?dāng)[列的觀點(diǎn)一般地，從n個(gè)不一樣對象中，任取m(m≤n)個(gè)對象，依照必定的次序排成一列，稱為從n個(gè)不一樣對象中拿出m個(gè)對象的一個(gè)擺列．特別地，m＝n時(shí)的擺列(即拿出全部對象的擺列)稱為全擺列．思慮：兩個(gè)擺列同樣的條件是什么？[提示]兩個(gè)擺列同樣則應(yīng)具備擺列的對象及擺列的次序均同樣．2．?dāng)[列數(shù)及擺列數(shù)公式從n個(gè)不一樣對象中拿出m個(gè)對象的全部擺列的個(gè)數(shù)，稱為從n個(gè)不一樣擺列數(shù)的定義擺列數(shù)的表示乘積式擺列數(shù)公式階乘式階乘規(guī)定性質(zhì)

對象中拿出m個(gè)對象的擺列數(shù)Amn(n，m∈N，m≤n)Amn＝n(n－1)(n－2)(n－m＋1)Amn＝n！n－m！Ann＝n×(n－1)×(n－2)××2×1＝n！0?。?，A0n＝1mm－mAn＋mAn1＝An＋1拓展：擺列與擺列數(shù)的差別“擺列”與“擺列數(shù)”是兩個(gè)不一樣的觀點(diǎn)，“擺列”是指“從n個(gè)不一樣對象中拿出m(m≤n)個(gè)對象，依照必定的次序排成一列，它不是數(shù)，而是詳細(xì)的一件事；而“擺列數(shù)”是上述達(dá)成這件事全部不一樣的擺列個(gè)數(shù)，它是一個(gè)數(shù)．1．思慮辨析

(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”

)(1)a，b，c與

b，a，c是同一個(gè)擺列．

(

)(2)從1,2,3,4中任選兩個(gè)元素，就構(gòu)成一個(gè)擺列．

(

)(3)同一個(gè)擺列中，同一個(gè)元素不可以重復(fù)出現(xiàn)．

(

)在同一個(gè)擺列中，若互換兩個(gè)元素的地點(diǎn)，則該擺列不發(fā)生變化．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．89×90×91×92××100可表示為( )10B．A11A．A10010012D．A13C．A10010012C[A100＝100×99×98××(100－12＋1)＝100×99×98××89.]3．甲、乙、丙三名同學(xué)排成一排，不一樣的擺列方法有()A．3種B．4種C．6種D．12種C[由擺列的定義可知，共有3A3＝3×2×1＝6種擺列方法．]A34．(教材4＝________.P14A組T2改編)5！134×3×21A45[5?。?×4×3×2×1＝5.]擺列的觀點(diǎn)【例1】判斷以下問題能否為擺列問題．(1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直抵航線的飛機(jī)票的價(jià)錢(假定往返的票價(jià)相同)；選2個(gè)小組分別去植樹和種菜；選2個(gè)小組去種菜；選10人構(gòu)成一個(gè)學(xué)習(xí)小組；選3個(gè)人分別擔(dān)當(dāng)班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員；某班40名學(xué)生在假期互相通訊．[思路點(diǎn)撥]判斷能否為擺列問題要點(diǎn)是選出的元素在被安排時(shí)，能否與次序相關(guān)．若與次序相關(guān)，就是擺列問題，不然就不是擺列問題．[解](1)中票價(jià)只有三種，固然機(jī)票是不一樣的，但票價(jià)是同樣的，不存在次序問題，因此不是擺列問題．植樹和種菜是不一樣的，存在次序問題，屬于擺列問題．(3)(4)不存在次序問題，不屬于擺列問題．中每一個(gè)人的職務(wù)不一樣，比如甲當(dāng)班長或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不一樣的，存在次序問題，屬于擺列問題．A給B寫信與B給A寫信是不一樣的，因此存在著次序問題，屬于擺列問題．因此在上述各題中，(2)(5)(6)屬于擺列問題．1．解決此題的要點(diǎn)有兩點(diǎn)：一是“拿出元素不重復(fù)”，二是“與次序相關(guān)”．2．判斷一個(gè)詳細(xì)問題能否為擺列問題，就看拿出元素后擺列是有序的仍是無序的，而查驗(yàn)它能否有序的依照就是變換元素的“地點(diǎn)”(這里的“地點(diǎn)”應(yīng)視詳細(xì)問題的性質(zhì)和條件來決定)，看其結(jié)果能否有變化，有變化就是擺列問題，無變化就不是擺列問題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．判斷以下問題是不是擺列問題．(1)從1到10十個(gè)自然數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)構(gòu)成直角坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)，可得多少個(gè)不同的點(diǎn)的坐標(biāo)？從10名同學(xué)中任抽兩名同學(xué)去學(xué)校開會(huì)談會(huì)，有多少種不一樣的抽取方法？某商場有四個(gè)大門，若從一個(gè)門進(jìn)去，購置物件后再從另一個(gè)門出來，不一樣的進(jìn)出方式共有多少種？[解](1)因?yàn)槟贸龅膬蓴?shù)構(gòu)成點(diǎn)的坐標(biāo)與哪一個(gè)數(shù)作橫坐標(biāo)，哪一個(gè)數(shù)作縱坐標(biāo)的順序相關(guān)，因此這是一個(gè)擺列問題．(2)因?yàn)閺?0名同學(xué)中抽取兩人去學(xué)校開會(huì)談會(huì)的方式不用考慮兩人的次序，因此這不是擺列問題．因?yàn)閺囊婚T進(jìn)，從另一門出是有次序的，因此是擺列問題．綜上，(1)、(3)是擺列問題，(2)不是擺列問題．?dāng)[列的列舉問題【例2】(教材P10例1改編)寫出以下問題的全部擺列．從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成兩位數(shù)，共有多少個(gè)不一樣的兩位數(shù)？(2)寫出從4個(gè)元素a，b，c，d中任取3個(gè)元素的全部擺列．[思路點(diǎn)撥](1)直接列舉數(shù)字．先畫樹形圖，再聯(lián)合樹形圖寫出．[解](1)全部兩位數(shù)是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12個(gè)不一樣的兩位數(shù)．由題意作樹形圖，如圖．故全部的擺列為：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24個(gè)．在擺列個(gè)數(shù)不多的狀況下，樹形圖是一種比較有效的表示方式.在操作中先將元素按一定次序排出，而后以先安排哪個(gè)元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，在每一類中再按余下的元素在前面元素不變的狀況下確立第二個(gè)元素，再按此元素分類，挨次進(jìn)行，直到達(dá)成一個(gè)擺列，這樣能不重不漏，而后按樹形圖寫出擺列.[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)北京、廣州、南京、天津4個(gè)城市互相通航，應(yīng)當(dāng)有________種機(jī)票．(2)A，B，C，D四名同學(xué)排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有________種不一樣的擺列方法．(1)12(2)14[(1)列出每一個(gè)起點(diǎn)和終點(diǎn)狀況，如下圖．故切合題意的機(jī)票種類有：北京→廣州，北京→南京，北京→天津，廣州→南京、廣州→天津、廣州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→廣州，天津→北京，天津→廣州，天津→南京，共12種．因?yàn)锳不排第一，排第一位的狀況有3類(可從B，C，D中任選一人排)，而此時(shí)兼?zhèn)淦饰鯞的排法，列樹形圖如圖．因此切合題意的全部擺列是：BADC，BACD，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CBAD，CBDA，CDBA，DABC，DBAC，DBCA，DCBA共14種．]擺列數(shù)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用[研究問題]m1．?dāng)[列數(shù)An中，n，m知足什么條件？[提示]n，m∈N且m≤n.mm－1建立嗎？2．等式An＝nAn－1[提示]mn！m－1＝n－1！∵An＝n－m！，An－1，n－m！nn－1！∴Anm＝n－m！＝nAm－1n－1.5＋A4【例3】A99(1)計(jì)算：6－A5；1010(2)求3Ax＝4Ax－189[思路點(diǎn)撥](1)可直接運(yùn)算，也可采納階乘式；(2)借助階乘式求解，注意x的范圍．545A4＋A45＋1999＝3[解](1)法一：9＝＝654－A50A－10A450－1020.1099109！9！54＋A4！5！5×9?。?！6×9！9＋A93.法二：＝＝＝＝654！－5！(2)原方程xx－1可化為3×8?。?×9！，3A8＝4A98－x！10－x！3×8！4×9×8！即＝，化簡，8－x！10－x9－x8－x！得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.x≤8，由題意知解得x≤8.x－1≤9，因此原方程的解為x＝6.1．?dāng)[列數(shù)的計(jì)算主假如利用擺列數(shù)的乘積公式進(jìn)行，應(yīng)用時(shí)注意：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個(gè)擺列數(shù)，此中最大的是擺列元素的總個(gè)數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個(gè)數(shù)是選用元素的個(gè)數(shù)，這是擺列數(shù)公式的逆用．2．應(yīng)用擺列數(shù)公式的階乘形式時(shí)，一般寫出它們的式子后，再提取公因式，而后計(jì)算，這樣常常會(huì)減少運(yùn)算量．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)(55－n)(56－n)(69－n)(n∈N*，且n＜55)用擺列數(shù)可表示為________；x－2不等式A9＞6A9的解集為________．15(2){2,3,4,5,6,7}[(1)由(69－n)－(55－n)＋1＝15可知，(55－n)(56－n)(69(1)A69－n15－n.(2)原不等式可化為9！6×9?。?，9－x！11－x！化簡得x2－21x＋104＞0，解得x＜8或x＞13.0≤x≤90≤x－2≤9又得2≤x≤9且x∈N，x∈Nx－2∈N∴原不等式的解集為{2,3,4,5,6,7}．]1．判斷一個(gè)問題是不是擺列問題的要點(diǎn)是看該問題中的元素能否與次序相關(guān)，相關(guān)為擺列問題，不然，不是擺列問題．2．?dāng)[列數(shù)公式mm的擺列數(shù)計(jì)算，而An＝n(n－1)(n－2)(n－m＋1)合適已知n！常用于與擺列數(shù)相關(guān)的證明、解方程、解不等式等．求解時(shí)務(wù)必注意隱含條件：n－m！m∈N，m≤n.1．從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)數(shù)做加、減、乘、除運(yùn)算，分別計(jì)算它們的結(jié)果，在這些問題中，有幾種運(yùn)算能夠看作擺列問題( )A．1B．2

mAn＝n，C．3D．4[因?yàn)榧臃ê统朔ㄖ慊Q律，因此選出兩個(gè)數(shù)做加法和乘法時(shí)，結(jié)果與兩數(shù)字位置沒關(guān)，故不是擺列問題．而減法、除法與兩數(shù)字的地點(diǎn)相關(guān)，故是擺列問題．]2．4×5×6××(n－1)×n等于()4n－4A．AnB．AnC．n?。?!n－3D．An[4×5×6××(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3個(gè)因式，最大數(shù)為n，最小數(shù)為4，故4×5×6××(n－1)×n＝Ann－3.]3．5本不一樣的課外讀物分給5位同學(xué)，每人一本，則不一樣的分派方法有________種．120[利用擺列的