概率及概率密度分布函數(shù)

第1章

概率及概率密度分布函數(shù)1精選ppt系統(tǒng)狀態(tài)宏觀量系統(tǒng)狀態(tài)微觀量統(tǒng)計方法最基礎(chǔ)的概念概率2精選ppt§1.1概率的基本概念

統(tǒng)計規(guī)律性

隨機現(xiàn)象與隨機事件

隨機事件發(fā)生的可能性概率的定義

概率的基本性質(zhì)

概率的簡單計算3精選ppt1.1.1隨機現(xiàn)象與隨機事件確定性事件:可以被預(yù)言的事情.例如，做簡諧振動的單擺，只要知道其固有頻率及初始條件，我們就能計算出擺球在任何時刻的位置和速度。隨機現(xiàn)象

:只能確定影響它們演化的一部分因素，還有一部分因素是無法確定，或無法控制的，所以，現(xiàn)象發(fā)展的結(jié)局不是唯一的，到底如何，事先不能預(yù)言。例如，容器中的氣體，盡管我們可以控制容器的容積、氣體的壓強、乃至其溫度，但我們無法控制氣體分子在熱運動中怎樣和其他分子、又怎樣和容器壁去碰撞，因而無從預(yù)言各個分子每一時刻的空間位置與速度，我們說，氣體中一個分子所在的空間位置及其運動狀態(tài)如何，是一種隨機現(xiàn)象。隨機事件:在一定條件下，一個隨機現(xiàn)象可以出現(xiàn)的多種結(jié)果中的每一個，就叫做一個隨機事件。4精選ppt對隨機現(xiàn)象進行實驗觀測，在單次實驗中所出現(xiàn)的不能再“分解”的事件，叫做基本隨機事件。例如擲骰子可能出現(xiàn)不同點數(shù)這一隨機現(xiàn)象，在單次實驗中分別出現(xiàn)1點、2點、3點、4點、5點、6點，就是它的六個基本隨機事件。一隨機現(xiàn)象的所有基本隨機事件構(gòu)成一基本事件組.擲骰子的基本事件組就由上述六個基本事件而組成。復(fù)雜隨機事件:某一隨機事件B是由隨機事件A1、A2、...、Am所構(gòu)成，即:當(dāng)且僅當(dāng)這m個事件中有一個發(fā)生時，事件B才發(fā)生。這樣的隨機事件B就屬于復(fù)雜隨機事件了。

還以擲骰子為例，我們可以取“擲出的點數(shù)等于或大于5”為一隨機事件，記為B。顯然，不論擲出的點數(shù)是5還是6，都算做事件B發(fā)生了。我們稱B事件是由“擲出的點數(shù)為5”這一基本隨機事件與另一“擲出的點數(shù)為6”的基本隨機事件而構(gòu)成的.這時,隨機事件B就屬于復(fù)雜隨機事件了.5精選ppt基本隨機事件組內(nèi)的事件具有互不相容性:在單次實驗中,若上述事件B發(fā)生了，也就是A1、A2...、Am中的任何一個發(fā)生了，而A1、A2...、Am中的任兩個事件絕不可能在單次實驗中同時發(fā)生，我們稱它們是互不相容的?；倦S機事件組內(nèi)的事件都是互不相容的。一般地，凡不可能在單次實驗中同時發(fā)生的兩個隨機事件，就是互不相容的隨機事件。6精選ppt兩個隨機事件具有各自獨立性:有時，對于選定的隨機事件A與B，其中之一是否發(fā)生并不受另一個是否發(fā)生所影響，則稱A與B是互相獨立的。例如，同時擲兩只骰子，其一是否出現(xiàn)5點與另一個是否出現(xiàn)3點毫無聯(lián)系，兩骰子分別出現(xiàn)5點與3點這兩個隨機事件盡管可以同時發(fā)生，卻互相獨立。即便拿一只骰子來說，“這次投擲是否出現(xiàn)5點”與“下次投擲是否出現(xiàn)3點”也是不相干的，盡管是兩次相繼的投擲，這兩個隨機事件仍是各自獨立的。

再以我們在本課程中將特別關(guān)注的氣體分子的速度為例，一分子速度的X分量介于怎樣的大小區(qū)間與它的Y分量介于怎樣的大小區(qū)間，Z分量又介于怎樣的大小區(qū)間，是互相獨立的。7精選ppt隨機現(xiàn)象基本隨機事件基本事件組復(fù)雜隨機事件……A1A2AnAm-1Am8精選ppt1.1.2統(tǒng)計規(guī)律性演示實驗對大量隨機事件的整體有統(tǒng)計規(guī)律可循.伽爾頓板實驗:9精選ppt如圖,一個帶有玻璃面板的大盒內(nèi)用豎直隔板分成許多等寬的小格，另有一斜放著的、底板面釘有許多小鐵釘?shù)哪静郏溟_口處與大盒口的一邊相接。常叫這種裝置為伽爾頓板。伽爾頓板令小球從釘板上方滾下，它要與板上鐵釘進行無規(guī)則的碰撞，在下滾途中受力的復(fù)雜細(xì)節(jié)是失去人為控制的，尤其在把不止一個小球乃至大量小球同時或連續(xù)沿釘板撒下時，我們不可能一一控制它們落下的初始狀態(tài)，而且它們除與鐵釘碰撞還要彼此碰撞，更使得每個小球的運動呈現(xiàn)隨機狀態(tài)。盡管各個小球的運動都遵從牛頓力學(xué)定律，但它們離開釘槽時的速度無論在大小還是方向上都具有偶然性，以致，就單個小球來說，它滾下后究竟會落在大木盒中的哪一個格子里，是不能預(yù)知的。10精選ppt一.現(xiàn)保持木槽的傾斜度不變，先把少量小球從釘板上撒下，它們將滾落在盒中各格里而有一分布。以盡量相同的方式將同樣數(shù)量的小球再撒下一次，又一次，…，發(fā)現(xiàn)：每次小球在各格中的分布是有明顯差異的。二.現(xiàn)改撒大量小球，盒中各格里接到小球的數(shù)目是不相等的，越靠兩邊格里的小球數(shù)目越少，中間有一格中落入小球數(shù)目最多。究竟是哪一格中最多這與木槽的傾斜度有關(guān)。用同樣多的小球再撒一次，按上面所說單個小球運動軌跡不可控制，以致落入盒中哪一格完全具有偶然性來推想，或許仍會象少量小球撒下時那樣，出現(xiàn)明顯不同于前次的分布。但事實上，只要木槽傾斜度固定，球的數(shù)目足夠多，且總數(shù)保持不變，撒球的方式也盡量相同，那么多次實驗得出的結(jié)果彼此都非常接近。11精選ppt伽爾頓板實驗結(jié)論:大數(shù)量小球落在大盒各格中的分布不再具有偶然性，它說明，在一定條件下，對大量隨機事件的整體而言，具有較穩(wěn)定的特性，是有必然規(guī)律可循的，這就是統(tǒng)計規(guī)律性。12精選ppt統(tǒng)計規(guī)律性包容著單個隨機事件的偶然性:試將大量小球中的一只染成與眾不同的顏色，在多次實驗得到各格小球數(shù)有穩(wěn)定分布的同時，這只可被識別的染色小球出現(xiàn)在哪一格中卻完全沒有一定。13精選ppt統(tǒng)計規(guī)律性一定伴隨有所謂“漲落”現(xiàn)象。在伽爾頓板實驗中，如果我們每次都逐格清點落入的小球數(shù)目，并做下記錄，就會發(fā)現(xiàn)，每次實驗中球數(shù)的實際分布與經(jīng)極多次實驗后統(tǒng)計算得的平均分布是有偏差的。這就叫做“漲落”，而且用來投撒的小球總數(shù)較少時，這種“漲落”現(xiàn)象就很明顯。大量隨機事件所必然遵從的統(tǒng)計規(guī)律性是依存于個別隨機事件的偶然性的，漲落現(xiàn)象與統(tǒng)計規(guī)律性相伴正表明了偶然性與必然性之間的辯證關(guān)系。14精選ppt1.1.3隨機事件發(fā)生的可能性----概率的定義:概率是統(tǒng)計規(guī)律中最基本的概念。概率----給出一隨機事件發(fā)生的可能性有多大。在確定的條件下，對隨機現(xiàn)象進行足夠多次的觀測實驗，將看到該現(xiàn)象中各種可能的隨機事件。設(shè)實驗的總次數(shù)為N，其中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)為NA，定義

為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)。這頻數(shù)會依N不同有所變化；但隨著N的增大，由于偶然因素所起的作用相對降低，隨機現(xiàn)象本身的固有特性變得明顯，以致vA會穩(wěn)定在某一值附近而只有越來越小的起伏。當(dāng)N較大時，頻數(shù)趨于一極限：

PA就叫事件A出現(xiàn)的概率。顯然，概率反映了隨機事件出現(xiàn)的可能性，PA越大，事件A出現(xiàn)的可能性就越大。15精選ppt1.1.4概率的基本性質(zhì)

1.任意一事件的概率PA,必有0≤PA≤1.PA=1意味著A事件在給定的條件下一定發(fā)生,是必然事件；PA=0則是A事件在給定的條件下根本不可能發(fā)生，這是不可能事件。16精選ppt2.加法定理設(shè)A1、A2為兩互不相容事件，若A1或者A2出現(xiàn)時都可認(rèn)為事件A已出現(xiàn)，稱A為A1與A2的“或”(或稱為“和”).表示為:A=A1+A2或A=A1∪A2。則有:PA=PA1+PA2式中PA、

PA1和PA2分別為出現(xiàn)A、單獨出現(xiàn)A1和單獨出現(xiàn)A2的概率。若A為若干個互不相容隨機事件的“或”:A=A1∪A2∪…∪An則:17精選ppt3.基本隨機事件組中各事件的概率歸一.(概率的歸一化條件)若A1至An構(gòu)成一隨機基本事件組,亦即包含了某隨機現(xiàn)象所有可能獨立出現(xiàn)的全部基本隨機事件,那么A便是必然事件:18精選ppt4.乘法定理設(shè)A、B兩事件是相容的，把A、B都發(fā)生的事件稱之為C，換句話說，C是在A和B都出現(xiàn)時方才實現(xiàn)的事件，簡單地稱C是A和B的“交”(也稱為“積”).表示為:C=AB或C=A∩B則有:PC=P(A∩B)=PA·P(B|A)其中,PA是A事件發(fā)生的概率;P(B|A)是在A發(fā)生的前提下B事件出現(xiàn)的概率，叫“條件概率”

.當(dāng)A、B兩事件是互相獨立的，即B出現(xiàn)的概率跟是不是附加上A出現(xiàn)這一條件無關(guān)，反之亦然,則有：P(B|A)=PB;P(A|B)=PA.

此時,PC=P(A∩B)=PA·PB兩相容的獨立事件都出現(xiàn)的概率，等于兩獨立事件單獨出現(xiàn)的概率之乘積，這叫做乘法定理。推廣到計算多個相容的獨立事件都出現(xiàn)的概率：19精選ppt1.1.5概率的簡單計算一.古典式隨機現(xiàn)象的概率的簡單計算:古典式隨機現(xiàn)象要滿足以下兩個條件：(1)該隨機現(xiàn)象的基本隨機事件組的事件數(shù)目有限；(2)每一基本隨機事件發(fā)生的概率相等。例一:擲一只勻質(zhì)、形狀規(guī)則的骰子，它有六個對稱的面，擲出去究竟出現(xiàn)的點數(shù)是幾，有六種等概率的可能，這是一個古典式隨機現(xiàn)象。例二:容器內(nèi)有N個氣體分子，若以一假想截面將容器分為容積相等的A、B兩部分，每個分子都可自由往來于A、B之間，倘視N個分子是可以彼此區(qū)分的，但又各自獨立地以同樣方式熱運動著，那么這些氣體分子在A、B兩部分中的分布共有種可能，而且每種分布出現(xiàn)的概率都相等。這又是一個古典式隨機現(xiàn)象。20精選ppt設(shè)一古典式隨機現(xiàn)象的基本隨機事件組中含有n個基本事件，那么依古典式隨機現(xiàn)象應(yīng)滿足的條件，易得每一基本事件發(fā)生的概率:

--(1.1.8)如果該隨機現(xiàn)象的某個復(fù)雜隨機事件c是由m個基本事件復(fù)合而成的，則c的概率:

--(1.1.9)在具體計算中，必須先適當(dāng)?shù)囟x基本事件組，并由(1.1.8)和(1.1.9)式可見，關(guān)鍵是計算n和m，這需要用到數(shù)學(xué)中有關(guān)排列、組合的公式。21精選ppt§1.2隨機變量與概率分布隨機變量離散型隨機變量的概率分布連續(xù)型隨機變量的概率密度分布函數(shù)22精選ppt1.2.1隨機變量為了討論隨機事件與相應(yīng)概率之間的關(guān)系，首先要把隨機事件數(shù)值化，于是，引進隨機變量.定義:把在確定條件下的隨機現(xiàn)象中的每一個隨機事件w都唯一地與一個實數(shù)值X(w)相對應(yīng)，則稱實數(shù)值變量X(w)為一個隨機變量。23精選ppt[例1-2-1]設(shè)盒中有3個白球，兩個黑球，從中隨便摸取3個球?？疾?在摸取的3個球中黑球的數(shù)目。現(xiàn)給這5個球編號，(1)、(2)、(3)號為白球，(4)、(5)號為黑球。則“摸取3個球”的可能結(jié)果w有十種，見表1.2.1第一列，給出了十種可能里各自摸到的三球的編號。設(shè)隨機變量X(w)為每種可能情形下摸到黑球的數(shù)目，其值也列于表1.2.1中。24精選ppt表1.2.1隨機事件w與隨機變量X(w)wX(w)(1)(2)(3)0(1)(2)(4)1(1)(2)(5)1(1)(3)(4)1(1)(3)(5)1(2)(3)(4)1(2)(3)(5)1(1)(4)(5)2(2)(4)(5)2(3)(4)(5)2這里，我們看到，所選取的隨機變量可以取0，1，2三個實數(shù)值，區(qū)分出了三種不同的復(fù)雜隨機事件。而的每種可能，是在給定條件下，符合明確要求的一個基本隨機事件，它對應(yīng)著的一個確定值；但的一個確定值卻可以對應(yīng)不止一個基本隨機事件，例如，X=1就對應(yīng)著的六個不同的可能情況。25精選ppt[例1-2-2]硬幣的一面刻著國徽，另一面刻著幣值。拋擲一枚硬幣，它落地時哪一面朝上是隨機的。我們可以事先約定，令刻著國徽的一面朝上對應(yīng)著隨機變量X=1，而刻有幣值的一面朝上對應(yīng)著隨機變量X=0。這樣，對于并不顯現(xiàn)為某某數(shù)量如何的隨機事件，也照樣能用隨機變量把它們標(biāo)識出來。[例1-2-3]氣體分子處于不停的、無規(guī)則的熱運動之中，任何單個分子所在的空間位置及運動速度都在隨機地瞬息萬變?？梢园褑蝹€分子的速率取做隨機變量，或者把它的速度分量取做隨機變量組，還可以把它的空間位置坐標(biāo)取做隨機變量組。26精選ppt隨機變量分類:離散型隨機變量:隨機變量(或隨機變量組)所取的值可被一一列舉出來；非離散型隨機變量:隨機變量(或隨機變量組)所取的值不能被一一列舉出來:在例1-2-3中，分子位置坐標(biāo)可以取某一范圍內(nèi)的所有實數(shù)值，不盡窮舉。分子的速率和速度三個分量取值也是如此。實際遇到的非離散型隨機變量大都有很好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，按數(shù)學(xué)家定義，有連續(xù)型隨機變量之稱27精選ppt1.2.2離散型隨機變量的概率分布為了完全地描述一個隨機現(xiàn)象，只知道其隨機變量X可取哪些值是遠遠不夠的，更重要的是要知道X取各個值的概率。設(shè)可能取的值是，相應(yīng)的概率分別是Pi=P(X=xi)(i=1,2,…,n)經(jīng)適當(dāng)選定隨機變量，還可以把不同隨機事件的概率P寫成各事件相應(yīng)的隨機變量X的函數(shù)：P=f(x)28精選ppt概率分布----二項式分布有一些隨機現(xiàn)象，在單次試驗觀測中所出現(xiàn)的結(jié)果只可能有兩種，就是說，它的基本事件組中只包含兩個基本事件，記為A和B。設(shè)它們各自的概率分別為p和q，根據(jù)概率歸一化條件有

p+q=1(1.2.1)現(xiàn)在，要對這樣的一個隨機現(xiàn)象的N次獨立試驗結(jié)果來做整體的察看。求在這N次獨立試驗序列中有n1次出現(xiàn)事件A(自然也就是有N-n1次出現(xiàn)B)的概率。由互不相容事件的“或”的概率加法定理:

(1.2.2)式中因子是以各種不同次序在N次實驗中有n1次A出現(xiàn)的組合數(shù)，通常記為。利用二項式定理及(1-2-1)式，不難證明(1-2-2)式給出的概率分布函數(shù)滿足歸一化條件：也正由于概率分布函數(shù)PN(n1)恰是二項式展開中P的第n1次冪的通項，所以這一分布叫做二項式分布.29精選ppt一維“無規(guī)行走(Randomwalk)”問題[例1-2-4]一條筆直的東西走向的狹街上立著一電線桿，桿下有一醉漢沿街踉踉蹌蹌忽東忽西地走路。假定他每一步的步長都是l，但各步朝東還是朝西不受上一步影響，是完全隨機的。試求他從電線桿處出發(fā)走了N步之后，離電線桿距離為x的概率?！盁o規(guī)行走”是有名的概率問題。它可以不限于一維，也可以每步長不相等，那就要涉及更多個隨機變量。物理中有許多問題的數(shù)學(xué)模型就是“無規(guī)行走”。例如布朗粒子的運動猶如醉漢行路，用“無規(guī)行走”模型來討論它們的方均位移就很合適。30精選ppt[解]基本隨機事件只有兩個：或朝東走，或朝西走。設(shè)他朝東、朝西走的概率分別是p和q。p可以等于、也可以不等于q，例如這條街路面是傾斜的，那么醉漢朝上坡方向走的概率就小于朝下坡方向走的概率；而若街道水平，則可以認(rèn)為p=q=1/2。先來看在他走過的N步中若有n1步是朝東走的這種可能性有多大。取n1為隨機變量，這正是要求得一維無規(guī)行走問題的概率分布函數(shù)PN(n1)，而它恰應(yīng)是二項式分布：

(1-2-4)

(N-n1)是他向西走的步數(shù)，我們視之為n2。取x軸平行于街道，原點在電線桿所在處，從原點向東為正軸方向。既然走了N步之后距原點x遠，那么必有：這里，N若為奇數(shù)，則x必為奇數(shù)倍步長；而N若為偶數(shù)x則必為偶數(shù)倍步長。容易解出：將所得的n1及n2代入分布函數(shù)(1-2-4)，便得到以為隨機變量的概率分布函數(shù)：(1-2-5)

------本題所要求的概率。31精選ppt1.2.3連續(xù)型隨機變量的概率密度分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量是在實數(shù)軸的某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)取值連續(xù)型隨機變量取某一確定值的概率必然為零32精選ppt示例：分子按速率分布情況的描述自擬一組氣體分子按速率分布的數(shù)據(jù)，見表1-2-2:思路[A]：先取速率間隔?v=100米·秒－1，用各速率區(qū)間所對應(yīng)的分子比率?N/N做圖，如圖1-2-1中實線所示。該圖中每一小矩形之寬表示所取速率間隔的大小，而矩形之高則表示分布在相應(yīng)速率區(qū)間內(nèi)的分子比率。由于速率大于700米·秒－1的分子比率大于8％，則速率介于0～700米·秒－1之間的分子比率即為92％。對圖1-2-1中用實線所畫的七個矩形之高求和，即得92％。33精選ppt再取?v=50米·秒－1，仍用各速率區(qū)間所對應(yīng)的分子比率來做圖，如圖中虛線所示。在0～700米·秒－1的速率范圍內(nèi)所做出的十四個小矩形的高度之和仍應(yīng)為92％，但其上方輪廓線較先前七個矩形的明顯地降低了。本來，速率間隔取得足夠小才能細(xì)致地描寫速率分布的情況，但如果照上法，以為縱橫坐標(biāo)畫小矩形來做圖示，則必定是取得越小，小矩形數(shù)目越多，雖然它們的高度之和不變，但它們的上方輪廓線隨之縮小發(fā)生顯著的下移，越來越貼近橫軸。34精選ppt圖1-2-1分子按速率分布的一種圖示35精選ppt思路[B]：先近似認(rèn)為分布在某一速率區(qū)間內(nèi)的個分子是平均分布在該速率區(qū)間內(nèi)的每單位速率間隔上的，那么分布在內(nèi)每單位速率間隔上的分子數(shù)比率就是。下面，改用為縱坐標(biāo)來描繪速率介于0～700米·秒－1之間的分子按速率的分布情況。36精選ppt先取?v=100米·秒－1，如圖1-2-2，每一小矩形之寬仍表示速率間隔之大小，矩形之高則表示分布在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)、平均每單位速率間隔上的分子數(shù)比率。顯然相應(yīng)的矩形面積表示分子在區(qū)間內(nèi)的分子比率，那么圖1-2-2中用實線畫出的七個矩形面積之和應(yīng)等于92%。再將取為?v=50米·秒－1，所畫的十四個小矩形的上方輪廓線將圍繞以前的那七個小矩形的上方輪廓線上下起伏，如該圖虛線所示，且十四個小矩形的面積之和為92%。37精選ppt圖1-2-2分子按速率的分布38精選ppt概率密度分布函數(shù)

當(dāng)速率間隔取得足夠小時，、，一排細(xì)窄矩形的上輪廓線將趨于一條光滑曲線，如圖1-2-3所示。這條曲線就代表了分布在附近、單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)比率隨的變化情況，稱這曲線為速率分布曲線，其對應(yīng)的函數(shù)記為:------速率分布函數(shù)

39精選ppt圖1-2-3速率分布曲線40精選ppt分布函數(shù)與概率問題之間的關(guān)系:

(1).氣體中任意分子其速率在

區(qū)間內(nèi)的概率應(yīng)等于N個分子中速率介于此區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比率dN/N，此概率就是f(v)dv;(2).任意分子其速率落在v附近的單位速率間隔內(nèi)的概率則是所以f(v)是概率密度。同時它作為速率v的函數(shù)，又反映出不同v附近的概率密度如何隨變化，因此速率分布函數(shù)f(v)實為概率密度分布函數(shù)。一般地，對于連續(xù)型隨機變量X，存在非負(fù)可積函數(shù)p(x)(x有一定的取值范圍)，使對x取值范圍內(nèi)的任意a,b(a<b)都有式中P(a<X<b)是隨機變量介于a-b所對應(yīng)的隨機事件之概率，稱p(x)為X的概率密度分布函數(shù)。

41精選ppt(3).從f(v)的引入過程不難推知圖1-2-3中速率分布曲線下的面積應(yīng)當(dāng)是1，寫成積分形式，就是概率密度分布函數(shù)的歸一化條件：變量的概率密度分布函數(shù)的歸一化條件為：(積分遍及的取值范圍)42精選ppt§1.3統(tǒng)計平均值及漲落統(tǒng)計平均值圍繞統(tǒng)計平均值的漲落43精選ppt1.3.1統(tǒng)計平均值1、離散型隨機變量的統(tǒng)計平均值普遍適用于計算離散型隨機變量的統(tǒng)計平均值的公式：加權(quán)平均----不僅要考慮隨機變量的取值，還要考慮到它取的那些值所相應(yīng)的概率。

44精選ppt[例1-3-1]求二項式分布中隨機變量n1的平均值。

45精選ppt2、連續(xù)型隨機變量的統(tǒng)計平均值把這結(jié)果在整個速率變化范圍內(nèi)積分，便得到個分子的速