勾股定理教學(xué)設(shè)計(全國優(yōu)秀課)

-.z.課題：勾股定理〔1〕教材：〔人教版〕義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)八年級〔下〕教師年級初二授課時間科目數(shù)學(xué)班級初二〔1〕班課題勾股定理〔1〕教學(xué)目標(biāo)1．理解勾股定理的兩種證明方法——畢達(dá)哥拉斯證法和趙爽的弦圖證法；應(yīng)用勾股定理解決簡單的直角三角形三邊計算問題；2．通過對直角三角形三邊關(guān)系的猜測驗證，經(jīng)歷從特殊到一般的探索過程，開展合情推理，體會數(shù)形結(jié)合的思想；3．在勾股定理的探索過程中感受數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.教學(xué)重點探究并理解勾股定理．教學(xué)難點探索勾股定理的驗證方法.教學(xué)方法啟發(fā)式與探究式相結(jié)合.教學(xué)手段多媒體投影、計算機(jī)輔助教學(xué)，自制教具實驗輔助.教學(xué)過程設(shè)計教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖舊知新問，引出新課提問：你們對直角三角形都有哪些了解？預(yù)案：學(xué)生易答：直角三角形中有一個直角，兩個銳角互余；三角形兩邊之和大于第三邊等.預(yù)設(shè)問題：直角三角形的三邊長之間滿足怎樣的等量關(guān)系呢？為什么？你能直接從圖形中看出來嗎？從而引出今天我們將共同探討問題——直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系.猜測探索，形成方法在2500年前，古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就已經(jīng)對此問題有了明確的結(jié)論并給與了證明，相傳他對三角形三邊關(guān)系的發(fā)現(xiàn)竟然是從地磚中得到的，現(xiàn)在就讓我們一同回到2500年前，體驗一下畢達(dá)哥拉斯的經(jīng)歷：【活動1】："地磚里的秘密？〞地磚中隱含著直角三角形三邊關(guān)系的什么"秘密〞呢？〔圖1〕預(yù)設(shè)問題：問題1：地磚是由全等的直角三角形拼接而成的，每個直角三角形都相鄰三個正方形，這三個正方形面積間有怎樣的關(guān)系？你是怎樣看出來的？問題2：如果用直角三角形三邊長來分別表示這三個正方形的面積，又將反映三邊怎樣的數(shù)量關(guān)系？問題3：等腰直角三角形滿足上述關(guān)系，則一般直角三角形呢？【發(fā)現(xiàn)】：【活動2】："勾三，股四，弦?guī)缀?？〞鼓勵學(xué)生利用畢達(dá)哥拉斯的面積方法在圖2的網(wǎng)格圖中嘗試探索"勾三股四的直角三角形的弦長〞．：Rt求AB的長．〔圖2〕預(yù)設(shè)問題：正方形P、Q的面積為什么易求？正方形R的面積不易求的原因是什么？怎樣將正方形R的面積轉(zhuǎn)化為幾個"格點圖形〞的面積和或差來計算呢？預(yù)案："割〞"補(bǔ)〞"割〞"補(bǔ)〞"旋轉(zhuǎn)〞"平移〞"旋轉(zhuǎn)〞"平移〞由此發(fā)現(xiàn)直角邊長為3和4的直角三角形的三邊具有怎樣的關(guān)系？預(yù)案：：Rt求AB的長．【板書】猜測:直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.【活動3】我們一起來驗證?。篟t求證：預(yù)案1：可代表邊長為的正方形的面積，則就存在一個邊長為的正方形，需要四條長為的線段，即四個與全等的直角三角形，用這樣的四個三角形能拼成邊長為的正方形嗎？應(yīng)用代數(shù)方法能否證明？試動手拼一拼，證一證.證法1：將四個全等的直角三角形圍成如下圖的正方形∵.∴.證法2：將四個全等的直角三角形圍成如下圖的正方形∵.∴.預(yù)案2：沿用面積法的思路：可代表邊長為的正方形的面積；可代表邊長為的正方形的面積；可代表邊長為的正方形的面積；要證明，則需證明邊長為的正方形和邊長為的正方形通過"割補(bǔ)拼接〞后得到邊長為的正方形，請嘗試實驗驗證.方法如下圖：【歷史介紹】預(yù)案1中的方法1是我國漢代的趙爽在注解"周髀算經(jīng)"時給出的方法，人們稱之為"趙爽弦圖〞，2002年召開的國際數(shù)學(xué)家大會就將"趙爽弦圖〞定為會標(biāo)；預(yù)案2中的方法是我國古代的*徽在他的"九章算術(shù)"中應(yīng)用面積"出入相補(bǔ)〞的原理給出的"青朱出入圖〞法.公元1世紀(jì)中國一部天文學(xué)著作"周髀算經(jīng)"中記載的商高和周公的對話：周公問商高"我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，則怎樣才能得到關(guān)于天地的數(shù)據(jù)呢？〞商高答復(fù)說："數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體的認(rèn)識.其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時候，則它的斜邊‘弦’就必定是5.〞【階段小結(jié)】以上的兩種方法都不約而同地通過割補(bǔ)拼接的方法把直角三角形三邊關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為正方形面積問題得以解決的。其中的依據(jù)是圖形經(jīng)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變.這種原理在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也會應(yīng)用到.歸納總結(jié)，描述定理【文字語言】直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．【符號語言】Rt∵∴【圖形語言】穩(wěn)固練習(xí)，適當(dāng)拓展例如圖，要借助一架云梯登上24米高的建筑物頂部，為了平安需要，需使梯子底端離墻7m.這個梯子至少有多長？如果梯子的頂端下滑了4米，則梯子的底端在水平方向上也滑動了4米嗎？為什么？自我檢測：〔根底題〕在以下圖形中標(biāo)出直角三角形中未知邊的長度：414188404066〔提高題〕選擇：〔1〕"趙爽弦圖"是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形〔如圖〕，假設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長分別是2和1,則小正方形〔陰影區(qū)域〕的面積與大正方形的面積比為()A．B．C．D．〔2〕如圖，直線上有三個正方形，假設(shè)的面積分別為5和11，則的面積為〔〕ababcl課堂小結(jié)，布置作業(yè)小結(jié)提示：〔1〕勾股定理的使用條件是什么？〔2〕直角三角形三邊有什么樣的數(shù)量關(guān)系？〔3〕勾股定理的探索和應(yīng)用過程中你用到了哪些數(shù)學(xué)方法？領(lǐng)悟到了什么樣的數(shù)學(xué)思想？作業(yè)布置：〔根底必做題〕1.求出以下直角三角形中未知邊的長度：2.課本習(xí)題18.1第11題；〔提高選作題〕收集勾股定理證明方法的資料，以小報或PPT的形式與同學(xué)們交流.學(xué)生交流對直角三角形中的角、邊關(guān)系的認(rèn)識.【活動1】在三個問題的引領(lǐng)下，學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)三個正方形面積間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的三邊關(guān)系，進(jìn)而提出一般直角三角形三邊關(guān)系的猜測.【活動2】學(xué)生小組合作，在網(wǎng)格紙上畫圖探究正方形R的面積，小組代表交流方法．【活動3】學(xué)生動手操作，在感受圖形變化的同時，用"數(shù)〞描述圖形的面積，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合地得出直角三角形的三邊關(guān)系.小組代表在黑板上用模具展示拼圖結(jié)果，師生共同應(yīng)用代數(shù)法轉(zhuǎn)化等式，證明猜測.學(xué)生歸納總結(jié)直角三角形三邊關(guān)系，結(jié)合圖形語言，從文字語言和符號語言兩方面描述勾股定理.學(xué)生分析條件，確定直角位置及邊的位置，嘗試應(yīng)用勾股定理在直角三角形兩邊時求第三邊.學(xué)生獨立完成自我檢測題，并交流解題方法.學(xué)生在三個問題的引領(lǐng)下回憶并歸納本節(jié)課的知識技能、思想方法、情感體驗.學(xué)生課后完成作業(yè)，其中的提高選作題可預(yù)留一周時間完成.激發(fā)學(xué)生探索勾股定理的興趣.通過【活動1】對地磚中圖形的探索培養(yǎng)學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)的眼光認(rèn)識生活中現(xiàn)象的能力；將面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形三邊長之間的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生體驗"面積法〞在幾何證明中的作用，為探索一般直角三角形三邊關(guān)系提供了方法線索．【活動2】對"勾三，股四，弦五〞這種較一般的直角三角形的三邊關(guān)系進(jìn)展探究，讓學(xué)生進(jìn)一步體驗畢達(dá)哥拉斯的面積法，也再次為猜測提供有力證據(jù)；不僅如此，正方形R面積的計算方法已經(jīng)表達(dá)"割〞和"補(bǔ)〞的思想，這為下一步應(yīng)用面積證法進(jìn)展一般化證明做好鋪墊．【活動3】通過使用直角三角形模具完成拼圖過程，讓學(xué)生體會應(yīng)用圖形"割補(bǔ)拼接〞面積不變的特點來驗證直角三角形三邊數(shù)量關(guān)系的猜測，培養(yǎng)學(xué)生由數(shù)到形再由形到數(shù)的數(shù)學(xué)思想以及轉(zhuǎn)化的能力．在實驗拼圖探究的過程中開展學(xué)生的空間想象力和合情推理能力.教師把握時機(jī)向?qū)W生講述勾股定理的探索歷史，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)證明的靈活與精巧，體會勾股定理中蘊含的歷史和文化，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)自己的方法與古代數(shù)學(xué)家的想法不期而遇時，自豪感和自信心油然而生．通過以上三個活動，學(xué)生經(jīng)歷了實際抽象、猜測探索、一般驗證的探究過程，實現(xiàn)了從特殊到一般的思維跨越．讓學(xué)生從文字語言、符號語言、圖形語言三個方面對勾股定理進(jìn)展描述，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力．本例是勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，通過條件的變化體會在直角三角形中兩邊可求第三邊．根底題是對勾