2020年普通高等學(xué)校招生伯樂(lè)馬模擬考試（八）數(shù)學(xué)（理）試題

/22/22/2020年普通高等學(xué)校招生伯樂(lè)馬模擬考試（八）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先求出集合A,B，再求交集即可【詳解】解：，，.故選：C，【點(diǎn)睛】此題考查集合的交集運(yùn)算，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題2．已知且滿足，則（）A． B． C．5 D．10【答案】A【解析】設(shè)，代入計(jì)算求得復(fù)數(shù)z，再求復(fù)數(shù)的?？傻眠x項(xiàng).【詳解】設(shè)，由題意得，，，，所以，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.3．若拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為，則（）A．2 B．4 C． D．【答案】C【解析】由拋物線的定義可得焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為，從而可得答案【詳解】解：由題意得，.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.4．已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】變形，利用指對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及中間量比較大小可得解.【詳解】，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得，則所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查利用指對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.5．若，，，則的最大值為（）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】直接根據(jù)基本不等式求最值．【詳解】解：∵，，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“=”，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題．6．在等腰梯形中，，，則（）A． B．3 C． D．12【答案】D【解析】由平面幾何知識(shí)得出梯形中的邊角關(guān)系，再運(yùn)用向量的加法運(yùn)算轉(zhuǎn)化向量，代入運(yùn)用向量的數(shù)量積定義運(yùn)算可得選項(xiàng).【詳解】作出圖示如下圖所示，作，因?yàn)?，所以，所以，，所以，又在中，，所以?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面幾何圖形中的向量的數(shù)量積運(yùn)算，關(guān)鍵在于根據(jù)平面幾何知識(shí)得出邊角的關(guān)系，再運(yùn)用向量的線性表示轉(zhuǎn)化向量，運(yùn)用向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7．三棱錐中，底面，若，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先利用正弦定理計(jì)算出△ABC的外接圓直徑2r，再結(jié)合三棱錐的特點(diǎn)，得出球心的位置：過(guò)△ABC外接圓圓心的垂線與線段SA中垂面的交點(diǎn).再利用公式可計(jì)算出該三棱錐的外接球直徑，最后利用球體表面積公式可得出答案．【詳解】解：由于AB＝BC＝AC＝3，則△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，由正弦定理知，△ABC的外接圓直徑為，由于SA⊥底面ABC，所以，△ABC外接圓圓心的垂線與線段SA中垂面的交點(diǎn)為該三棱錐的外接球的球心，所以外接球的半徑，因此，三棱錐S﹣ABC的外接球的表面積為4πR2＝4π×＝21π．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查球體表面積的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置，考查計(jì)算能力，屬于中等題．8．已知函數(shù)，其中，的部分圖象如圖所示，且f（x）在上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值（其中最大值為1，最小值為-1），則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)條件先求出得值，結(jié)合在上恰有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，求出滿足條件的表達(dá)式，即可求解．【詳解】由題意知，根據(jù)函數(shù)，的部分圖象，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所?故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的最大值和最小值對(duì)應(yīng)的范圍求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．9．《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓.下圖是易經(jīng)先天八卦圖（記憶口訣：乾三連、坤六斷、巽下斷、震仰盂、坎中滿、離中虛、艮覆碗、兌上缺），每一卦由三根線組成（“”表示一根陽(yáng)線，“”表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有四根陽(yáng)線和二根陰線的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】先求得從八卦中取兩卦的方法數(shù)，然后將兩卦的六根線中恰有四根陽(yáng)線和二根陰線情況是兩類，求得各自的方法數(shù)，從而求得所求概率.【詳解】從八卦中取兩卦，兩卦的六根線中恰有四根陽(yáng)線和二根陰線情況是兩類：一類是一卦有三根陽(yáng)線，另一卦有一個(gè)陽(yáng)線和二根陰線，共有3種取法；另一類是兩卦都是兩陽(yáng)一陰，也是三種取法，所以所求概率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)文化及古典概型，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)，屬基礎(chǔ)題.10．已知函數(shù)，，若恰有1個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】恰有1個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與的圖像恰有一個(gè)交點(diǎn)，而直線恒過(guò)點(diǎn)，結(jié)合圖可得答案【詳解】恰有1個(gè)零點(diǎn)即與的圖像恰有一個(gè)交點(diǎn)，恒過(guò)點(diǎn)，由得，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，由得，所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，所以結(jié)合圖像可知，恰有1個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).故選：D【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查分段函數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.11．已知雙曲線的一個(gè)右焦點(diǎn)為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，過(guò)點(diǎn)的圓與雙曲線相較于四個(gè)點(diǎn)（為其中一個(gè)交點(diǎn)），圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若△的面積為32，△的面積為8，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由雙曲線的對(duì)稱性及圓的性質(zhì)，得四邊形是矩形，由得點(diǎn)坐標(biāo)求得，由得點(diǎn)縱坐標(biāo)及△的面積為8求得，從而求出值得解【詳解】設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由雙曲線的對(duì)稱性及圓的性質(zhì)，四邊形是矩形，所以，即，，，由得，，所以，，，所以，的漸近線方程為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線及圓的知識(shí)求漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題.12．方程在的解為，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】先根據(jù)的范圍求得，結(jié)合函數(shù)圖象對(duì)稱性得，將換掉求得，然后根據(jù)范圍結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，是的兩根，結(jié)合圖像可知或即或，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以；?dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，，所以，且所以，所以，所?綜上兩個(gè)情況都有，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的對(duì)稱性及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題.二、填空題13．已知，則______.【答案】【解析】利用誘導(dǎo)公式以及正弦的倍角公式，將目標(biāo)式化為含正切的代數(shù)式，代值即可求得結(jié)果.【詳解】由，得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查用誘導(dǎo)公式以及倍角公式化簡(jiǎn)求值，屬綜合基礎(chǔ)題.14．的展開式中的系數(shù)為______.【答案】-40【解析】利用乘法分配律及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求得系數(shù).【詳解】的通項(xiàng)公式，則的展開式中系數(shù)為.故答案為：-40【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)系數(shù)的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是熟練掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式.15．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，若的面積為，則其周長(zhǎng)是________.【答案】15【解析】根據(jù)余弦定理到，根據(jù)面積公式到，計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)余弦定理：.根據(jù)面積公式：，故.故，故，故周長(zhǎng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理和面積公式，意在考查學(xué)生計(jì)算能力和應(yīng)用能力.16．已知正三棱柱中，點(diǎn)，分別是側(cè)面和內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)作平行于的直線分別交，于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)作平行于的直線分別交，于點(diǎn)，，，的中點(diǎn)分別為，，則多面體側(cè)面積的最小值為______.【答案】24【解析】根據(jù)題意，多面體側(cè)面積最小只需三角形周長(zhǎng)最小即可，根據(jù)對(duì)稱性，結(jié)合題意即可容易求得結(jié)果.【詳解】多面體為三棱柱，確定其側(cè)面積的最小值只需確定底面周長(zhǎng)的最小值即可.在底面中，設(shè)關(guān)于和對(duì)稱點(diǎn)分別為，，連接，則當(dāng)，，，共線時(shí)，周長(zhǎng)最小，最小值為6.所以多面體的體積的最小值為24.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查多面體體積的計(jì)算，注意確定臨界情況即可，屬基礎(chǔ)題.三、解答題17．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用等比數(shù)列的基本量轉(zhuǎn)化已知條件，解方程求得首項(xiàng)和公比，則問(wèn)題得解；（2）根據(jù)（1）中所求得到，再用錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以?因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以解得，或.又因?yàn)?，所以是遞增的等比數(shù)列，所以，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知.則，①在①式兩邊同時(shí)乘以3得，，②①-②得，即，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)例基本量的計(jì)算，以及用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬綜合基礎(chǔ)題.18．如圖1，平面四邊形中，和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，現(xiàn)沿將折起，使，如圖2.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，則由已知可得，且，從而得，所以，所以可得平面，進(jìn)而由面面垂直的判定定理可證得平面平面；（2）因?yàn)閮蓛纱怪?，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，以，，為，，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求二面角的余弦值【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)楹途鶠檫呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以，且，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為，，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則平面的一個(gè)法向量為，依題意，平面的一個(gè)法向量，所以，由圖可得為銳二面角，故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查了面面垂直的判定，考查二面角的求法，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題19．某公司研發(fā)了一種幫助家長(zhǎng)解決孩子早教問(wèn)題的萌寵機(jī)器人.萌寵機(jī)器人語(yǔ)音功能讓它就像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找到寶寶想聽的內(nèi)容.同時(shí)提供快樂(lè)兒歌、國(guó)學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語(yǔ)等早期教育內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以持續(xù)更新.萌寵機(jī)器人一投放市場(chǎng)就受到了很多家長(zhǎng)歡迎.為了更好地服務(wù)廣大家長(zhǎng)，該公司研究部門從流水線上隨機(jī)抽取100件萌寵機(jī)器人（以下簡(jiǎn)稱產(chǎn)品），統(tǒng)計(jì)其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖（如圖1）：產(chǎn)品的性能指數(shù)在的適合托班幼兒使用（簡(jiǎn)稱A類產(chǎn)品），在的適合小班和中班幼兒使用（簡(jiǎn)稱B類產(chǎn)品），在的適合大班幼兒使用（簡(jiǎn)稱C類產(chǎn)品），A，B，C，三類產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)分別為每件1.5，3.5，5.5（單位：元）.以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率.（1）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)；（2）該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷售量（單位：萬(wàn)件）的影響，對(duì)近5年的年?duì)I銷費(fèi)用，和年銷售量數(shù)據(jù)做了初步處理，得到的散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.16.3024.870.411.64表中，，，.根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，可以作為年銷售量（萬(wàn)件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用（萬(wàn)元）的回歸方程.（i）建立關(guān)于的回歸方程；（ii）用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營(yíng)銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？（收益=銷售利潤(rùn)-營(yíng)銷費(fèi)用，?。?參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.【答案】（1）每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)為4元（2）（i）（ii）該廠應(yīng)投入256萬(wàn)元營(yíng)銷費(fèi).【解析】（1）分別求出三類產(chǎn)品的頻率，求出分布列及其數(shù)學(xué)期望即可；（2）（i）利用公式求出相關(guān)系數(shù)，即可求出回歸方程；（ii）設(shè)年收益為萬(wàn)元，求出，設(shè)，，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出的最大值.【詳解】（1）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)為元，則的所有可能取值為1.5，3.5，5.5，由直方圖可得，，，三類產(chǎn)品的頻率分別為0.15、0.45、0.4，所以，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：1.53.55.50.150.450.4所以，，故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)為4元；（2）（i）由得，，令，，，則，由表中數(shù)據(jù)可得，，則，所以，，即，因?yàn)?，所以，故所求的回歸方程為；（ii）設(shè)年收益為萬(wàn)元，則，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)，即時(shí)，有最大值為768，即該廠應(yīng)投入256萬(wàn)元營(yíng)銷費(fèi)，能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大768萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程，屬于難題，求回歸直線方程的步驟：（1）依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系；（2）計(jì)算的值；（3）計(jì)算回歸系數(shù)；（4）寫出回歸直線方程.20．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的上焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)在第一象限，且.（1）求直線的方程；（2）直線的方向向量與共線，直線交橢圓于，，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）3.【解析】（1）設(shè)，利用和點(diǎn)在橢圓上列式，可解得，，再根據(jù)兩點(diǎn)式可得直線的方程；（2）根據(jù)直線的方向向量與共線，可設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓，求得弦長(zhǎng)和原點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而求得的面積，再根據(jù)基本不等式可求得最大值.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，所以，①又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，②由①②解得，所以的坐標(biāo)為，又因?yàn)榈淖鴺?biāo)為，所以直線的方程為.（2）直線的方向向量與共線，所以，因?yàn)橹本€，所以設(shè)直線，，，由得，，由，得，由韋達(dá)定理得，，，所以又因?yàn)榈街本€的距離，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查了直線的方向向量，考查了弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，三角形面積公式，考查了基本不等式求最值，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.21．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).（1）若，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）在（1）的條件下，判斷的單調(diào)性；（3）若，，求證：.【答案】（1）的零點(diǎn)為0（2）在定義域是增函數(shù)（3）證明見解析.【解析】（1）代入的值，求出的導(dǎo)數(shù)，再求出的導(dǎo)數(shù)，判斷的單調(diào)性，即可求出的零點(diǎn)；（2）由（1）可直接判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】（1）由題可知的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，，令則，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以，所以的零點(diǎn)為0；（2）由（1）知，即在定義域是增函數(shù)；（3）即，由（2）知，在單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，，所以要證明原不等式成立，只需證明，即證明，設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增，所以，所以原不等式成立，綜上，當(dāng)，時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)、討論函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式的恒成立問(wèn)題，是一道綜合題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）若上恰有2個(gè)點(diǎn)到的距離等于，求的斜率.【答案】(1)的普通方程為,C的直角坐標(biāo)方