《函數(shù)的基本性質(zhì)》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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1.奇偶性

〔1〕定義：假如對(duì)于函數(shù)f(*)定義域內(nèi)的任意*都有f(－*)=－f(*)，那么稱f(*)為奇函數(shù)；假如對(duì)于函數(shù)f(*)定義域內(nèi)的任意*都有f(－*)=f(*)，那么稱f(*)為偶函數(shù)。假如函數(shù)f(*)不具有上述性質(zhì)，那么f(*)不具有奇偶性.假如函數(shù)同時(shí)具有上述兩條性質(zhì)，那么f(*)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。

留意：

①函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；

②由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)須要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)*，那么－*也肯定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量〔即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱〕。

〔2〕利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：

①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

②確定f(－*)與f(*)的關(guān)系；

③作出相應(yīng)結(jié)論：

假設(shè)f(－*)=f(*)或f(－*)－f(*)=0，那么f(*)是偶函數(shù)；

假設(shè)f(－*)=－f(*)或f(－*)＋f(*)=0，那么f(*)是奇函數(shù)。

〔3〕簡約性質(zhì)：

①圖象的對(duì)稱性質(zhì)：一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱；

②設(shè)f(*)，g(*)的定義域分別是D1,D2，那么在它們的公共定義域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

2.單調(diào)性

〔1〕定義：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(*)的定義域?yàn)镮，假如對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量*1，*2，當(dāng)*1*2時(shí)，都有f(*1)f(*2)〕，那么就說f(*)在區(qū)間D上是增函數(shù)〔減函數(shù)〕；

留意：

①函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

②需要是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量*1，*2；當(dāng)*1*2時(shí)，總有f(*1)f(*2)。

〔2〕假如函數(shù)y=f(*)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(*)在這一區(qū)間具有〔嚴(yán)格的〕單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(*)的單調(diào)區(qū)間。

〔3〕設(shè)復(fù)合函數(shù)y=f[g(*)]，其中u=g(*),A是y=f[g(*)]定義域的某個(gè)區(qū)間，B是映射g:*→u=g(*)的象集：

①假設(shè)u=g(*)在A上是增

〔或減〕函數(shù)，y=f(u)在B上也是增〔或減〕函數(shù)，那么函數(shù)y=f[g(*)]

在A上是增函數(shù)；

②假設(shè)u=g(*)在A上是增〔或減〕函數(shù)，而y=f(u)在B上是減〔或增〕函數(shù)，那么函數(shù)y=f[g(*)]在A上是減函數(shù)。

〔4〕判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

利用定義證明函數(shù)f(*)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：

①任取*1，*2∈D，且*1*2；②作差f(*1)－f(*2)；③變形〔通常是因式分解和配方〕；④定號(hào)〔即判斷差f(*1)－f(*2)的正負(fù)〕；⑤下結(jié)論〔即指出函數(shù)f(*)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性〕。

〔5〕簡約性質(zhì)

①奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；

②偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；

③在公共定義域內(nèi)：

增函數(shù)f(*)增函數(shù)g(*)是增函數(shù)；減函數(shù)f(*)減函數(shù)g(*)是減函數(shù)；增函數(shù)f(*)減函數(shù)g(*)是增函數(shù)；減函數(shù)f(*)增函數(shù)g(*)是減函數(shù)。

④假設(shè)函數(shù)yf(*)是偶函數(shù)，那么f(*a)f(*a)；假設(shè)函數(shù)yf(*a)是偶函數(shù)，那么f(*a)f(*a).

3.函數(shù)的周期性

假如函數(shù)y＝f(*)對(duì)于定義域內(nèi)任意的*，存在一個(gè)不等于0的常數(shù)T，使得f(*＋T)＝f(*)恒成立，那么稱函數(shù)f(*)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期.

性質(zhì)：

①假如T是函數(shù)f(*)的周期，那么kT(k∈N＋)也是f(*)的周期.

②假設(shè)周期函數(shù)f(*)的周期為T，那么f(*)〔0〕是周期函數(shù)，且周期為T||。

③假設(shè)f(*)f(*a),那么函數(shù)yf(*)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱;假設(shè)a2f(*)f(*a),那么函數(shù)yf(*)為周期為2a的周期函數(shù).

例題：1.y1*2的遞減區(qū)間是；ylog1(*3*2)的單調(diào)遞增區(qū)間是。1*22.函數(shù)f(*)lg(21)的圖象〔〕1*A.關(guān)于*軸對(duì)稱B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)于直線y*對(duì)稱

3.設(shè)f(*)是定義在R上的奇函數(shù)，假設(shè)當(dāng)*0時(shí)，f(*)log3(1*)，那么f(2)。

4.定義在R上的偶函數(shù)f(*)滿意f(*2)f(*2)，假設(shè)f(*)在[2,0]上遞增，那么〔〕

A.f(1)f(5.5)B．f(1)f(5.5)C．f(1)f(5.5)D．以上都不對(duì)

5.爭論函數(shù)f(*)*1的單調(diào)性。

6.已知奇函數(shù)f(*)是定義在(2,2)上的減函數(shù),假設(shè)f(m1)f(2m1)0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

7.已知函數(shù)f(*)的`定義域?yàn)镹，且對(duì)任意正整數(shù)*，都有f(*)f(*1)f(*1)。假設(shè)f(0)2022，求f(2022)。

習(xí)題：

題型一：判斷函數(shù)的奇偶性

1.以下函數(shù)：〔1〕y1(*0)；〔2〕y*1；〔3〕y2；〔4〕ylog2*；〔5〕*4**2；其中奇函數(shù)是，偶函數(shù)是，ylog2(**1)，(6)f(*)*222非奇非偶函數(shù)是。

2.已知函數(shù)f(*)=**,那么f(*)是()

A.奇函數(shù)而非偶函數(shù)B.偶函數(shù)而非奇函數(shù)

C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)

題型二：奇偶性的應(yīng)用

1.已知偶函數(shù)f(*)和奇函數(shù)g(*)的定義域都是(-4,4),它們?cè)?,0上的圖像分別如圖〔2-3〕所示，那么關(guān)于*的不等式f(*)g(*)0的解集是_____________________。

圖(2-3)

2.已知f(*)a*7b*5c*3d*5，其中a,b,c,d為常數(shù)，假設(shè)f(7)7，那么f(7)____

3.以下函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間1,1上單調(diào)遞減的是〔〕

A.f(*)sin*B.f(*)*C.f(*)1*2*aa*D.f(*)ln22*

4.已知函數(shù)yf(*)在R是奇函數(shù)，且當(dāng)*0時(shí)，f(*)*22*，那么*0時(shí)，f(*)的解析式為。

5.假設(shè)f*是偶函數(shù),且當(dāng)*0,時(shí),f**1,那么f*10的解集是〔〕

A.*1*0B.**0或1*2C.*0*2D.*1*2題型三：判斷證明函數(shù)的單調(diào)性

1.判斷并證明f(*)

22在(0,)上的單調(diào)性*12.判斷f(*)2*2*1在(,0)上的單調(diào)性

題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1.求函數(shù)ylog0.7(*23*2)的單調(diào)區(qū)間。

2.以下函數(shù)中，在(,0)上為增函數(shù)的是〔〕

A.y*24*8B.ya*3(a0)C.y2D.ylog1(*)*12

3.函數(shù)f(*)*

A.0,1的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是〔〕*B.,0C.0,1D.1,

4.以下函數(shù)中，在(0，2)上為增函數(shù)的是()A.y=-3*+1B.y=|*+2|C.y=

5.函數(shù)y=54**2的遞增區(qū)間是()

A.(-∞，-2)B.[-5，-2]C.[-2，1]D.[1，+∞)

題型五：單調(diào)性的應(yīng)用

1.函數(shù)f(*)=*+2(a-1)*+2在區(qū)間(-∞，4)上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[3，+∞)B.(-∞，-3]C.{-3}D.(-∞，5]

2.已知函數(shù)f(*)=2*-m*+3，當(dāng)*∈(-2，+∞)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)*∈(-∞，-2)時(shí)是減函數(shù)，那么f(1)等于()

A.-3B.13C.7D.由m而決斷的常數(shù)．2242D.y=*-4*+3*

3.假設(shè)函數(shù)f(*)*3a*2b*7在R上單調(diào)遞增，那么實(shí)數(shù)a,b肯定滿意的條件是〔〕

A．a(chǎn)3b0B.a3b022C．a(chǎn)3b02D．a(chǎn)3b12

4.函數(shù)f(*)3a*2b2a,*[1,1],假設(shè)f(*)1恒成立，那么b的最小值為。

5.已知偶函數(shù)f(*)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0，解不等式f［log2(*2+5*+4)］≥0。題型六：周期問題

1.奇函數(shù)f(*)以3為最小正周期，f(1)3，那么f(47)為()

A.3B.6C.-3D.-6

2.設(shè)f(*)是定義在R上以6為周期的函數(shù)，f(*)在(0,3)內(nèi)單調(diào)遞增，且y=f(*)的圖象關(guān)于直線*=3對(duì)稱，那么下面正確的結(jié)論是()

A.f(1.5)f(3.5)f(6.5)B.f(3.5)f(1.5)f(6.5)

C.f(6.5)f(3.5)f(1.5)D.f(3.5)f(6.5)f(1.5)

*3.已知f*為偶函數(shù),且f2*f2*,當(dāng)2*0時(shí),f*2,那么f2022

〔〕

A．2022B．4C．4D．14

4.設(shè)f(*)是(,)上的奇函數(shù)，f(*2)f(*)，當(dāng)0*1時(shí)，f(*)*，那