高中數(shù)學第二章平面向量2.2向量的線性運算學案蘇教版必修4課件

2.2向的性算典精例1已向量a，比較與的.思分：為向量包含長度和方向，所以在比較和向量長度的大時，要考慮其方解：(1)當a、至少一個為零向量時，a+b|=|a|+|b|；(2)當a為非向量且a、b不共線時，有|a+b|<|a|+|b|；(3)當a為非向量且a、b同向共線時，有a+b|=|a|+|b|(4)當a為非向量且a、b異向共線時，有a+b|<|a|+|b|.綠通：答本題可利用向量加法的三角形法則，作出草圖輔助解.鍵是準確、恰當?shù)剡M行分類處.變訓已知向量a，討論、|a|+|b|和的小思解：(1)a、b至少有一個為零向量，|a-b|=|a|+|b|=||a|-|b||；(2)當a為非零向量且a、b不共線時，有|a|+|b|>|a-b|>||a|-|b||；三形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊的向量表)當、為非向量，且a、向共線,當，為非向量，且a，向共線時|a|+|b|=|a+b|>||a|-|b||,所以|a|+|b≥|a-b|≥||例2化下列各式：(1)

OPOB

；(2)

2［(4a-3b)+b-(6a-7b).34思分：于1)可以利用三角形法則對向量進行分解；對(2),利用向量線性運算的運算法則化.解：

OP()=0+2=2；(2)

21213［(4a-3b)+b-(6a-7b)］(4a-3b+b-a+b)333221111=［(4-)a+(-3++)b］=a-a-b.312318綠通：量加法的三角形法則可以推廣為多邊形法則一方面可以把任何一個向量用兩個向量的和或差來表示，使用向量的數(shù)乘的結合律與分配律可以化簡向量式.變訓(2006全高考卷Ⅰ，理9)設面向量、aa的和a+a=0.如向量bbb滿足|b|=2|a|，且a順時針旋轉(zhuǎn)30°與同，其中i=1,2,3，則A.-b+b+b=0-b=0C.bD.b+b+b=0思解：圖2-2-8所,1

圖2-2-8∵|b|=2|a|,假設旋轉(zhuǎn)角度的方向為逆時可得eq\o\ac(△,∽)OAB△OA′B′且相似比為1+a+a=0,b+b+b=0.答：例3已兩個非零向量e和e不共線，且+e和e+ke共線，求實數(shù)k的值.思分：量共線則一定存在實數(shù)λ使λb立解：e+e和e+ke共線，∴存在實數(shù)λ，得+eλ(e).∴(kλ)e=(λk-1)e.和e不共線，∴k∴k=±1.綠通：題從正反兩方面運用了向量數(shù)乘的幾何意義，利用共線得到關于k的程，用待定系數(shù)法解決問.變訓若3m+2n=a，m-3n=b其中a、b是知向量，求m、n.思分：題可把已知條件看作向量m、n的程通方程組求解m、解記3m+2n=a,①,3×②，得3m-9n=3b.③①③,11n=a-3b.∴n=

13a-b④11將④代入②有m=b+3n=

3a+b.1111例4一船以5km/h的速度垂直于對岸的方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成30°角，求水流速度和船實際速.思分：題要求的是速度，而速度是向量此可以向量表示速度然后用向量加法合成速度即.圖2-2-9解：如圖2-2-9，

OA

表示水流速度，

OB

表示船垂直于對岸方向行駛的速度，

OC

表示船的實際速度，∠AOC=30°|

OB

|=5km/h，2

∵四邊形ABCD為形，∴|

OA

|=|

|cot30°=

，|

OC

|=

|OA|cos30

=10.∴水流速度為

2km/h,船際速度為10km/h.綠通：向量法解決物理問題的步驟為(1)用向量表示物理量(2)進行向量運算；(3)回扣解決問題.變訓一執(zhí)行救災任務的飛機從A按北偏西30°方向飛行300km到達地，然后向地飛.已知C地地偏東60°方向處，且A、C兩相距300km，求飛機從地C地行的方向及、地的距離思分：先根據(jù)題意作出圖(如圖2-2-10)后由A地定B地的方位與距.解：根據(jù)題意和圖形，可知∠BAC=90°，|

AB

|=|

|=300km，則可得|

|=

300

km；又由于∠ABC=45°,A地B地東偏南60°方向處C地B地偏南15°的方向處圖2-2-10問探問題1已n個向量，依次把這n向量首尾相.以第一個向量的起點為起,第n個向量的終點為終點的向量叫做這n個量的和向.AAA是面內(nèi)不共線的三點則AA231

等于什么？對于平面上不共線的四點述結論是否成立？AAAAAA2nn1

又等于多少導求多個向量的和要續(xù)使用三角法則也可以看作是應用了多邊形法.對向量求和的多邊形法則應明確(1)多邊形法則適用于兩個或兩個以上的向量和的計算，三角形法則是多邊形法則的特殊情形(2)n向量的和的結果仍是一個向量(3)法的要領是“頭尾相接，頭是頭，尾是尾”，與向量加法的三角形法則相.探：平行四邊形法知

AAA22313

，∴

AAA221

=0.類似地，根據(jù)向量求和的多形法,有

AA,即AAAAAA34341

=0.對這個結論的更一般的形式即個向順次首尾相接組成一條封閉的折線其和為零向3

量，也就不難理解了：

AAAAAA2nn1

=0.問題2三奪球的游戲的規(guī)則是：在小球上均勻裝上三條繩子，由三人在一水平面上分別拉繩要每兩人與球連線角相等，得到小球者為現(xiàn)有甲、乙、丙三人玩此游戲，若甲、乙兩人的力量相同，均為aN，試探究丙需要多少力量小球靜止？若甲、乙兩人的力量不等，則小球有可能靜止嗎？導：為相反向量的兩個向量的和為0,在物理中可以理解成個力的合力為0.決本題首先要審好題能題目中煉出數(shù)學模型而利用數(shù)學知識解決這解決文字題或應用題最關鍵的一個環(huán).探：題主要考查向量加法法則及相反向量的定義.設甲、乙、丙三人作用于小球的力分別為a、c,根據(jù)題，可知a、b個向量兩兩夾角為120°可先計算a+b，由于|a|=|