山東省濟南市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷

山東省濟南市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷

閱卷人

——、單選題(共8題；共16分)

得分

L(2分)函數(shù)/(%)=cos(%—1)的導(dǎo)函數(shù)/'(%)=()

A.sin(x—1)B.-sin(x—1)C.cos(x-1)D.-cos(x-1)

【答案】B

【解析】【解答】由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，f(%)=—sin(x—1)?(x—1)=—sin(x—1)，

故答案為：B

【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則與基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式即可.

2.(2分)已知事件A,B,若P(B)=}P(AB)=則P(A|B)=()

A-B—C—D

142821

【答案】A

【解析】【解答】因為P(B)=%P(/W)=

所以P(川8)=多盥=*

故答案為：A.

【分析】直接利用條件概率公式計算即可求出.

3.(2分)若?o=C符-3則實數(shù)x的值為()

A.2B.4C.6D.2或6

【答案】D

(%<20(%<20

【解析】【解答】由=C符-3得『久二上￡203x-4<20

或?解得％=2或%=6,

k3%—4=%<3x—4=20—%

所以實數(shù)X的值為2或6.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)組合數(shù)的定義及組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.

4.(2分)若將牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鮮花放入3個不同的房間中，每個房間

放2盆花，其中牡丹、郁金香必須放入同一房間，則不同的放法共有()

A.12種B.18種C.36種D.54種

【答案】B

【解析】【解答】先分組，已知牡丹、郁金香必須放入同一房間為一組，

2

則剩下四盆花有￡1組，再分配到3個不同的房間中，

2

共有盟種排法，

所以不同的放法數(shù)與x，=18(種).

J2

故答案為：B.

2

【分析】先分組，已知牡丹、郁金香必須放入同一房間為一組，則剩下四盆花有￡1組，再分配到各

2

個房間即可得解.

5.(2分)函數(shù)/(%)=靖—ln(%+m)在［0,1］上單調(diào)遞增，則實數(shù)6的取值范圍為()

A.［1,+co)B.［――1,+oo)

1

C.(0,1］D.(—oo,——1］

【答案】A

【解析】【解答】因為/(x)=e》—lnQ+7n),所以/(%)=/—島

因為函數(shù)f(%)=ex-ln(x+m)在［0,1］上單調(diào)遞增，

所以/'(%)=6%一不占之0在［0,1］上恒成立，

所以mN或一%在［0,1］上恒成立，即—%)max，XG［0,1］即可

令g(X)=3-x,%e［0，1］則

由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)知，g(x)在［0,1］上減函數(shù)，

1

g(x)max=9(0)=9一。=1，即巾2L

所以實數(shù)m的取值范圍為［1,+00),

故答案為：A.

【分析】根據(jù)函數(shù)/(%)=靖一111。+770在［0,1］上單調(diào)遞增，可得/'(X)20在［0,1］上恒成立，然

后利用分離參數(shù)法即可求解.

6.(2分)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)尸(x)的定義域均為R,且(Q+1)為奇函數(shù)，則()

A./⑴=0B.1(2)=0

C.f(0)=/(2)D.尸(0)=/(2)

【答案】C

【解析】【解答】解：因為函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)(。)的定義域均為R,且/''(x+l)為奇函數(shù)，

所以不妨設(shè)((久+1)=%,則((x)=x-l,f(2)=1,f(0)=-1,BD不符合題意；

=1x2—x+c,則f(l)=c—/(0)=/(2)=c,A不符合題意，c符合題意，

故答案為：C

【分析】取/''(%+1)=%，f(X)=］/一X+C,逐項判斷即可.

7.(2分)(%+2y-3z)4的展開式中，所有不含z的項的系數(shù)之和為()

A.16B.32C.27D.81

【答案】D

【解析】【解答】解：(久+2y—3z)4展開式的通項公式為77+1=C［a+2y)4-r(—3z)r,

若展開式中的項不含z,貝卜=0,此時符合條件的項為(x+2y)4展開式中的所有項，

令％=y=1,可得所有不含Z的項的系數(shù)之和為(1+2XI)4=81-

故答案為：D.

【分析】原問題即為求(x+2y)4展開式中的所有項的系數(shù)和，令％=y=l,即可得答案.

8.(2分)已知離散型隨機變量X的分布列為P(X=71)=而6布S=1,2,15),其中a為

常數(shù)，則P(X<8)=()

A-iB.|C.|D.|

【答案】B

【解析】【解答】P(X=n)=鬲;而=a(Vn+1-Vn),所以P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=

.______1

15)=10a(V15+1-1)=1=>a=i；

故P(X<8)=P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=8)=掾(V8TT-1)=|

故答案為：B

【分析】根據(jù)離散型隨機變量的概率之和為1可求解a=%進而根據(jù)概率公式即可求解.

閱卷入

二、多選題(共4題；共8分)

得分

9.(2分)某同學(xué)將收集到的六對數(shù)據(jù)制作成散點圖如下，得到其經(jīng)驗回歸方程為小y=0.68%+

a,計算其相關(guān)系數(shù)為勺，決定系數(shù)為好.經(jīng)過分析確定點F為“離群點”，把它去掉后，再利用剩下

的五對數(shù)據(jù)計算得到經(jīng)驗回歸方程為％：?=放+0.68,相關(guān)系數(shù)為全，決定系數(shù)為腐.下列結(jié)論正

確的是()

>

X

B.Rl>Rj

A.r2>rj>0

C.0cb<0.68D.￡>0.68

【答案】A,C

【解析】【解答】由圖可知兩變量呈現(xiàn)正相關(guān)，故勺>0,r2>0,去掉“離群點”后，相關(guān)性更強，所

以故A符合題意，B不正確.

根據(jù)圖象當去掉F點后，直線的基本在A,B,C,D,E附近的那條直線上，直線的傾斜程度會略

向％軸偏向，故斜率會變小，因此可判斷0<5<0.68,C符合題意，D不符合題意.

故答案為：AC.

【分析】根據(jù)散點圖對相關(guān)性的強弱的影響即可判斷四個選項.

10.(2分)已知(％—I)，=QQ+Q](%+1)+Q2。+l)2+…+。5(%+1)，貝1J()

A.UQ——32B.UQ+%+…+。5——1

C.Q5=-1D.。2+。4=-90

【答案】A,B,D

【解析1【解答】(%—I)，=QQ+%(%+1)+@2(%+if+…+的(％+1)5

?。?-1,則有劭=(一2)5=-32，A符合題意；

?。?0,則有的+即+…+。5=(-1)5=-1，B符合題意；

2345

令%=y-1,則(y—2>=的+01y+a2y+a3y+a4y+asy,

因為a5y5=慮謨*(一2)°=y5,所以=1,C不符合題意；

因為a2y2=c|yzx(—2)3=-80y2>a4y，=C1y4x(—2)=-10y4>所以。2+。4=-90,D符合題

忌.

故答案為：ABD

【分析】使用賦值法可判斷AB；令％=然后根據(jù)通項直接求解可判斷CD.

11.(2分)甲盒中裝有2個黑球、1個白球，乙盒中裝有1個黑球、2個白球，同時從甲、乙兩盒中

隨機取出2=1,2)個球交換，分別記交換后甲、乙兩個盒子中黑球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為8(X),

Ei(Y),則下列結(jié)論正確的是()

A.Ei(X)+4W)=3B.F2(X)>F2(V)

c.E1(X)>E1W)D.Ei(X)=E2(y)

【答案】A,C,D

【解析】【解答】當2=1時，X的可能取值為1,2,3,且

224

==-X-=-

p(339

?、

pn(x=r2)=2X31+,13x2=4g；

P(X=3)=3x3=g*

所以Ei(X)=1XQ4-2XQ+3XQ=Q-.

丫的可能取值為0,1,2,且

P(r=o)=jx|=；

21124

P(y=1)=+=

224

wX

一

==一=-

p(2)339

所以E1D=0Xg+lXg4-2Xg=2，

A,C符合題意.

當i=2時，X的可能取值為0,1,2,且

111

p(x=0)=|x1=|；

21124

P(X=1)=3X3^3X3=9;

P(X=2)=f2xI2=4

所以E2(X)=0Xg4-lXg+2Xg=2-

Y的可能取值為1,2,3,且

224

e==-X-=-

p(339

21124

P(y=2)=3X3+3X3=9；

ill

P(y=3)/x1丁

LL-441cl

所以￡*2(y)=lXq+2Xg+3Xg=w.

B不符合題意，D符合題意.

故答案為：ACD.

【分析】分別求出？=1和》=2這兩種情況下的分布列，再求出數(shù)學(xué)期望.

12.(2分)已知/(%)=/(0)靖+乙駛了，且r(l)=e+l,則()

A.存在殉e(0,1),使得f(x0)=0

B.對任意打。久2,都有＞f(2芳)

C.對任意“1。彳2，都存在G使得/(%1)-/(%2)=/(。(對一起)

D.若過點(1,a)可以作曲線y=/(%)的兩條切線，貝打＜a＜e+l

【答案】B,C,D

【解析】【解答】/(x)=/(0)ex+^^.故f(0)=/(0)二/'(0)=2/(0),/'(%)=

/(0)(婷+1),

再由/'(1)=/(0)(e+1)=e+1，可得/(0)=l，f(0)=2，故/(%)=/+X，

/(x)=ex+l>0.故/(%)在R上單調(diào)遞增，

對A,/(x)在R上單調(diào)遞增且f(0)>0,故不存在比€(0,1),使得/(與)=0,A不符合題意；

對B,/(x)=e^+1，在R上單調(diào)遞增，故/(%)在R上增加得越來越快，圖像下凸，故對任意％1力

冷，都有，江)；八"2)>/(然嗎,B對；

對C,由上得，/(%)圖像下凸，故f(x)圖像上任意一條割線AB,必存在與AB平行，切點為

C(6/(f))的切線，此時八。J與?，2),即/(%])_/。2)=/'(打(%1-％2)，C對；

對D,設(shè)切點為(t,/(t)),則切線方程為y—(et+t)=(et+l)(x—t),將(1,a)代入得：a=

2/-18+1,要有兩條切線，則方程有兩個互異實根，

令g(t)=2e，—te，+1,則g'(t)=(1—t)/,則當t<l時，g'(t)〉0,g(。在(-8,1)上單調(diào)遞

增；當t>l時，g'(t)<0,g(t)在(1,+8)上單調(diào)遞減，故g(t)max=9(1)=e+1，

當x——8時，，g(t)=(2-t)ef+1-?1；當xt+8時，g(f)=(2-t)et+1——8,

故只需ae(l,e+1)，即可使a=2/-t/+1有兩個互異實根，D對.

故答案為：BCD

【分析】先根據(jù)/'(%)=/(0)Q+乙興，所以/'(0)=/(0)+匚興，再由/'(l)=/(0)(e+l)=e+l

構(gòu)造方程，解出/(0)=1,/(0)=2,求出解析式，然后根據(jù)零點存在性定理，函數(shù)的切線判斷方

法逐一判斷即可.

閱卷人

------------------￡、填空題(共4題；共4分)

得分

13.(1分)已知隨機變量X?N(3,4),且P(X>3c-2)=P(X<2c+l),則c的值

為.

【答案】\

【解析】【解答】因為隨機變量X?N(3,4),所以直線〃=3為正態(tài)曲線的對稱軸，

而P(X>3c-2)=P(X<2c+1),由正態(tài)分布的對稱性可知，

3?2產(chǎn)+1=3,解得c=(.

所以C的值為看

故答案為：

【分析】根據(jù)已知條件及正態(tài)分布的對稱性即可求解.

14.（1分）已知某學(xué)校高二年級有男生500人、女生450人，調(diào)查該年級全部男、女學(xué)生是否喜歡

徒步運動的等高堆積條形圖如下，現(xiàn)從所有喜歡徒步的學(xué)生中按分層抽樣的方法抽取24人，則抽取

的女生人數(shù)為

【答案】9

【解析】【解答】由題可知，喜歡徒步的男生有500x0.6=300人，喜歡徒步的女生有450x0.4=

180人,

則女生應(yīng)抽取人數(shù)為180X、志刖=9人?

DUU-TloU

故答案為：9

【分析】先根據(jù)等高堆積條形圖求出喜歡徒步的男女生人數(shù)，再由分層抽樣方法可得.

15.（1分）將（我-會）6展開式中的項重新排列，則X的次數(shù)為整數(shù)的項全部相鄰的排法共有

種.（用數(shù)字作答）

【答案】576

【解析】【解答】二項式（正+專）6的展開式中，通項公式為77+]早，因為竽為整數(shù)，且

r=0,1,2,3,4,5,6,可得r=0,2,4,6

展開式共有7項，其中x的次數(shù)為整數(shù)的項有4個，把展開式中的項重新排列，

則x的次數(shù)為整數(shù)的項相鄰，即把4個整次數(shù)項捆綁看成一個整體，和3個次數(shù)為非整數(shù)的項全排

列，然后再考慮解綁，共有方法共有所屬=576種,

故答案為：576.

【分析】根據(jù)二項式定理展開式的通項特征，可確定共有4項次數(shù)為整數(shù)的項，根據(jù)相鄰問題捆綁

法即可求解.

16.■分)已知函數(shù)/'(x)=log2。+1)-k2依>0),若存在x>0,使得f(x)20成立，則k

的最大值為.

【答案】工

eln2

kx+k

【解析】【解答】由/(%)=log2(x+1)-k2>0,可得

即Q4-l)log2(x+1)>k(x+1)2、(X+D,(x+l)log2(x+1)>2k(*+1)?log22k(x+D

構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlog2%，顯然在(1,+8)上單調(diào)遞增,

Ax+1>2k(x+1),即k<也彈

―x+l2

令岫)二/2,即求函數(shù)的最大值即可,

h'(x)=導(dǎo)%0+1)=啥一臉0+1),

(x+1)2(x+1)2

.?.在(1,e-l)上單調(diào)遞增，在(e—l,+8)上單調(diào)遞減,

.,.h(x)的最大值為h(e-D=/

???。<心康，即k的最大值為盛

故答案為：盍.

【分析】由/(欠)之0,可得(x+l)log2(x+1)-k(x+1)2以%+1)30,同構(gòu)函數(shù)g(%)=xlog2%，結(jié)

合函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為以%)=”咨工的最大值問題.

閱卷人

—四、解答題(共6題；共55分)

得分

17.(5分)某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了50位男顧客和50位女顧客，每位顧客對該商場的

服務(wù)給出滿意或者不滿意的評價，得到下面部分列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客1()

女顧客15

附:

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

2

/2_n^ad—be)

K-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(i)(5分)分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；

(2)(1分)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？.

【答案】(1)解：由題意可知，據(jù)題意可知，50位男顧客對商場服務(wù)滿意的有40人,

所以男顧客對商場服務(wù)滿意率估計為P1=瑞=3.

因為50位女顧客對商場滿意的有35人，

所以女顧客對商場服務(wù)滿意率估計為P2=fl=4.

(2)解：由題意可知，由2x2的列聯(lián)表如圖所示

滿意不滿意合計

男顧客401050

女顧客351550

合計7525100

/2

由列聯(lián)表可知長2=100得慧益篇10)=41333<3841，

/□XZUXOVXDUO

所以沒有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異,

【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件得出相關(guān)的數(shù)據(jù)，利用滿意的人數(shù)除以總的人數(shù)，分別算出相應(yīng)

的頻率，即估計得出的概率；

(2)根據(jù)已知條件完成2x2的列聯(lián)表，利用公式求得觀測值與臨界值比較即可求解.

18.(10分)己知函數(shù)/(%)=x(x-c)2在％=-1處取得極小值.

(1)(5分)求c的值;

(2)(5分)求f(%)在區(qū)間［-4,0］上的最值.

【答案】(1)解：f(%)=(x-c)2+2x(x-c)=(x—c)(3x—c)，

由f(—1)=(—1—c)(—3—c)=0得c=-1或c=-3,

當c=-3時，/(%)=x(x+3)2,f'(x)=(x+3)(3x+3)，

令/(x)>0,可得x>-1或x<-3,令f(x)<0,可得—3<%<一1,

所以函數(shù)/(%)在區(qū)間(—8,-3)和(一1,+8)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(一3,-1)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(%)在x=-1處取得極小值；

當c=-1時，/(%)=x(x+I)2,f'(x)=(x+1)(3%+1),

令/(%)>0,可得%>-3或％<-1,令/(%)<0,可得一1cx<-q，

所以函數(shù)/(%)在區(qū)間(一8,一1)和(_g,+8)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(―1,一》上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(%)在x=-1處取得極大值，舍去；

綜上，c=-3；

(2)解：由(1)知函數(shù)/(X)在區(qū)間［—4,一3］和［一1,0］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［一3,-1］上單調(diào)遞

減，

又因為/(-4)=-4,/(-3)=0,/(-I)=-4,/(0)=0,

所以/'(%)的最大值為0,最小值為-4.

【解析】【分析】(1)由題意，根據(jù)('(一1)=0,解得c=—1或c=—3,然后分情況討論即可求解;

(2)由(1)判斷函數(shù)/(x)在區(qū)間［-4,0］上的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性即可求解.

19.(10分)某試驗機床生產(chǎn)了12個電子元件，其中8個合格品，4個次品.從中隨機抽出4個電子

元件作為樣本，用X表示樣本中合格品的個數(shù).

(1)(5分)若有放回的抽取，求X的分布列與期望;

(2)(5分)若不放回的抽取，求樣本中合格品的比例與總體中合格品的比例之差的絕對值不超

過)的概率.

【答案】⑴解：有放回的抽取P(取到合格品)=接=|，P(取到次品)=今=

根據(jù)題意可得X的可能取值為0、1、2、3、4,

所以P(X=0)=C：G)O&)4=A，p(x=i)=cX|)i(33=U，pg=2)=或附劭=爵,

P(x=3)=琪)|3(孑=蓋,P(X=4)=弓(|)%。=券

X的分布列為：

P01234

1883216

X

8181278181

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=Ox東+1X言+2X|^+3X||+4X||=4

(2)解：由題意得總體中合格品的比例為2=|,

因為樣本中合格品的比例與總體中合格品的比例之差的絕對值不超過主

所以樣本中樣品中合格品的比例大于W小于片，即樣品中合格品的個數(shù)為2或3.

p(X.2)-函一出p(x_3)_幽一型

產(chǎn)。_4_4_495'--4-495°

c12c12

所樣本中合格品的比例與總體中合格品的比例之差的絕對值不超過耳=需+鏤=嚷I轆

析】【分析】

【解析】(1)依題意可得X的可能取值為0、1、2、3、4,求出對應(yīng)的概率，即可列出分布列、求

出數(shù)學(xué)期望.

(2)總體中合格品的比例為殺樣本中合格品的比例與總體中合格品的比例之差的絕對值不超過瓢

樣品中合格品的比例大于W小于笠.

20?(1。分)已知函數(shù)/(x)=(mx——?■.

(1)(5分)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)(5分)當x21時，/(x)W0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】(1)解：函數(shù)/(%)的定義域為(0,+oo)

-111

f(%)=(m—x)lnx+(mx—5%7)-——-^x=(m—x)(lnx+1)

LxZ

當m<0時，解不等式(TH—x)(lnx+1)>0得0V%V，

當0<m<:時，解不等式(m-x)(lnx+1)>0得m<%<

當?n>斷寸，解不等式(m-x)(lnx4-1)>0得:<%<m>

當m=工時，不等式(m-1)(ln%+1)>0無實數(shù)解.

綜上，當租<0時，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)；

當0W7H<；時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(m,J);

當時，/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(；，m)；

當m=凱寸，/(%)無單調(diào)遞增區(qū)間.

(2)解：由(1)知，當徵<:時，/(%)在［1,+8)上單調(diào)遞減，所以/(久)max=/(1)=-/顯然

/(%)<0恒成立；

當JsznWl時，/(%)在［1,+8)上單調(diào)遞減，所以/(x)max=門1)=一/顯然/(x)W0恒成立；

當7?1>1時，/(%)在(1,7H)上單調(diào)遞增，在(771,+8)上單調(diào)遞減，所以/(x)max=/(6)=(血2-

771.2m2

^-)lnm-手=于(21nm-1)

2

因為當xN1時/(%)W0恒成立，所以*(21nm-1)W0，解得1<znW正.

綜上，實數(shù)m的取值范圍為(-8,正］

【解析】【分析】(1)求導(dǎo)，分類解不等式/(X)>0可得；

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分類求得/(X)max，然后解〃X)max<0可得.

21.(10分)在某地區(qū)進行某種疾病調(diào)查，需要對其居民血液進行抽樣化驗，若結(jié)果呈陽性，則患有

該疾?。蝗艚Y(jié)果為陰性，則未患有該疾病.現(xiàn)有n(ne/V+,n>2)個人，每人一份血液待檢驗，

有如下兩種方案：

方案一：逐份檢驗，需要檢驗n次；

方案二：混合檢驗，將n份血液分別取樣，混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果呈陰性，則n個人都未

患有該疾?。蝗魴z驗結(jié)果呈陽性，再對n份血液逐份檢驗，此時共需要檢驗n+1次.

(1)(5分)若n=5,且其中兩人患有該疾病，采用方案一，求恰好檢驗3次就能確定患病兩人

的概率；

(2)(5分)已知每個人患該疾病的概率為p(OWpWl).

(i)若兩種方案檢驗總次數(shù)的期望值相同，求p關(guān)于n的函數(shù)解析式p=/(n)；

(ii)若n=8,且每單次檢驗費用相同，為降低總檢驗費用，選擇哪種方案更好？試說明理由.

【答案】(1)解：將5份待檢血液排成一排有咫=120;

滿足條件的排法：第一步，將兩份選一份排在第三位有2種；

第二步，在第一、二位選一個空位排另一份患者血液有2種排法;

第三步，將剩余3份排成一排有房=6.

所以滿足條件的排法共2x2x6=24.

所以恰好檢驗3次就能確定患病兩人的概率為襦=|

(2)解：(i)因為每個人都有可能患病，故方案一檢驗次數(shù)為定值n；

記方案二檢驗次數(shù)為X,則X的取值為1,n+1

p(X=1)=(1-p)n,P(X=n+1)=1-(1-p)n

所以E(X)=(1-p)n+(n+1)[1-(1-p)n]

由題可知(1—p)n+(n+1)[1-(1-p)n]=n,即n(l—p)n=1,

整理可得p=1一礪，即p=f(n)=1一礪

(ii)當n=8時，記單次檢驗費用為x,

則方案一：檢驗費用為九%;

方案二：記檢驗費為Y,則丫的分布列為

YX(n+l)x

P(l-p)n

則E(Y)=x(l—p)n+(ri+l)x[l—(1—p)n]=[n4-1—n(l-p)n]x

E(Y)—nx=[n4-1—n(l—p)n]x—nx=[1—n(l—p)n]x

記g(P)=1-n(l-p)n,因為九=8,所以g(p)=1-8(1-p)8

因為0<l—pvl,所以g(p)單調(diào)遞增，

由(i)知，當「=1一表=1一表時，g(p)=°，

所以當0<p<l—七時，g(p)<0,則E(y)<nx；

1

當1—醞<P<1時，g(p)>0,則E(Y)>nx.

故當0<p<l一卷時，選擇方案二；當11

一幅<P<1時，選擇方案一.

【解析】【分析】(1)根據(jù)古典概型概率公式求解可得；

(2)根據(jù)兩種方案的期望相等列方程，整理可得p=〃m；分別求出兩種方案檢驗費用的期望，作

差構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得.

22.(10分)已知函數(shù)/(%)=ln(Q%)-a/+*a>

(1)(5分)若/(%)存在極大值點，求a的取值范圍;

(2)(5分)試判斷/(x)的零點個數(shù)，并說明理由.

【答案】(1)解：/(%)=]—2a%—與=_2axJx0(%>0,a>g),

32

令g(%)=-2ax+x—a(x>0,Q>可)，則g(%)=-6ax+L

令g'(x)>o,可得o<%<7^，令g(%)v。，可得%>7^，

所以函數(shù)g(x)在(0，/)1上單調(diào)遞增，在(擊1，+8)上單調(diào)遞減，

VoctVba

所以g(x)max=。(七)=2:,

V6a346a

3

當g(x)max<°，即a>時，9(")4°'f(%)4°，

所以/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，無極值點，舍去；

當g(x)max>0，即/<a<時>>°，。(。)=~~a<0,

所以存在勺6(0,焉)，使得9(/)=0,

又g(》=二^詈W<0,所以存在％2€(焉，》，使得雙冷)=0,

所以令/'(%)<0，可得0cx<X1或%>%2，令/(%)>0，可得打<%<為2，

所以/(X)在(0,X1)和(%2，+8)上單調(diào)遞減，在Q1，句)上單調(diào)遞增，

所以/(X)的極大值點為*2.

綽卜17/

彌L2<a<丁，

3

(2)解：由(1)知，當Q》半時，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

因為/(2)=In2a—4a+§<2a—1—4a+多=—1—^QV。，且當x—>0+時，f(x)—>+oo,

所以/(%)在(0,+8)上存在唯一的零點；

當g<q<孥時.,/(%)=ln(ax)—ax2+?《—1)—+三,

-

令九(x)=(cix—1)—a%2,h(%)=Q—2CLX—Q=a(l—2x—^)，h(%)=a(—2+2x,

令//'Q)>0，得0<%Vl,令九”(%)<0，得x>l,

所以九'(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以h(x)<h(1)=—2a<0，所以八(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

因為=^-1—^4-aV6a<—1—i—^<0>

V6a、66AJ12oZ36

所以/(%)的極大值f(%2)<飲%2)<以焉)<0,

所以％EQi，4-oo),/(%)<f(x2)<0,f(%)不存在零點，

因為f(%i)Vf(%2)VO且當％~0+時,/(x)—+8,

所以/(%)在(0,%1)上存在唯一個零點；

綜上，/(%)有唯一零點.

【解析】【分析】⑴求出f'(x)="_2ax_￡=-W產(chǎn)一g(%>0,。>》，然后令g(x)=

-2ax3+x-a(：x>0,a>|),利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g(x)在(0，念)上單調(diào)遞增，在(焉，+8)上

單調(diào)遞減，進而有g(shù)(X)max=9(需)=2一;雷,最后分9(X)max《。和。0)機3>0兩種情況進行

討論，并利用函數(shù)零點存在定理與函數(shù)極值的定義即可求解；

(2)由(1)知，當a》零時，所以在(0,+8)上單調(diào)遞減,由函數(shù)零點存在定理即可判斷

/■(X)在(0,+8)上存在唯一的零點；當/<a<孝時，/(x)=ln(ax)-ax24-<(ax-1)-

ax2+p令h(x)=(ax-1)-a/+1利用函數(shù)零點存在定理即可判斷/(x)在(0,%)上存在唯一

個零點.

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：83分

客觀題（占比）26.0(31.3%)

分值分布

主觀題（占比）57.0(68.7%)

客觀題（占比）14(63.6%)

題量分布

主觀題（占比）8(36.4%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題4(18.2%)4.0(4.8%)

解答題