三因素方差分析的原理及應(yīng)用

三因素方差分析的原理及應(yīng)用郭萍【摘要】基于雙因素方差分析，推導出三因素方差分析的原理，給出了偏差平方和分解式及三因素方差分析表，并將推導的結(jié)果應(yīng)用在具體的數(shù)學建模案例中，同時利用MATLAB實現(xiàn)了該案例的求解.求解結(jié)果的一致性說明了原理推導的正確性.【期刊名稱】《沈陽大學學報》【年(卷)，期】2015(027)001【總頁數(shù)】4頁(P40-43)【關(guān)鍵詞】三因素方差分析;數(shù)學建模;MATLAB【作者】郭萍【作者單位】青島理工大學琴島學院基礎(chǔ)部,山東青島266106【正文語種】中文［中圖分類】O29當今社會是一個信息高度發(fā)達、人們的社會經(jīng)濟活動日益頻繁的社會，大量的信息、數(shù)據(jù)需要人們處理.如何從這些海量的信息中提取有用的信息，指導人們的社會實踐活動,越發(fā)顯得必要而迫切，從而為數(shù)理統(tǒng)計提供了日益廣闊的舞臺［1］.方差分析是數(shù)理統(tǒng)計中非常重要的內(nèi)容.方差分析又稱〃變異數(shù)分析”或“F檢驗”，是由RAFisher發(fā)明的，用于對兩個及兩個以上樣本均數(shù)差別的顯著性檢驗［2］.三因素方差分析是檢驗在三種因素影響下，三個以上總體的均值彼此是否相等的一種統(tǒng)計方法.文獻［3］給出了單因素及雙因素方差分析的原理，但并未給出三因素方差分析的相關(guān)內(nèi)容.本文詳細推導了無交互影響的三因素方差分析的原理及偏差平方和分解式，由此給出了三因素方差分析表，利用該分析表解決了一個具體的數(shù)學建模案例,并通過MATLAB實現(xiàn)了該案例的求解.求解結(jié)果的一致性說明了原理推導的正確性.設(shè)有三個因素A,B,C,因素A取r個水平，分別記為A1,A2,...,Ar;因素B取s個水平，分別記為B1,B2,...,Bs;因素C取t個水平，分別記為C1,C2,...,Ct.在水平組合(Ai,Bj,Ck)下樣本相互獨立,且記其中,i=12."j=12...,s;k=12...,t.稱p為一般平均,ai為因素A的第i個水平的效應(yīng)向為因素B的第j個水平的效應(yīng)，Yk為因素C的第k個水平的效應(yīng).顯然ai，Bj，Yk滿足如下關(guān)系式：若pijk=p+ai+Bj+Yk,則數(shù)學模型為假設(shè)檢驗如下：記故無交互影響的三因素方差分析表如表1所示.若FA>F1-a(r-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1))測拒絕H01,表示在因素A的各水平下的效應(yīng)有顯著差異；若FB>F1-a(s-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1))測拒絕H02,表示在因素B的各水平下的效應(yīng)有顯著差異；⑶若FC>F1-a(t-1,(r-1)(s-1)(t-1)+(r-1)(t-1)+(r-1)(s-1)+(s-1)(t-1))測拒絕H03,表示在因素C的各水平下的效應(yīng)有顯著差異.某集團為了研究商品銷售點所在的地理位置、銷售點處的廣告和銷售點的裝潢這三個因素對商品的影響程度，選了三個位置(如市中心黃金地段、非中心的地段、城鄉(xiāng)結(jié)合部)、兩種廣告形式、兩種裝潢檔次在四個城市進行了搭配試驗.表2是銷售量的數(shù)據(jù).試在顯著性水平0.05下,檢驗不同地理位置、不同廣告、不同裝潢下的銷售量是否有顯著差異[4].解法1按照推導出的偏差平方和分解式,計算求得方差分析表，如表3所示.由于FA-13.9158>F0.95(2,7)=4.74,FB必15.5966>F0.95(1,7)=5.59,FC22.3232>F0.95(1,7)=5.59,因此,在顯著性水平a=0.05下，因素A的不同水平、因素B的不同水平及因素C的不同水平都對該商品的銷售量有顯著影響.為了使該商品的銷售情況更好地理位置、廣告、裝潢都需要進行合理的選擇.解法2MATLAB實現(xiàn).統(tǒng)計工具箱中用anovan作多因素方差分析.無交互影響的三因素方差分析命令為[p,t]=anovan(x,group).返回值p是三個概率.當p>a時接受H0,說明因素有顯著影響;當p<a時拒絕H0,說明因素無顯著影響.t是方差分析表.編寫程序如下：clc,clearx=[955927905855880860870830875870870821];group={['A1';'A1';'A1';'A1';'A2';'A2';'A2';'A2';'A3';'A3';'A3';'A3';];['B1';'B1';'B2';'B2';'B1';'B1';'B2';'B2';'B1';'B1';'B2';'B2';];['C1';'C2';'C1';'C2';'C1';'C2';'C1';'C2';'C1';'C2';'C1';'C2';]};[p,t]=anovan(x,group)求得p的值分別為0.0036,0.0055,0.0099,方差分析表如表4所示.第一個p值是在因素A(即地理位置)的影響下得到的,第二個p值是在因素B(即廣告)的影響下得到的，第三個p值是在因素C(即裝潢)的影響下得到的.由于三個p值均小于0.05,故拒絕原假設(shè)，說明因素A的不同水平、因素B的不同水平及因素C的不同水平都對該商品的銷售量有顯著影響.MATLAB實現(xiàn)的結(jié)果與利用偏差平方和分解式得到的結(jié)果是一致的，說明偏差平方和分解式及無交互影響的三因素方差分析表的推導都是正確的.近年來,隨著計算機技術(shù)的發(fā)展和普及,借助于計算機及MATLAB[5]軟件完成統(tǒng)計計算、分析統(tǒng)計結(jié)果、作出統(tǒng)計推斷已經(jīng)成為必然趨勢.但是沒有理論支撐的應(yīng)用,就如空中樓閣.對無交互影響的三因素方差分析原理及偏差平方和分解式的推導，對數(shù)據(jù)較少的實際問題，不僅可以通過動手計算,分析問題的結(jié)果;而且有了理論的支撐，可以更好地理解MATLAB軟件中程序的意義，同時對統(tǒng)計結(jié)果作出更透徹的分析.【相關(guān)文獻】夏傳武.MATLAB在概率統(tǒng)計教學中的應(yīng)用[J].徐州工程學院學報,2005,20(S1):96-98.(XiaChuanwu.TheApplicationofMATLABinTeachingofProbabilityStatistics[J].JournalofXuzhouInstituteofTechnology,2005,20(S1):96-98.)易昆南，程勛杰."假設(shè)檢驗”決策的誤區(qū):一場由全國大學生數(shù)學建模競賽引發(fā)的爭論[J].重慶理工大學學報啟然科學版,2013,27(4):106-109.(YiKunnan,ChengXunjie.AFrequentlyMistakenConceptin“HypothesisTest”:ADisputeTriggeredbyChinaUndergraduateMathematicalContestinModeling[J].JournalofChongqingUniversityofTechnology:NaturalScience,2013,27(4):106-109.)魏宗舒，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京:高等教育出版社,2001:372-391.(WeiZongshu,etal.TheCourseofProbabilityTheoryandMathematicalStatistics[M].Beijing:HigherEducationPress,2001:372-391.)司守奎.數(shù)學建模算法與程序[M].北京:國防工業(yè)出版社,2007:225.(SiShouku