2022屆貴州省普通高等學(xué)校招生高三適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)（理）試題

/22/22/2022屆貴州省普通高等學(xué)校招生高三適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)集合，，，則（???????）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，再按照交集并集的運算計算即可.【詳解】，.故選：C.2．已知復(fù)數(shù)（），則是的（???????）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義以及復(fù)數(shù)模的計算公式判斷即可；【詳解】解：因為，所以，若，則，故充分性成立；若，即，即解得或，故必要性不成立，故是的充分不必要條件；故選：A3．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N，若，則（???????）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接由正態(tài)分布的對稱性計算概率即可.【詳解】由正態(tài)分布的對稱性知：，故.故選：D.4．已知，則（???????）A． B． C． D．【答案】B【分析】由給定條件求出，再利用二倍角的余弦結(jié)合齊次式計算作答.【詳解】由，即，解得，所以.故選：B5．如圖，在四面體ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中點，則下列結(jié)論正確的是（???????）A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC【答案】C【分析】利用面面垂直的判斷，再結(jié)合面面關(guān)系的判斷方法逐項分析作答.【詳解】因AB=CB，AD=CD，E是AC的中點，則，而，平面，則有平面，又平面，所以平面ABC⊥平面BDE，C正確；在平面內(nèi)取點P，作，垂足分別為M，N，如圖，因平面ABC⊥平面BDE，平面ABC平面，則平面BDE，則有，若平面ABC⊥平面ABD，同理可得，而，平面，于是得平面，顯然BD與平面不一定垂直，A不正確；過A作邊上的高，連，由得，是邊上的高，則是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面ABD與平面BDC不一定垂直，B不正確；因平面，則是二面角的平面角，不一定是直角，平面ABC與平面ADC不一定垂直，D不正確.故選：C6．設(shè)為坐標(biāo)原點，為雙曲線：（）的一個焦點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，則（???????）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，漸近線方程為：，根據(jù)條件求出點坐標(biāo)求解即可.【詳解】設(shè)，漸近線方程為：，因為，所以的直線方程為：，因為，所以由，解得，所以.故選：C.7．十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬猜想形如“（）”是素數(shù)，我們稱為“費馬數(shù)”．設(shè)，，，數(shù)列與的前n項和分別為與，則下列不等關(guān)系一定成立的是（???????）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)題意求出，從而可求出與，再分析判斷即可【詳解】因為（），所以，所以，，當(dāng)時，，所以AB錯誤，因為，所以數(shù)列是以2為公比，2為首項的等比數(shù)列，是以2為公差，2為首項的等差數(shù)列，所以，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，由此可得當(dāng)時，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時，顯然成立，假設(shè)當(dāng)（）時，成立，即，則當(dāng)時，，即，綜上，當(dāng)時，，所以，所以C錯誤，D正確，故選：D8．如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1，圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體外接球的表面積為（???????）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三視圖得到直觀圖，該幾何體為直三棱柱，且，首先求出底面外接圓的直徑，即可求出外接球的半徑，從而得解；【詳解】解：由三視圖可知該幾何體的直觀圖如下所示：該直三棱柱底面為等腰直角三角且，所以外接圓的直徑為，設(shè)外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積為；故選：B9．2022年春節(jié)期間，G市某天從8~16時的溫度變化曲線（如圖）近似滿足函數(shù)（，，）的圖像．下列說法正確的是（???????）A．8～13時這段時間溫度逐漸升高B．8～16時最大溫差不超過5°CC．8～16時0°C以下的時長恰為3小時D．16時溫度為?2°C【答案】D【分析】由圖像直接判斷A、B、C選項，求出解析式判斷D選項即可.【詳解】由圖像可知：8～13時這段時間溫度先下降再升高，A錯誤；8～16時最大溫度°C，最小溫度°C，最大溫差為°C，B錯誤；8～16時0°C以下的時長超過3小時，C錯誤；，，又過點，故，解得，故，，故16時溫度為?2°C，D正確.故選：D.10．函數(shù)的圖像如圖，則的解析式可能為（???????）A． B．C． D．【答案】C【分析】由四個選項函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性及特殊點的函數(shù)值判斷即可求解.【詳解】由圖像可知，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，所以，所以，為奇函數(shù)，所以選項B錯誤；當(dāng)時，易知，所以由圖像可知，當(dāng)時，，因為，所以選項A錯誤；當(dāng)時，分別令和，所以，，所以，即，所以函數(shù)，從的局部看會先遞增，與條件中函數(shù)圖像不符，所以選項D錯誤.故選：C.11．已知曲線C1：（）和C2：，點A（?1，y1）和B（2，y2）都在C1上，平行于AB的直線l與C1，C2都相切，則C1的焦點為（???????）A．（0，） B．（0，）C．（0，1） D．（0，2）【答案】B【詳解】先由題意求出坐標(biāo)，則可得，由于直線平行于AB，所以設(shè)直線，再利用直線與相切，將直線方程代入方程中，由判別式為零可得，再由直線與相切，則圓心到直線的距離等于半徑，列方程，結(jié)前面的式子可求出，從而可求出拋物線的焦點坐標(biāo)【點睛】對于曲線C1：（），當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以直線的斜率為，設(shè)與直線平行的直線為，由，得，因為直線與相切，所以，得，因為直線與相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，所以，化簡得，所以，得，因為，所以，所以曲線C1為，其焦點為，故選：B12．已知函數(shù)圖像與函數(shù)圖像的交點為，，…，，則（???????）A．20 B．15 C．10 D．5【答案】A【分析】分析函數(shù)，的性質(zhì)，再探求它們的圖象交點個數(shù)，利用性質(zhì)計算作答.【詳解】函數(shù)定義域為，其圖象是4條曲線組成，在區(qū)間，，，上都單調(diào)遞減，當(dāng)時，，當(dāng)或時，取一切實數(shù)，當(dāng)時，，，即的圖象關(guān)于點對稱，函數(shù)定義域為R，在R上單調(diào)遞增，值域為，其圖象夾在二平行直線之間，，的圖象關(guān)于點對稱，因此，函數(shù)的圖象與的圖象有4個交點，即，它們關(guān)于點對稱，不妨令點與相互對稱，與相互對稱，則，，所以.故選：A【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的定義域為D，，存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.二、填空題13．的二項展開式中的常數(shù)項為___________.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后令的次數(shù)為零，求出，從而可求出常數(shù)項【詳解】二項式展開式的通項公式為，令，得，所以的二項展開式中的常數(shù)項為，故答案為：14．在平行四邊形中，．若，則________．【答案】【分析】根據(jù)向量的線性運算直接可得與的值，即可得解.【詳解】由，得，所以，即，，所以，故答案為：.15．如圖，圓O：交x軸的正半軸于點A．B是圓上一點，M是弧的中點，設(shè)∠AOM=（），函數(shù)表示弦AB長與劣弧長之和．當(dāng)函數(shù)取得最大值時，點M的坐標(biāo)是________．【答案】【分析】先求導(dǎo)表示出，求導(dǎo)確定當(dāng)時，取得最大值，進而求出點M的坐標(biāo).【詳解】由題意知：圓半徑為2，，故，，則，令，解得，又，當(dāng)時，，單增；當(dāng)時，，單減；故當(dāng)時，取得最大值，此時，即.故答案為：.三、雙空題16．將一條線段三等分后，以中間一段為邊作正三角形并去掉原線段生成1級Koch曲線“”，將1級Koch曲線上每一線段重復(fù)上述步驟得到2級Koch曲線，同理可得3級Koch曲線（如圖1），…，Koch曲線是幾何中最簡單的分形．若一個圖形由N個與它的上一級圖形相似，相似比為r的部分組成，稱為該圖形分形維數(shù)，則Koch曲線的分形維數(shù)是________．（精確到0.01，）在第24屆北京冬奧會開幕式上，一朵朵六角雪花（如圖2）飄拂在國家體育場上空，暢想著“一起向未來”的美好愿景．六角雪花曲線是由正三角形的三邊生成的三條1級Koch曲線組成，再將六角雪花曲線每一邊生成一條1級Koch曲線得到2級十八角雪花曲線（如圖3），…，依次得到n級Kn（）角雪花曲線．若正三角形邊長為1，則n級Kn角雪花曲線的周長________．【答案】????1.26????【分析】第一空：直接觀察圖形得到N和r，再計算即可；第二空：由邊數(shù)和邊長分別構(gòu)成等比數(shù)列，表示出邊數(shù)和邊長的通項后，計算周長即可.【詳解】第一空：時，有1個基本圖形，時，有4個基本圖形，時，有16個基本圖形，故，又相似比，故圖形分形維數(shù)；第二空：結(jié)合定義可知，后一個圖形邊數(shù)是前一個圖形的4倍，邊長是前一個圖形的，故邊數(shù)是公比為4的等比數(shù)列，邊長是公比為的等比數(shù)列，又第1級六角雪花曲線邊數(shù)為12，邊長為，故n級Kn角雪花曲線邊數(shù)為，邊長為，故周長.故答案為：1.26；.四、解答題17．如圖，在中，D是AC邊上一點，為鈍角，．(1)證明：；(2)若，，再從下面①②中選取一個作為條件，求的面積．①；②．注：若選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的外角和性質(zhì)及誘導(dǎo)公式即可求解；（2）選①，根據(jù)同角三角形的平方關(guān)系，得出，再利用余弦定理、正弦定理及銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角形的面積公式即可求解；選②，設(shè)出，根據(jù)勾股定理，得出，結(jié)合已知條件得出，利用銳角三角函數(shù)的定義，得出角，進而得出角，再利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】(1)因為，所以，故；(2)選①．因為，所以在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得所以，故，在中，因為，所以，又．選②，設(shè)，則，在中，，由（1）得，解得，即在中，則,，所以，所以．所以.18．如圖，在正方體中，，，，分別是棱，，，的中點．(1)求證：，，，四點共面，記過這四點的平面為，在圖中畫出平面與該正方體各面的交線（不必說明畫法和理由）；(2)設(shè)（1）中平面與該正方體六個面所成銳二面角大小分別為（=1，2，3，4，5，6），求的值．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意證明即可求解，再利用平行關(guān)系即可平面與該正方體各面的交線；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)代入公式即可，分別求出平面與正方體六個面所成的角的余弦值即可求解.【詳解】(1)連接，，，因為，分別是棱，的中點，所以．又因為，分別是棱，的中點，所以．故，所以，，，四點共面．分別取和的中點為和，連接，，，由正方體性質(zhì)得，，，所以多邊形共面，所以平面與該正方體各面的交線如下圖（多邊形）所示．(2)以為坐標(biāo)原點，以的方向為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則設(shè)平面的法向量為，即，可取又平面的一個法向量為，故．因為平面的一個法向量為，故因為平面的一個法向量為，故因為平面的一個法向量為，故因為平面的一個法向量為，故因為平面的一個法向量為，故所以，.19．北京冬奧會期間，志愿者團隊“FieldCast”從所有參加冬奧會的運動健兒中分別抽取男女運動員各100人的年齡進行統(tǒng)計分析（抽取的運動員年齡均在區(qū)間[16，40]內(nèi)），經(jīng)統(tǒng)計得出女運動員的年齡頻率分布直方圖（圖1）和男運動員的年齡扇形分布圖（圖2）．回答下列問題：(1)求圖1中的a值；(2)利用圖2，估計參賽男運動員的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(3)用分層抽樣方法在年齡區(qū)間為[16，24）周歲的女運動員中抽取5人，男運動員中抽取4人；再從這9人中隨機抽取3人，記這3人中年齡低于20周歲運動員的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)26.8周歲．(3)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有的小矩形的面積之和為1得到方程，解得即可；（2）根據(jù)餅形圖得到各年齡區(qū)間的頻率，再根據(jù)平均數(shù)公式計算可得；（3）首先求出男、女運動員年齡在區(qū)間和各抽取的人數(shù)，則的可能取值為，求出所對應(yīng)的概率，即可得到的分布列與數(shù)學(xué)期望；【詳解】(1)解：依題意得：，解得；(2)解：用每個年齡區(qū)間的中點值作為本區(qū)間的年齡值，由圖2可知：年齡區(qū)間為的頻率分別為，所以參賽男運動員的平均年齡估值為：即男運動員的平均年齡估值為26.8周歲．(3)解：由圖1可知，年齡區(qū)間為周歲的女運動員有人，年齡區(qū)間為周歲的女運動員有人，由圖2可知：年齡區(qū)間為和周歲的男運動員分別有10人和30人，用分層抽樣女運動員年齡在區(qū)間和應(yīng)分別抽取2人與3人，男運動員年齡在區(qū)間和應(yīng)分別抽取1人和3人．所以抽取的9人中年齡在區(qū)間的有3人，在的有6人，所以的可能取值為，所以．所以的分布列為：P0123X所以20．如圖，橢圓C：（）的左頂點與上頂點分別為A，B，右焦點為F，點P在C上，PF⊥x軸，AB//OP，．(1)求C的方程；(2)過F的直線l交橢圓于M，N兩點，坐標(biāo)平面上是否存在定點Q，使得是定值？若存在，求點Q坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由AB//OP，建立方程組，直接求解即可；（2）當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓，通過韋達定理求得，設(shè)出定點Q，表示出，由是定值，解出坐標(biāo)即可.【詳解】(1)由題可得①由題軸，可得，因為，所以②③由①②③解得：，所以，C的方程為．(2)當(dāng)直線斜率不為0時，設(shè)直線，代入得，設(shè)，則，設(shè)定點，，，要使是定值，則，解得此時．當(dāng)直線l與x軸重合時，，則，綜上所述，坐標(biāo)系平面上存在定點，使得為定值.21．已知函數(shù)，，是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求函數(shù)的最小值；(2)若在上恒成立，求實數(shù)的值；(3)求證：．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可得最值；（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問題，可得參數(shù)取值范圍；（3）根據(jù)函數(shù)與的單調(diào)性直接可證不等式.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，，時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．(2)函數(shù)，，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，此時存在，使得，與題設(shè)矛盾，當(dāng)時，時，，時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，要使在恒成立，則，即，又由（1）知即，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．令有，故且，所以．(3)由（1）知（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．令，則，故，即，所以令，則；由（2）知在上恒成立，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）．令，則，故，即，所以．令，則綜上，.【點睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．22．如圖，某“京