泰勒展開式及其在高考中的應用

獲取更多資料關(guān)注微信公眾號：鉆研數(shù)學QQ資料群：955046678泰勒展開式及其在高考中的應用@鉆研數(shù)學泰勒公式是高等數(shù)學中的重點，也是一個難點，它貫穿于高等數(shù)學的始終。泰勒公式的重點就在于使用一個次多項式,去逼近一個已知的函數(shù)。而且這種逼近有很好的性質(zhì)：與在點具有相同的直到階的導數(shù).所以泰勒公式能很好的集中體現(xiàn)高等數(shù)學中的“逼近”這一思想精髓。泰勒公式的難點就在于它的理論性比較強，一般很難接受，更不用說應用了。但泰勒公式無論在科研領(lǐng)域還是在證明、計算應用等方面，它都起著很重要的作用。運用泰勒公式對不等式問題進行分析、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、放縮是解決不等式證明問題的常用方法與基本思想。本文擬在前面文獻研究的基礎(chǔ)上通過舉例歸納，總結(jié)泰勒公式在證明不等式中的應用方法.泰勒公式知識：設函數(shù)在點處的某鄰域內(nèi)具有階導數(shù)，則對該鄰域內(nèi)異于的任意點，在與之間至少存在一點，@鉆研數(shù)學使得：=+++++，其中稱為余項，上式稱為階泰勒公式；若0，則上述的泰勒公式稱為麥克勞林公式，即=+++++.利用泰勒公式證明不等式：若函數(shù)在含有的某區(qū)間有定義,并且有直到階的各階導數(shù),又在點處有階的導數(shù),則有公式在上述公式中若(或),則可得或常用函數(shù)的展開式①②通常能夠用到的是對于恒成立,對于恒成立,由于是奇函數(shù)，所以公式①的右邊只有奇次方項，由于是偶函數(shù)，所以公式②的右邊只有偶次方項;對公式①求導可得公式②，反之對公式②求積分可得公式①，若將公式①和②中的負號全部改為正號并兩式相加，則得公式:③根據(jù)③高考中常見由,故,則所以我們經(jīng)常會用到一個不等式:,加強型:我們經(jīng)常會用到:@鉆研數(shù)學④均為等比求和.⑤,你會發(fā)現(xiàn)，將公式不定積分就可得到:根據(jù)⑤，高考中常見:.[典例1]證明:證明：設則在處有帶有拉格朗日余項三階泰勒公式由以上證明可知,用泰勒公式證明不等式,首先構(gòu)造函數(shù),選取適當?shù)狞c在處展開,然后判斷余項的正負,從而證明不等式.對于欲證不等式中含有初等函數(shù)、三角函數(shù)、超越函數(shù)與冪函數(shù)結(jié)合的證明問題，要充分利用泰勒公式在時的麥克勞林展開式，選取適當?shù)幕竞瘮?shù)麥克勞林的的展開式，對題目進行分析、取材、構(gòu)造利用.[典例2]證明不等式：≤.分析：不等式左邊是三次二項式的初等函數(shù)，右邊是三角函數(shù)，兩邊無明顯的大小關(guān)系。這時我們可用在的二階麥克勞林公式表示出來，然后進行比較判斷兩者的大小關(guān)系。證明：,,,,,,,當時，的泰勒展式為：≥0(≥0,≤,0＜＜1)所以≥0，有≤.在含有無理函數(shù)與冪函數(shù)結(jié)合的不等式證明問題中，它們之間沒有明顯的大小關(guān)系。如果用常規(guī)方法（放縮法、比較法，代換法等），我們很難比較它們之間的大小關(guān)系，但這時用泰勒公式卻能輕易解答.[典例3]證明不等式：＜，（＞0）.分析：對于此題，若我們對不等式兩邊同時平方，雖可以去掉根號，但的次數(shù)卻提高了次，這還是難以比較他們之間的大小關(guān)系，但若用泰勒公式卻可以輕易解答.證明：設，則,,,,,代入=0的二階泰勒公式，有=1+-+(0＜＜1)∵＞0,∴＞0所以＜（x＞0）.在不等式的證明問題中，若題目中出現(xiàn)了一階導數(shù)、二階導數(shù)、初等函數(shù)、三角函數(shù)或超越函數(shù)等與冪函數(shù)結(jié)合時，可優(yōu)先考慮泰勒公式在=0時的麥克勞林表達式。當然能做好此類題的前提條件是要對一些基本函數(shù)的麥克勞林表達式熟悉.一、泰勒與切線找點萬能切線找點不等式:,我們能寫出在處的泰勒公式為,則在處的泰勒展開式為:,同理在處的泰勒公式為:在處的泰勒公式為：一切都可以用平移來解釋理解.[典例4]（2014?新課標Ⅱ卷）已知函數(shù)．@鉆研數(shù)學（1）討論的單調(diào)性；（2）設，當時，，求的最大值；（3）已知，估計的近似值（精確到．解析：(1)由得,即，當且僅當即時,,所以函數(shù)在上為增函數(shù).(2)函數(shù),求導得.①由,則,當,即時,,當且僅當時取等號，從而在上為增函數(shù)，而,所以時,,符合題意.②當時,若滿足,即得,此時,,又由知,當時,,不符合題意.綜合①②知，,即的最大值為泰勒展開式函數(shù),根據(jù)泰勒展開式,不知你嗅到端點效應的氣息沒有？(3)因為,根據(jù)(2)中,為了湊配,并利用的近似值,故將即代入的解析式中，得.當時，由,得,從而；令,得當時,由，得,得,所以的近似值為0.693.泰勒展開式因為,轉(zhuǎn)化研究的結(jié)構(gòu),兩式相減得取即得符合精度的近似值.二、泰勒與極值界定對于任意一個能用泰勒公式在處展開的函數(shù):,我們可以將其寫成這種近似的形式:當取得極大值時，一定會出現(xiàn)最低偶次項系數(shù)為負，即或者以此類推······當取得極小值時，一定會出現(xiàn)最低偶次項系數(shù)為正，即或者以此類推······由于能用泰勒公式展開的函數(shù)都是屬于無限函數(shù)（無窮級數(shù)）.當時,則此函數(shù)不可能在時取得極值,而一旦此函數(shù)時,此函數(shù)就變成,在處取得極小值;同理，函數(shù)中，當僅當時，此函數(shù)在處取得極大值。類比推理到無限函數(shù)，由于在時，是的高階無窮小，同樣，也是的高階無窮小，當一個無限函數(shù)取得極值時，一定是此函數(shù)的最低階無窮小處取得極值，而奇次項是中心對稱屬性，無法取得極值，偶次項則是軸對稱屬性，能取得極值.再根據(jù)二次函數(shù)的開口方向來類比，系數(shù)為正，開口向上,取得極小值，同理，系數(shù)為負，開口向下，取得極大值.綜上，一個無限函數(shù)在最低階無窮小必須是在偶次項時出現(xiàn)，且系數(shù)的正負決定是極大值或者是極小值,此方法叫做泰勒極值界定法.@鉆研數(shù)學[典例5]\t"/math2/ques/_blank"\o"此年份及地區(qū)表示：該試題最新出現(xiàn)所在的試卷年份及地區(qū)"（2018?全國Ⅲ卷）已知函數(shù)．（1）若，證明：當時，；當時，；（2）若是的極大值點，求的值．解析：略.方法一：常規(guī)法求導,令當時,單調(diào)遞增，故,即,故在上單調(diào)遞增，故不是的極大值點,不符合題意.當時,,顯然單調(diào)遞減，①令,解得即當時,,當時,,即在,0)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即所以單調(diào)遞減，又即當時,,即當時,,即,故在(-1,0)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，即是的極大值點,符合題意;②若,則,故在上有唯一一個零點,設為,即當時,單調(diào)遞增，故,即,故在上單調(diào)遞增，不符合題意;③若,則,故在(-1,0)上有唯一一個零點,設為,即當時,單調(diào)遞減,所以,即單調(diào)遞增，故,即,即在,上單調(diào)遞減，不符合題意.綜上,.方法二：對數(shù)單身狗因為是的極大值點，所以,使得時,且恒成立,恒成立，令則恒成立,所以是的極大值點.令,則是的（變號）零點.,得,而當時,,則時,時,所以是的極大值點，也是的極大值點，故.方法三：泰勒極值界定我們不妨用泰勒公式在處展開，可以得到,要判斷極值點，通常取前三到四項即可，,故最低階的無窮小必須是,則,此時系數(shù)為,正好取得最大值，滿足題意.泰勒與切線界定[典例6]（2019?全國Ⅰ卷）已知函數(shù)，為的導數(shù)．（1）證明：在區(qū)間存在唯一零點；（2）若時，，求的取值范圍．解析：（1）證明求導得令,則,當時,,當時,,當時，極大值為,又,故在上有唯一零點,即在上有唯一零點;(2)方法一：常規(guī)法由(1)知,在上有唯一零點,使得,且在為正，在為負，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，結(jié)合,可知在上非負，令,因為,根據(jù)和的圖象可知，的取值范圍是.方法二：泰勒展開我們將此題進行泰勒展開，發(fā)現(xiàn),由于是一個比低階無窮小的量,@鉆研數(shù)學故只能由零點存在定理可知，函數(shù)在上存在唯一零點,結(jié)合單調(diào)性可知，當時,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞減,單調(diào)遞減.當時,,于是單調(diào)遞減，其中于是可得,時,單調(diào)遞減時單調(diào)遞減時,單調(diào)遞減;其中與時,結(jié)合單調(diào)性可知,函數(shù)在上有且只有一個零點,由函數(shù)零點存在性定理可知,在,上有且只有一個零點,當時,,因此函數(shù)在上無零點.綜上,有且僅有2個零點.典例精練1.已知函數(shù)．（1）若恒成立，求的取值范圍（2）若，估值（精確到0．001）．解析：(1)求導得;①當時,恒成立，所以在單增，有恒成立，滿足.②當或時，令,解得,若,則在成立，所以,符合題意.若,有,當時,單減，有予盾.所以(2)由(1)得,即,取,有,即由(1)得時,k在恒成立,令,解得,取,則在成立,取,得,所以,綜上（精確0.001),取另解：泰勒展開式令,解得,或者因為,轉(zhuǎn)化研究的結(jié)構(gòu),兩式相減得取即得符合精度的近似值.2.已知是函數(shù)的極大值點，則的取值范圍是A． B． C． D．解析：方法一：對數(shù)單身狗+泰勒展開式是函數(shù)的極大值點等價于是函數(shù)的極大值點，由在的泰勒展開為,化簡得,因為是的一個極大值點,所以二次項系數(shù)必須小于零,即，當時，也滿足最低偶次項即系數(shù)小于零，所以故答案為方法二：正切泰勒展開式由在零處的泰勒展開為即,因為是的一個極大值點,所以二次項系數(shù)必須小于零，即,在處（帶有佩亞諾余項）的泰勒展開式為,一般應用前兩項即可.當時，也滿足最低偶次項即系數(shù)小于零，所以故答案為故選.3.已知函數(shù)（1）當時，求曲線在點處的切線；（2）若為的一個極小值點，求的取值范圍．解析：略方法一：常規(guī)法①當時,遞增，在遞減，在遞增，滿足:②當時,;當即易知在為負，遞減,在為正,遞增，故,即在上單調(diào)遞增，無極值，矛盾當即,使得,即在遞減，在遞增，,進一步易知有兩個零點,一個為,另一個,使得,即在遞增，在遞減,為的極大值點，矛盾.當即在在為負，在為正,在遞減，在連增。滿足，綜上所述,方法二：極值界定在處取極小值0即使得恒有使得恒有,故在極小值為(本質(zhì)只需要即為極小值）,即滿足.方法三在處取極小值0即使得恒有使得恒有故在極小值為；①當時，當時,在為的極小值點,滿足②當時,在為的極小值點,③當時,即時無極值點,矛盾④當時,在遞增,遞減,為的極大值點,為的極小值,點，滿足⑤當時,在為的極大值,點,矛盾，綜上.4.已知函數(shù)．（1）當時，若在上恒成立，求的范圍；（2）當時，若不是的極值點，求實數(shù)的值．解析：(1)時,,所以,令,所以,所以在上為增函數(shù),所以,又，恒成立,在遞增，所以,所以(2)方法一：常規(guī)法,令,所以令,則,所以在上遞增,且當時,,當時,為減函數(shù)當時,,為增函數(shù)，所以,所以在上增，所以不是極值點，所以成立，當時,,因為在上單調(diào)增，當時,,使得,當時,,即,所以在上為增函數(shù)，又當時,,當時,,所以是極小值點,不成立.綜上,.方法二：泰勒界定當且時無極值點,所以.5.英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其．根據(jù)該公式可知，與的值最接近的是（

）A． B．C． D．解析：原式故選:B6.英國著名數(shù)學家布魯克·泰勒(TaylorBrook)以微積分學中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的定理著稱于世.在數(shù)學中，泰勒級數(shù)用無限連加式來表示一個函數(shù)，泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級數(shù)，并建立了如下指數(shù)函數(shù)公式：其中，，，特別地，.用上述公式估計的近似值.下列最適合的為（

）(精確到0.01)A．1.25 B．1.26 C．1.28 D．1.30解析：由題意知：.故選：C7.英國著名數(shù)學家布魯克-泰勒以微積分學中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的定理著稱于世.在數(shù)學中，泰勒級數(shù)用無限連加式來表示一個函數(shù)，泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級數(shù)，并建立了如下指數(shù)函數(shù)公式：，其中，則的近似值為（精確到）（

）A． B． C． D．解析：計算前四項，在千分位上四舍五入由題意知:故選：C8.英國數(shù)學家布魯克泰勒，以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級數(shù)而聞名于世.根據(jù)泰勒公式，我們可知：如果函數(shù)在包含的某個開區(qū)間上具有階導數(shù)，那么對于，有，其中，（此處介于和之間）.若取，則，其中，（此處介于0和之間）稱作拉格朗日余項.此時稱該式為函數(shù)在處的階泰勒公式，也稱作的階麥克勞林公式.于是，我們可得（此處介于0和1之間）.若用近似的表示的泰勒公式的拉格朗日余項，當不超過時，正整數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．解析：由條件有，即因為，，所以的最小值為.故選：C.

9.十八世紀，數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式…，其中，若，下列選項中與的值最接近的是（

）A． B． C． D．解析：因為…，所以，令得，即．故選：A．10.計算器是如何計算，，，，等函數(shù)值的呢？計算器使用的是數(shù)值計算法，其中一種方法是用容易計算的多項式近似地表示這些函數(shù)，通過計算多項式的值求出原函數(shù)的值，如，，其中，英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了這些公式，可以看出，右邊的項用得越多，計算得出的和的值也就越精確.運用上述思想，可得到的近似值為（

）A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56解析：由題意可得，，故，故選：．11.英國數(shù)學家泰勒以發(fā)現(xiàn)泰勒公式和泰勒級數(shù)聞名于世．由泰勒公式，我們能得到（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，，，其拉格朗日余項是．可以看出，e的表達式右邊的項用得越多，計算得到的e的近似值也就越精確．若近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余項，且不超過時，則正整數(shù)n的最小值是______．解析：由題意，可得，即．當時，