線性代數(shù)常用公式合集

觀點(diǎn)、性質(zhì)、定理、公式一定清楚，解法一定嫻熟，計(jì)算一定準(zhǔn)確之青柳念文創(chuàng)作注○：全體n維實(shí)向量組成的會合n叫做n維向量空間.r(aEbA)naEbA(aEbA)x有非零解=-a注○b√對于e1,e2,,en：錯(cuò)誤！未找到引用源.稱為n的尺度基，n中的自然基，單位坐標(biāo)向量p教材87；錯(cuò)誤！未找到引用源.e1,e2,,en線性沒關(guān)；錯(cuò)誤！未找到引用源.e1,e2,,en1；trE=n；⑤隨意一個(gè)n維向量都能夠用e1,e2,,en線性示意.a11a12a1na21a22a2n(1)(j1j2jn)a1ja2janjDn2n隊(duì)列式的定義j1j2jnan1an2ann√隊(duì)列式的計(jì)算：錯(cuò)誤！未找到引用源.隊(duì)列式按行（列）睜開定理：隊(duì)列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.推論：隊(duì)列式某一行（列）的元素與此外一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.錯(cuò)誤！未找到引用源.若A與B都是方陣（不用同階）,則AOAAOOB=BABOBOA=A1)mnABBO(BO（拉普拉斯睜開式）錯(cuò)誤！未找到引用源.上三角、下三角、主對角隊(duì)列式等于主對角線上元素的乘積.a1nOa1na2n1a2n1n(n1)(1)2a1na2nan1④對于副對角線：an1Oan1O（即：所有取自分歧行分歧列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和）111x1x2xnx12x22xn21jinxixj⑤范德蒙品德列式：x1n1x2n1xnn1a11a12a1nAa21a22a2n矩陣的定義由mn個(gè)數(shù)排成的m行n列的表am1am2amn稱為mn矩陣.記作：Aaijmn或AmnA11A21An1A*TA12A22An2Aij陪伴矩陣A1nA2nAnn，Aij為A中各個(gè)元素的代數(shù)余子式.√逆矩陣的求法:Aab11db主換位A1錯(cuò)誤！未找到引用源.A注○：cdadbcca副變號錯(cuò)誤！未找到引用源.(AE)初等行變換(EA1)a111a111a1a3a21a21a2a2錯(cuò)誤！未找到引用源.a31a31a3a1√方陣的冪的性質(zhì)：AmAnAmn(Am)n(A)mn√設(shè)Amn,Bns,A的列向量為1,2,,n,B的列向量為1,2,,s，b11b12b1s1,2,,nb21b22b2s,c2,,csc1則ABCmsbn1bn2bnsAici，(i1,2,,s)i為Axci的解A1,2,,sA1,A2,,Asc1,c2,,csc1,c2,,cs可由1,2,,n線性示意.即：C的列向量能由A的列向量線性示意，B為系數(shù)矩陣.同理：C的行向量能由B的行向量線性示意，AT為系數(shù)矩陣.a11a12a1n1c1a111a122a1n2c1a21a22a2n2c2a211a222a2n2c2即：an1an2amnncmam11am22amn2cm√用對角矩陣左○乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對角線上的各元素挨次乘此矩陣的○行向量；用對角矩陣右○乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用的對角線上的各元素挨次乘此矩陣的○列向量.√兩個(gè)同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應(yīng)元素相乘.√分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：分塊矩陣的逆矩陣：分塊對

ABTCTATCDBTDTA11A11ABBB1BA1角陣相乘：A11B11A11B11nAnA,BABA11A22nA22B22A22B22,分塊對角陣的陪同矩陣：*BA*A*(1)mnABA(1)mnBAB*BBA√矩陣方程的解法(A0)：想法化成(I)AXB或(II)XAB①零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交.②單個(gè)零向量線性有關(guān)；單個(gè)非零向量線性沒關(guān)

.③部分有關(guān)

,整體必有關(guān)；整體沒關(guān)

,部分必沒關(guān)

.

（向量個(gè)數(shù)改動(dòng)）④原向量組沒關(guān)

,接長向量組沒關(guān)；接長向量組有關(guān)

,原向量組有關(guān)

.（向量維數(shù)改動(dòng)）⑤兩個(gè)向量線性有關(guān)對應(yīng)元素成比率；兩兩正交的非零向量組線性沒關(guān)p教材114.⑥向量組1,2,,n中任一直量i(1≤i≤n)都是此向量組的線性組合.⑦向量組1,2,,n線性有關(guān)向量組中起碼有一個(gè)向量可由其余n1個(gè)向量線性示意.向量組1,2,,n線性沒關(guān)向量組中每個(gè)向量i都不克不及由其余n1個(gè)向量線性示意.⑧m維列向量組1,2,,n線性有關(guān)r(A)n；m維列向量組1,2,,n線性沒關(guān)r(A)n.⑨若1,2,,n線性沒關(guān)，而1,2,,n,線性有關(guān),則可由1,2,,n線性暗示,且示意法獨(dú)一.矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩.行路子形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù).行路子形矩陣可畫出一條路子線，線的下方全為0；每個(gè)臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，路子線的豎線后邊的第一個(gè)元素非零.當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為1，且這些非零元所在列的其余元素都是0時(shí)，稱為行最簡形矩陣矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系；矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系.即：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩.√矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系：對A實(shí)行一次初等○行變換獲得的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣○左乘A；對A實(shí)行一次初等○列變換獲得的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣○右乘A.矩陣的秩假如矩陣A存在不為零的r階子式，且隨意r1階子式均為零，則稱矩陣A的秩為r.記作r(A)r向量組的秩向量組1,2,,nr(1,2,,n)矩陣等價(jià)A顛末有限次初等變換化為B.記作：AB向量組等價(jià)1,2,,n和1,2,,n能夠相互線性示意.記作：1,2,,n1,2,,n?矩陣A與B等價(jià)PAQB，P,Q可逆r(A)r(B),A,B為同型矩陣A,B作為向量組等價(jià),即：秩相等的向量組紛歧定等價(jià).矩陣A與B作為向量組等價(jià)r(1,2,,n)r(1,2,,n)r(1,2,n,1,2,,n)矩陣A與B等價(jià).?向量組1,2,,s可由向量組1,2,,n線性示意AXB有解r(1,2,,n)=r(1,2,n,1,2,,s)r(1,2,,s)≤r(1,2,,n).?向量組1,2,,s可由向量組1,2,,n線性示意,且sn，則1,2,,s線性有關(guān).向量組1,2,,s線性沒關(guān),且可由1,2,,n線性示意,則s≤n.?向量組1,2,,s可由向量組1,2,,n線性示意,且r(1,2,,s)r(1,2,,n),則兩向量組等價(jià)；p教材94,例10?任一直量組和它的極大沒關(guān)組等價(jià).向量組的隨意兩個(gè)極大沒關(guān)組等價(jià).?向量組的極大沒關(guān)組不獨(dú)一，但極大沒關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)獨(dú)一確立.?若兩個(gè)線性沒關(guān)的向量組等價(jià),則它們包括的向量個(gè)數(shù)相等.設(shè)A是mn矩陣,若r(A)m，A的行向量線性沒關(guān)；若r(A)n，A的列向量線性沒關(guān),即：1,2,,n線性沒關(guān).√矩陣的秩的性質(zhì)：①若AOr(A)≥1若AOr(A)00≤r(Amn)≤min(m,n)②r(A)r(AT)r(ATA)p教材101,例15③r(kA)r(A)若k0若Amn,Bns,若r(AB)0r(A)r(B)n的列向量所有是Ax的解④B0⑤r(AB)≤minr(A),r(B)若A可逆若B可逆r(Amn)⑦若

r(AB)r(B)r(AB)r(A)即：可逆矩陣不影響矩陣的秩.Ax只有零解nr(AB)r(B)ABOBO在矩陣乘法中有左消