數(shù)學建模之決策分析

數(shù)學建模之決策分析第一頁，共五十六頁，2022年，8月28日決策分類確定性決策非確定性決策不確定性決策風險決策2第二頁，共五十六頁，2022年，8月28日（1）目標（2）至少有2個以上的行動方案（3）不同方案得失可計算（4）決策環(huán)境確定大致概率完全不確定3第三頁，共五十六頁，2022年，8月28日例1、某石油公司計劃開發(fā)海底石油，有四種勘探方案A1,

A2,

A3,

A4可供選擇?？碧缴形催M行，只知可能有以下三種結(jié)果：S1:干井，

S2：油量中等，S3:油量豐富，對應于各種結(jié)果各方案的損益情況已知，應如何決策？

例2、某洗衣機廠，根據(jù)市場信息，認為全自動洗衣機應發(fā)展?jié)L筒式，有兩種方案。A1:改造原生產(chǎn)線，

A2：新建生產(chǎn)線。市場調(diào)查知，滾筒式銷路好的概率為0.7，銷路不好為0.3。兩種方案下各種情況的損益情況已知，應如何決策？4第四頁，共五十六頁，2022年，8月28日第一節(jié)：不確定性決策例1、電視機廠，99年產(chǎn)品更新方案：A1：徹底改型

A2：只改機芯，不改外殼A3：只改外殼，不改機芯問：如何決策？5第五頁，共五十六頁，2022年，8月28日收益矩陣：高中低

S1S2S3(萬元)A1201-6A2980

A3654事件方案6第六頁，共五十六頁，2022年，8月28日(一)、樂觀準則(最大最大法則)max[maxVij]ij選A1

S1S2S3Vi=max{Vij}A1201-620A29809A36546maxVi=20i7第七頁，共五十六頁，2022年，8月28日(二)、悲觀準則(最大最小法則)max[minVij]ij選A3

S1S2S3Vi=min{Vij}A1201-6-6A29800A36544maxVi=4ij8第八頁，共五十六頁，2022年，8月28日選A1(三)、折衷準則(樂觀系數(shù)準則)

加權(quán)系數(shù)α(0α1)max{α(maxVij)+(1-α)(minVij)}α=0.6ijj

S1S2S3Vi1=maxVi2=min加權(quán)平均

A1201-620-69.6A2980905.4A3654645.2max=9.6i9第九頁，共五十六頁，2022年，8月28日選A2max{Vij}1nnj=1i(四)、等可能準則

S1S2S3Vi=Vij

A1201-65A29805A36545max=523231310第十頁，共五十六頁，2022年，8月28日選A1(五)、后悔值準則(最小機會損失){max{Vij}-Vij}i

S1S2S3S1S2S3maxA1201-6071010A2980110411A3654143014min=1011第十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日例：產(chǎn)品，成本30元/件，批發(fā)價35元/件，當月售不完－1元/件。每批10件，最大生產(chǎn)力40件/月(批量生產(chǎn)與銷售)，應如何決策？

010203040Vi=Vij

000000010-1050505050190/520-2040100100100320/530-303090150150390/540-402080140200400/515SiAi12第十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日第二節(jié)：風險決策(一)、期望值準則(1)、矩陣法例1

S1S2S30.30.50.2A1201-65.3A29806.7A36545.1SiPjAjPjVij選A213第十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日例2

S1S2P(S1)=0.70.3A1500-200290A2-1501000195PjVij分析當α＝P(S1)為何值時，方案會從A1→A214第十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日當P(S1)=0.8P(S2)=0.2時，E(A1)=0.8×500+(-200)×0.2=360E(A2)=0.8×(-150)+0.2×(1000)=80,仍A1P(S1)=0.6P(S2)=0.4時E(A1)=220E(A2)=310,選A215第十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日一般：E(A1)=α×500+(1-α)(-200)=700α-200E(A2)=α×(-150)+(1-α)(1000)=-1150α+1000令E1=E2得α=0.65稱α=0.65為轉(zhuǎn)折概率

α>0.65選A1α<0.65選A216第十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日(2)、決策樹法方案分枝概率分枝決策點

標決策期望效益值方案點

標本方案期望效益值

結(jié)果點

標每個方案在相應狀態(tài)下面的效益值概率分枝標自然狀態(tài)的概率17第十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日例1

S1S20.40.6A1100-20

A27510A35030電視機廠試生產(chǎn)三種電視機Ai(i=1,2,3)。市場大、小Sj(j=1,2)。生產(chǎn)哪種？18第十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日解：100-207510503012340.60.40.60.40.6A1A2A3P(S1)=0.419第十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日解：100-20751050303812823633840.60.40.60.40.6A1A2A3P(S1)=0.4多級決策問題20第二十頁，共五十六頁，2022年，8月28日例2、化工原料廠，由于某項工藝不好，影響效益，現(xiàn)廠方欲改革工藝，可自行研究(成功可能為0.6)，買專利(成功可能為0.8)。若成功，則有2種生產(chǎn)方案可選，1是產(chǎn)量不變，2是增產(chǎn)；若失敗，則按原方案生產(chǎn)，有關(guān)數(shù)據(jù)如下。試求最優(yōu)方案。21第二十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日按原工藝方案生產(chǎn)價低0.1-100-200-300-200-300

中0.5050500-250價高0.4100150250200600買專利(0.8)自研(0.6)產(chǎn)量不變增產(chǎn)產(chǎn)量不變增產(chǎn)(萬元)22第二十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日解：0.123第二十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日解：0.124第二十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日最優(yōu)決策

買入專利，成功則增產(chǎn)，失敗則保持原產(chǎn)量。25第二十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日(3)、貝葉斯法(后驗概率法)(Bayes法)處理風險決策問題時，需要知道各種狀態(tài)出現(xiàn)的概率：P(1)，P(2)，…，P(n)，這些概率稱為先驗概率。風險是由于信息不充分造成的，決策過程還可以不斷收集信息，如果收集到進一步信息S，對原有各種狀態(tài)出現(xiàn)概率估計可能會有變化，變化后的概率為P(jS)，此條件概率表示在追加信息S后對原概率的一個修正，所以稱為后驗概率。Bayes法就是一種后驗概率方法26第二十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日P(jSi)通過概率論中Bayes公式計算得出Bayes公式：

P(j)P(Sij)P(jSi)＝P(Si)其中

p(Si):預報為Si的概率，P(Si/j):狀態(tài)j被調(diào)查預報為Si的概率27第二十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日例1某鉆井大隊在某地進行石油勘探，主觀估計該地區(qū)為有油(1)地區(qū)的概率為

P(1)＝0.5,沒油(2)的概率為

P(2)＝0.5，為提高勘探效果，先做地震試驗，根據(jù)積累資料得知：28第二十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日有油地區(qū)，做試驗結(jié)果好(F)的概率P(F1)＝0.9有油地區(qū)，做試驗結(jié)果不好(U)的概率P(U1)＝0.1無油地區(qū)，做試驗結(jié)果好(F)的概率P(F2)＝0.2有油地區(qū)，做試驗結(jié)果不好(U)的概率P(U2)＝0.8求：在該地區(qū)做試驗后，有油和無油的概率各為多少？29第二十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日解：做地震試驗結(jié)果好的概率P(F)＝P(1)P(F1)＋P(2)P(F2)

＝0.5×0.9+0.5×0.2=0.55做地震試驗結(jié)果不好的概率P(U)＝P(1)P(U1)＋P(2)P(U2)

＝0.5×0.8+0.5×0.1=0.4530第三十頁，共五十六頁，2022年，8月28日用Bayes公式求解各事件的后驗概率：做地震試驗結(jié)果好的條件下有油的概率

P(1)P(F1)0.459P(1F

)＝==P(F

)0.5511做地震試驗結(jié)果好的條件下無油的概率

P(2)P(F2)0.102P(2F

)＝==P(F

)0.551131第三十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日用Bayes公式求解各事件的后驗概率：做地震試驗結(jié)果不好的條件下有油的概率

P(1)P(U1)0.051P(1U)＝==P(U

)0.459做地震試驗結(jié)果不好的條件下無油的概率

P(2)P(U2)0.408P(2U

)＝==P(U)0.45932第三十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日例2某公司有資金500萬元，如用于某項開發(fā)事業(yè)，估計成功率為96%，一年可獲利潤12％；若失敗則喪失全部資金；若把資金全存在銀行，可獲得年利率6%，為輔助決策可求助于咨詢公司，費用為5萬元，根據(jù)咨詢過去公司類似200例咨詢工作，有下表：33第三十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日實施結(jié)果投資投資合計咨詢意見成功失敗可以投資1542156次不宜投資38644次合計1928200次試用決策樹方法分析該公司是否應該咨詢？資金該如何使用？34第三十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日T1：咨詢公司意見：可以投資T2：咨詢公司意見：不宜投資E1：投資成功E2：投資失敗35第三十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日

156P(T1)=×100%=0.78200

44P(T2)=×100%=0.22200P(E1)=0.96P(E2)=0.0436第三十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日

154P(E1/

T1)==0.987156

2P(E2/

T1)==0.013156

38P(E1/

T2)==0.86544

6P(E2/

T2)==0.1354437第三十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日P(T1)P(T2)42.72投資投資存銀行存銀行47.7238第三十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日答：求助于咨詢公司如果投資公司給出可以投資意見則投資如果投資公司給出不宜投資意見則存入銀行39第三十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日第三節(jié)：效用理論(1)、什么是效用值例：工廠價值200萬元，發(fā)生火災可能性0.001(千分之一)。廠長上保險：2500元不上保險：2000000×0.001=2000(元)例：廠長上：2500元(大病保險費)發(fā)：2000元(醫(yī)藥費)40第四十頁，共五十六頁，2022年，8月28日例：單位(1)、直接1萬元(2)、抽獎3萬元(0.5)0(0.5)1.5萬元老王：(1)小李：(2)貨幣的主觀價值——“效用值”衡量人們對貨幣的主觀認識。41第四十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日①同樣貨幣在不同的風險場合，其價值在同一個人感覺不一樣。②同樣貨幣，在不同的人來看，有不同的價值觀。42第四十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日(2)、效用值計算及效用曲線表明決策者對不同風險的態(tài)度的變化曲線效用函數(shù)u(x),

0≤u(x)≤1x：貨幣值

u(x)：效用值求效用曲線方法：對比提問法43第四十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日對比提問法：設計兩種方案A1，A2A1：無風險可得一筆金額X2A2：以概率P得一筆金額X3，以概率(1-P)損失一筆金額X1X1<X2<X3，u(xi)表示金額xi的效用值。44第四十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日在某種條件下，決策者認為A1，A2兩方案等效。P·U(x1)+(1-P)U(x3)=U(x2)(

)P,x1,

x2,

x3為4個未知數(shù)。已知其中3個可定第4個。45第四十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日可以設已知x1,

x2,

x3，提問確定P。一般用改進的V－M法，即固定P=0.5,每次給出x1,

x3，通過提問定x2，用(*)求出U(x2)5點法，定5個點作圖46第四十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日例1、在某次交易中，決策者認為：可承擔的最大損失是-1000萬元可獲得的最大收益是2000萬元

U(2000)=1U(-1000)=0提問(1)A1:無風險得？你覺得A1，A2等效？A2:以0.5可能得2000萬，0.5可能損失1000萬?；卮?200萬，0.5U(2000)+0.5U(-1000)=U(1200)

則U(1200)=0.547第四十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日提問(2)A1:無風險得？你覺得A1，A2等效？A2:以0.5可能得1200萬，0.5可能損失-1000萬?；卮?00萬，0.5U(1200)+0.5U(-1000)=U(800)0.5×0.5=U(800)=0.25提問(3)A1:無風險得？你覺得A1，A2等效？A2:以0.5可能得800萬，0.5可能損失-1000萬?；卮?00萬，U(20