三因素方差分析的原理及應(yīng)用

三因素方差分析的原理及應(yīng)用郭萍【摘要】基于雙因素方差分析，推導(dǎo)出三因素方差分析的原理，給出了偏差平方和分解式及三因素方差分析表，并將推導(dǎo)的結(jié)果應(yīng)用在具體的數(shù)學(xué)建模案例中，同時利用MATLAB實現(xiàn)了該案例的求解.求解結(jié)果的一致性說明了原理推導(dǎo)的正確性.【期刊名稱】《沈陽大學(xué)學(xué)報》【年(卷)，期】2015(027)001【總頁數(shù)】4頁(P40-43)【關(guān)鍵詞】三因素方差分析;數(shù)學(xué)建模;MATLAB【作者】郭萍【作者單位】青島理工大學(xué)琴島學(xué)院基礎(chǔ)部,山東青島266106【正文語種】中文［中圖分類】O29當(dāng)今社會是一個信息高度發(fā)達(dá)、人們的社會經(jīng)濟(jì)活動日益頻繁的社會，大量的信息、數(shù)據(jù)需要人們處理.如何從這些海量的信息中提取有用的信息，指導(dǎo)人們的社會實踐活動,越發(fā)顯得必要而迫切，從而為數(shù)理統(tǒng)計提供了日益廣闊的舞臺［1］.方差分析是數(shù)理統(tǒng)計中非常重要的內(nèi)容.方差分析又稱〃變異數(shù)分析”或“F檢驗”，是由RAFisher發(fā)明的，用于對兩個及兩個以上樣本均數(shù)差別的顯著性檢驗［2］.三因素方差分析是檢驗在三種因素影響下，三個以上總體的均值彼此是否相等的一種統(tǒng)計方法.文獻(xiàn)［3］給出了單因素及雙因素方差分析的原理，但并未給出三因素方差分析的相關(guān)內(nèi)容.本文詳細(xì)推導(dǎo)了無交互影響的三因素方差分析的原理及偏差平方和分解式，由此給出了三因素方差分析表，利用該分析表解決了一個具體的數(shù)學(xué)建模案例,并通過MATLAB實現(xiàn)了該案例的求解.求解結(jié)果的一致性說明了原理推導(dǎo)的正確性.設(shè)有三個因素A,B,C,因素A取r個水平，分別記為A1,A2,...,Ar;因素B取s個水平，分別記為B1,B2,...,Bs;因素C取t個水平，分別記為C1,C2,...,Ct.在水平組合(Ai,Bj,Ck)下樣本相互獨立,且記其中,i=12."j=12...,s;k=12...,t.稱p為一般平均,ai為因素A的第i個水平的效應(yīng)向為因素B的第j個水平的效應(yīng)，Yk為因素C的第k個水平的效應(yīng).顯然ai，Bj，Yk滿足如下關(guān)系式：若pijk=p+ai+Bj+Yk,則數(shù)學(xué)模型為假設(shè)檢驗如下：記故無交互影響的三因素方差分析表如表1所示.若FA>F1-a(r-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1))測拒絕H01,表示在因素A的各水平下的效應(yīng)有顯著差異；若FB>F1-a(s-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1))測拒絕H02,表示在因素B的各水平下的效應(yīng)有顯著差異；⑶若FC>F1-a(t-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1))測拒絕H03,表示在因素C的各水平下的效應(yīng)有顯著差異.某集團(tuán)為了研究商品銷售點所在的地理位置、銷售點處的廣告和銷售點的裝潢這三個因素對商品的影響程度，選了三個位置(如市中心黃金地段、非中心的地段、城鄉(xiāng)結(jié)合部)、兩種廣告形式、兩種裝潢檔次在四個城市進(jìn)行了搭配試驗.表2是銷售量的數(shù)據(jù).試在顯著性水平0.05下,檢驗不同地理位置、不同廣告、不同裝潢下的銷售量是否有顯著差異[4].解法1按照推導(dǎo)出的偏差平方和分解式,計算求得方差分析表，如表3所示.由于FA-13.9158>F0.95(2,7)=4.74,FB必15.5966>F0.95(1,7)=5.59,FC22.3232>F0.95(1,7)=5.59,因此,在顯著性水平a=0.05下，因素A的不同水平、因素B的不同水平及因素C的不同水平都對該商品的銷售量有顯著影響.為了使該商品的銷售情況更好地理位置、廣告、裝潢都需要進(jìn)行合理的選擇.解法2MATLAB實現(xiàn).統(tǒng)計工具箱中用anovan作多因素方差分析.無交互影響的三因素方差分析命令為[p,t]=anovan(x,group).返回值p是三個概率.當(dāng)p>a時接受H0,說明因素有顯著影響;當(dāng)p<a時拒絕H0,說明因素?zé)o顯著影響.t是方差分析表.編寫程序如下：clc,clearx=[955927905855880860870830875870870821];group={['A1';'A1';'A1';'A1';'A2';'A2';'A2';'A2';'A3';'A3';'A3';'A3';];['B1';'B1';'B2';'B2';'B1';'B1';'B2';'B2';'B1';'B1';'B2';'B2';];['C1';'C2';'C1';'C2';'C1';'C2';'C1';'C2';'C1';'C2';'C1';'C2';]};[p,t]=anovan(x,group)求得p的值分別為0.0036,0.0055,0.0099,方差分析表如表4所示.第一個p值是在因素A(即地理位置)的影響下得到的,第二個p值是在因素B(即廣告)的影響下得到的，第三個p值是在因素C(即裝潢)的影響下得到的.由于三個p值均小于0.05,故拒絕原假設(shè)，說明因素A的不同水平、因素B的不同水平及因素C的不同水平都對該商品的銷售量有顯著影響.MATLAB實現(xiàn)的結(jié)果與利用偏差平方和分解式得到的結(jié)果是一致的，說明偏差平方和分解式及無交互影響的三因素方差分析表的推導(dǎo)都是正確的.近年來,隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和普及,借助于計算機(jī)及MATLAB[5]軟件完成統(tǒng)計計算、分析統(tǒng)計結(jié)果、作出統(tǒng)計推斷已經(jīng)成為必然趨勢.但是沒有理論支撐的應(yīng)用,就如空中樓閣.對無交互影響的三因素方差分析原理及偏差平方和分解式的推導(dǎo)，對數(shù)據(jù)較少的實際問題，不僅可以通過動手計算,分析問題的結(jié)果;而且有了理論的支撐，可以更好地理解MATLAB軟件中程序的意義，同時對統(tǒng)計結(jié)果作出更透徹的分析.【相關(guān)文獻(xiàn)】夏傳武.MATLAB在概率統(tǒng)計教學(xué)中的應(yīng)用[J].徐州工程學(xué)院學(xué)報,2005,20(S1):96-98.(XiaChuanwu.TheApplicationofMATLABinTeachingofProbabilityStatistics[J].JournalofXuzhouInstituteofTechnology,2005,20(S1):96-98.)易昆南，程勛杰."假設(shè)檢驗”決策的誤區(qū):一場由全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽引發(fā)的爭論[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報啟然科學(xué)版,2013,27(4):106-109.(YiKunnan,ChengXunjie.AFrequentlyMistakenConceptin“HypothesisTest”:ADisputeTriggeredbyChinaUndergraduateMathematicalContestinModeling[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology:NaturalScience,2013,27(4):106-109.)魏宗舒，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京:高等教育出版社,2001:372-391.(WeiZongshu,etal.TheCourseofProbabilityTheoryandMathematicalStatistics[M].Beijing:HigherEducationPress,2001:372-391.)司守奎.數(shù)學(xué)建模算法與程序[M].北京:國防工業(yè)出版社,2007:225.(SiShouku