湘教版八年級數(shù)學(xué)(下冊)教案

1.1多項(xiàng)式的因式分解

教學(xué)目標(biāo)

1.了解分解因式的意義，以及它與整式乘法的相互關(guān)系.

2.感受因式分解在解決相關(guān)問題中的作用.

3.通過因式分解培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力。

重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解分解因式的意義，準(zhǔn)確地辨析整式乘法與分解因式這兩種變形。

難點(diǎn)：對分解因式與整式關(guān)系的理解

教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1回顧整式乘法和乘法公式

填空：計(jì)算：(l)2ab(3a+4b-l)=,(2)(a+2b)(2a-b)=

(3)(x-2y)(x+2y)=;(4)(3??z-2/2)2=

1,

(5)(a+-?)-=

2你會解方程：尤2-1=。嗎？

估計(jì)學(xué)生會想到兩種做法：(1)一是用平方根的定義，(2)二是：解：(x+1)(x-l)=O,根據(jù)

兩個(gè)因式相乘等于0,必有一個(gè)因式等于0,得到：x+l=0或者x-l=0,因此：得x=l或-1

指出：把f-l寫成(x+1)(》一1)叫因式分解，為什么要把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解呢？這節(jié)

課我們來學(xué)習(xí)這個(gè)問題。

二合作交流，探究新知

1因式的概念

(1)說一說：6=2X,x2-4=(x+2),

(2)指出：對于6與2,有整數(shù)3使得6=2義3,我們把2叫6的一個(gè)因數(shù)，同理,3也是6

的一個(gè)因數(shù)。

類似的：對于整式爐-4與x+2,有整式x-1使得4=(x+2)(2-2),我們把x+2叫多

項(xiàng)式/一4的一個(gè)因式，同理，x-2也叫多項(xiàng)式f-4的一個(gè)因式。

你能說說什么叫因式嗎？

一般地，對于兩個(gè)多項(xiàng)式f與g,如果有多項(xiàng)式h使得f=gh,那么我們把g叫f的一個(gè)因

式，同樣，h也是f的一個(gè)因式。

(3)考考你：你能說出下面多項(xiàng)式有什么因式嗎？

Aab+ac,B4產(chǎn)一9CR2-R+-D4S2-12S+9

4

2因式分解的概念

(1)指出;一般地，把一個(gè)含字母的多項(xiàng)式表示成若干個(gè)均含字母的多項(xiàng)式的乘積的形式，

稱為把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。

(2)考考你：

下面變形叫因式分解嗎？

A24=23x3,Bx+1=x(l+—),C4x+2x2=2(2x+x2),Dmn2+機(jī),=mn{n+m)

x

E2x3+3x2+1=x2(2x+3)+1F2x3+3x2+1=x2(2x+3)

說明：因式分解的對象是含有字母的多項(xiàng)式因此A不是因式分解，因式分解的目的是把含

字母的多項(xiàng)式化成均含字母的乘積的形式，因此B不是，因?yàn)?1+，)不是多項(xiàng)式。D中等

x

號右邊不是乘積形式，因式分解是對一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行變形，不改變它的結(jié)果，因此F不是

因式分解。

3為什么要對一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解呢？看書P3

4嘗試練習(xí)

你能根據(jù)(D2ab(3a+4bT)=,(2)(a+2b)(2a-b)=

(3)(x-2y)(x+2y)=;(4)(3m-2n)2-

1、

(5)(za+-)2=

對下面多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解嗎？

(1)6a2b+Sab2-2ab,(2)x2-4y2,(3)9〃/一⑵〃〃+4〃？，(4)a2+a+—

4

5因式分解與整式乘法有什么區(qū)別和聯(lián)系？

整式乘法：把乘積形式化和差形式，因式分解：把和差形式化成乘積形式；

考考你：

判斷下列各式哪些是整式乘法?哪些是分解因式？

(1).X2-4J2=(x+2y)(x-2y)(2).2x(x-3y)=2x2-6xy

(3).(5a-l)2=25a2-10a+l(4).x2+4X+4=(A+2)-(5).(a-3)(a+3)=a2-9

(6)m2.-4=(m+4)(m-4)(7).2nR+2nr=2n(R+r)

三應(yīng)用遷移，鞏固提高

1簡單的因式分解

例1把下列多項(xiàng)式因式分解

(1)a~-9>(2)4a2—9,(3)-9b~>(4)a~—4a+4(5)u~h—ab)

2因式分解在解方程中的應(yīng)用

例2解下列方程：(1)4/-9=0,(2)￡+3x=0

三課堂練習(xí)，鞏固提高

1.指出下列各式中從左到右的變形哪個(gè)是分解因式？

(l)x2—2=(x+l)(x—1)—1(2)(x—3)(x+2)=x2—_x—6

(3)3〃產(chǎn)“-6mn=3mn(m—2)(4)ma+mh+mc=m(a+b)+mc(5)?2—44人+4/=(4-2b)2

2把下列各式因式分解

(1)3/+6/+9”，(2)16X2—25〃，(3)4m2—12m+9

四反思小結(jié)，拓展提高

1這節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容是什么？這節(jié)課重點(diǎn)是因式分解的概念，

2什么叫因式分解？因式分解與整式的乘法有什么區(qū)別？

五作業(yè)P4

1.2提公因式法

教學(xué)目標(biāo)：會確定多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式，會用提公因式法分解多項(xiàng)式的因式。

重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用提公因式法分解因式。難點(diǎn)：確定多項(xiàng)式中的公因式。

教學(xué)過程

一創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課a+b+c

1如圖，我們學(xué)校籃球場的面積是ma+mb+mc,長為a+b+c,寬為

多少呢？

am+bm+cm

這個(gè)問題實(shí)際上就是求(am+bm+cm)+(a+b+c)=

為了解決這個(gè)問題請你先思考：

2如圖，某建筑商買了一塊寬為m的矩形地皮，被分成了三塊

矩形寬度分別是a,b,c,這塊地皮的面積是多少？

提問：把ma+mb+mc寫成m(a+b+c)叫什么運(yùn)算？怎樣分解因

式？

這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)第一個(gè)方法——提公因式法

二合作交流，探究新知

1公因式的概念

(1)式子：am,bm,cm,是由哪些因式組成的？

指出：其中m是他們的公共的因式，叫公因式

(2)你能指出下面多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式嗎？

(1)2/+4",⑵24肛+16砂2(3)36h，+48nm2

2

(5)7vr2h+—7Cr3(4)-12x2^+18Ay-15y

2提公因式法

把ma+mb+mc分解成：ma+mb+mc=m(a+b+c),用到什么依據(jù)？這種因式分解有什么特點(diǎn)？

用到了乘法分配律，特點(diǎn)：把各項(xiàng)的公因式提出放到括號外面，叫提公因式法。

3應(yīng)用舉例

例1把5/-3孫+X因式分解例2把-4f+6x因式分解。

強(qiáng)調(diào)：(1)公因式確定后，另一個(gè)因式怎么強(qiáng)調(diào)：(1)首項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，取其絕對值

確定？找最大公因數(shù)。

(2)某一項(xiàng)全部提出后，還有因數(shù)“1”(2)首項(xiàng)為負(fù)時(shí)，最好提出負(fù)號。

例3把8》2>4一］2孫2z因式分解強(qiáng)調(diào)：公因式確定的方法:

(1)系數(shù)：取各系數(shù)的最大公約數(shù)。如果絕對值較大，可以分解質(zhì)因數(shù)求最大公因數(shù)；

如：求48、36的最大功因數(shù)48=2,x3,36-22x32,那么2?x3就是他們的最大

公約數(shù)

(2)對于字母，取各項(xiàng)都有的，指數(shù)最低的。如：尤2y4與孫2z,取孫2做為公因式的

字母因式

(3)公因式確定后，另一個(gè)因式可以用多項(xiàng)式除以公因式。

考考你:

1.a2x+ay-a3xy在分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式()

A.a2B.aC.axD.ay

2.下列分解因式正確的個(gè)數(shù)為()

⑴5y3+20y2=5y(y2+4y)(2)a2b-2ab2+ab=ab(a-2b)

(3)-a2+3ab-2ac=-a(a+3b-2c)(4)-2x2-12xy24-8xy3=-2x(x+6y2-4y3)

A.1B.2C.3D.4

三應(yīng)用遷移，鞏固提高

1提公因式法在計(jì)算方面的應(yīng)用

例4如圖，a=4.6cm,b=1.3cm,求陰影部分的面積。

2提公因式法在證明中的應(yīng)用

例5817-279-9*必能被45整除嗎？試說明理由。

四課堂練習(xí)，鞏固提高P81,2,3

五反思小結(jié)，拓展提高。這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了因式分解的什么方法？應(yīng)注意什么？

六作業(yè)P10A12(1)—(3)B2,3

1.2用提公因式分解因式(2)

教學(xué)目標(biāo)

1使學(xué)生進(jìn)一步掌握公因式為多項(xiàng)式的因式分解；2滲透類比、轉(zhuǎn)化的思想。

重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：公因式為多項(xiàng)式的因式分解

難點(diǎn)：公因式不明顯而需要轉(zhuǎn)化才能找到時(shí)的因式分解。

教學(xué)過程

一創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1復(fù)習(xí)檢查

(1)-82g-14。2匕3+12/。的公因式是

師：強(qiáng)調(diào)找公因式的方法

(2)分解因式：①am+bm②15x4/-10x3/+30x2/

強(qiáng)調(diào)：如果多項(xiàng)式中各項(xiàng)有公因式，一定要提出公因式。找公因式是關(guān)鍵，如果把多項(xiàng)式

am+bm中的m換成：(x-2)得到a(x-2)+b(x-2又怎樣分解因式呢？

板書課題：用提公因式法分解因式(2)

二合作交流，探究新知

1公因式為多項(xiàng)式的因式分解

(1)am+bm中的m換成：(x-2)得到a(x-2)+b(x-2中的公因式是什么？怎樣分解因式

(2)若再將a換成2b-3得到：(2b-3)(x-2)+b(x-2)公因式是什么？怎樣分解因式？

(3)am+bm中的m換成：(a—得到a(a—0)?+。(“一人)2,公因式是什么？怎樣分解

因式？

(4)若再把a(bǔ)換成(a+c),b換成(a-c)得到：(a+c)(a—+(a—c)(a—公因式是什

么？怎樣分解因式？

從上面問題我們看到公因式有的是單項(xiàng)式，有的是多項(xiàng)式，我們要練就“火眼金睛”發(fā)現(xiàn)

多項(xiàng)式的公因式。

2公因式不明顯的因式分解

(1)你知道下面多項(xiàng)式有什么關(guān)系嗎？有式子怎樣表達(dá)它們的關(guān)系？

①a+b與b+a②a-b與b-a③(。-8)一與［b-a\④(a-h)，與(。-“丫

(2)下面多項(xiàng)式有公因式嗎？如果有怎樣分解因式呢？

①a(x-2)+b(2-x)②a(a-b/+b(b—af③a(a—Z?)3-b(Z>—a)3

三應(yīng)用遷移，鞏固提高

1多項(xiàng)式為公因式的因式分解

例1把-12孫-(x+y)+18/y(x+y)分解因式。

例2把多項(xiàng)式(a+b-c)(a-b+c)-(b+c-a)(c-a-b)分解因式

例3把/(%一3；)2一2。(丁一%)3分解因式

2多項(xiàng)式因式分解的應(yīng)用

例4已知x,y都是正的整數(shù)，且x(x-y)-y(y-x)=12,求x和y

例5解方程：2x(3x-l)+(2x-2)(l-3x)=28

四課堂練習(xí)，鞏固提高P101,2

五反思小結(jié)，拓展提高

這節(jié)課你有什么收獲？師強(qiáng)調(diào)：不明顯的公因式要注意變形成為多項(xiàng)式。

六作業(yè)Pll,2(4)--(7)3B

1.3公式法(1)

教學(xué)目標(biāo)

1使學(xué)生掌握用平方差公式分解因式；

2理解多項(xiàng)式中如果有公因式要先提公因式，了解實(shí)數(shù)范圍內(nèi)與有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式的

區(qū)別。

重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：用平方差公式分解因式。難點(diǎn)：當(dāng)公式中的字母取多項(xiàng)式時(shí)的因式分解。

教學(xué)過程

-創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1復(fù)習(xí)檢查：

(1)分解因式：(l)5x(x-3y)2-(3x+2y)(3y-x/

(2)(a+b)(a-b)=，這是什么運(yùn)算？

(3)怎樣分解因式：/一力2?

a2-b2=(a+b)(a-b),是用平方差公式分解的，我們把它公式法。

這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)用公式法分解因式。板書課題

二合作交流，探究新知。

1用平方差分解因式

(1)把公式/-6=(a+b)(a-b)中的字母a改為2x字母b改為y得到什么樣的多項(xiàng)式？

怎樣把4/一,2分解因式？，

3

(2)把公式合一/=(a+b)(a.b)中的字母a改為5x字母b改為jy得到什么樣的多項(xiàng)

9

式？怎樣分解多項(xiàng)式25/—'y2?

4

(3)把公式4-力、(a+b)(a-b)中的字母a改為x+y字母b改為2y得到什么樣的多項(xiàng)

式?怎樣把多項(xiàng)式(x+y『—分解因式？

(4)把公式〃=(a+b)(a-b)中的字母a改為x+y字母b改為x-y+1得到什么樣的多

項(xiàng)式?怎樣把多項(xiàng)式+-(x-y+lp分解因式？

2模仿練習(xí)：請你把公式/-/=(a+b)(a-b)中的字母a、b任意改為數(shù)、字母、單

項(xiàng)式或者多項(xiàng)式，然后把這些多項(xiàng)式分解因式。通過這樣的訓(xùn)練，你會多用平方差公式分

解因式更加熟練，一定要重視喲！

3平方差公式的識別下面多項(xiàng)式是否適合用平方差公式分解因式？

(1)-a2+b2,(2)a2-(-b)2,(3)a2-(-b2)

師：一個(gè)多項(xiàng)式是否適合用平方差公式分解因式，怎樣辨別呢？

三應(yīng)用遷移，鞏固提高

1用平方差公式分解因式

例1分解因式。(1)x4-/,(2)9(x—y)2—4(x+y)2(3)4x2-(y2-2j+l)

2綜合運(yùn)用平方差公式和提公因式法分解因式。

例2把爐,2一%5分解因式。

3有理數(shù)范圍和實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式。

交流：怎樣把"一9分解因式？

估計(jì)學(xué)生會有兩種想法：

一是：a4-9=(x2+3)(x2-3),二是：aJ9=(f+3)(x一我卜+⑹

這兩種解法有什么區(qū)別？

前者結(jié)果中系數(shù)沒有無理數(shù)，后者結(jié)果中出現(xiàn)無理數(shù)。我們把前面的因式分解叫在有理數(shù)

范圍內(nèi)分解因式，后者叫在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式。

如果沒有特別說明，因式分解只在有理數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行。

4應(yīng)用遷移，鞏固提高

例3某校打算對操場的圓形跑道上鋪塑膠路面，已知跑道外圓半徑R=30.5m,內(nèi)圓半徑

r=24.5m,求需要的塑膠總面積。(”取3.14,結(jié)果精確到0.1)

四課堂練習(xí)，鞏固提高P14練習(xí)題1,2,3

五反思小結(jié)，拓展提高用平方差公式分解因式，關(guān)鍵是會識別一個(gè)多項(xiàng)式是否適合

用公式，如果適合什么式子相同于公式中的字母a,什么式子相當(dāng)于公式中的字母b.

六作業(yè)P171B1,2

1.3公式法(2)

教學(xué)目標(biāo)

1使學(xué)生掌握完全平方公式并會利用完全平方公式分解因式；

2培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力。

重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：會用完全平方公式分解因式難點(diǎn)：識別一個(gè)多項(xiàng)式是否適合完全平方公式。

教學(xué)過程

-創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

19

1檢查學(xué)習(xí)效果分解因式(1)［了^+??；(2)4(m-n)'-(m+n)2

2(a+b)2=\a-b)2=這叫什么運(yùn)算？

怎樣多項(xiàng)式：a2-2ah+b\〃+2。匕+〃分解因式？

這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)公式法(2)

二合作交流，探究新知

1理解平方差公式的結(jié)構(gòu)，并會用平方差公式分解因式

(1)我們把式子。2-2。匕+〃中的字母a改為x,b改為2,得到的多項(xiàng)式是什么？怎樣把

f+4x+4分解因式？+4x改為-4x又怎樣分解因式呢？

(2)我們把式子中的字母把a(bǔ)改為X,b改為巳，得到的多項(xiàng)式是什么？怎樣

2

,9

把f-3x+—分解因式呢？-3x改為+3x呢？

4

(3)我們把式子/-2.6+〃中的字母a改為2x,b改為2,得到什么樣的多項(xiàng)式？怎樣把

-12x+4分解因式？-12x改為+12x呢?

(4)我們把式子+〃中的字母a改為。2,b不變，得到什么樣的多項(xiàng)式？怎樣把

。4一246+/分解因式?

(5)我們把式子。2一2,為+從中的字母a改為(x+y),字母b改為6得到什么樣的多項(xiàng)式？

怎樣把(x+y『-2(x+y)+36分解因式？

通過上面的討論，我們看到公式中的字母可以代替一個(gè)數(shù)、一個(gè)字母、甚至一個(gè)單項(xiàng)式或

一個(gè)多項(xiàng)式，關(guān)鍵是要知道多項(xiàng)式是否適合完全平方公式，如果適合，什么相當(dāng)于字母a,

什么相當(dāng)于字母b.

2公式的識別

(1)下面多項(xiàng)式是否適合完全平方式分解因式？

(1)x2+2x+4,(2)m2+2m-l(3)-a2+2a2b-b2(4)m2-mn+—n2

4

⑵填空：

①/+lax+()2=(＞，②4a2+4ar+()2=()2

③尤2+(—)+4=(_)2④(__)+2x+1=(—『

三應(yīng)用遷移，鞏固提高

1用完全平方公式分解因式

例1把下面多項(xiàng)式分解因式

(1)X2-6A-+1C2)-4x2+12xy-9y2,(3)x4-2x2+l(4)(y2+2y)2+2(/+2y)+l

2提公因式法和公式法的綜合運(yùn)用

例2把多項(xiàng)式3ax2+6ary+3ay2分解因式

3分解因式的應(yīng)用

例3若一個(gè)三角形的三條邊a、b、c滿足/+2/+02-2"-2秘=0試判斷這個(gè)三角形

的形狀

四課堂練習(xí)，鞏固提高P17練習(xí)，1,2

五反思小結(jié)，拓展提高

1完全平方公式有什么特點(diǎn)？

2用完全平方公式分解因式關(guān)鍵是先識別一個(gè)多項(xiàng)式是否適合完全平方公式，如果適合，什

么相當(dāng)于a,什么相當(dāng)于b.

作業(yè)P17A2,3B3

2.1分式的基本性質(zhì)(1)

教學(xué)目標(biāo)

1了解分式的概念。

2通過具體情境感受分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)并類比得出分式的基本性質(zhì)。

3理解分式有意義的條件。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：分式的概念和性質(zhì)難點(diǎn)：理解分式的性質(zhì)。

教學(xué)過程

一創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

探究：1把三個(gè)一樣的蘋果分給4位小朋友，每位小朋友分到多少蘋果？你怎么分給他

們？(交流討論)

3

(1)每位小朋友分一

4

(2)分法：

3

①每個(gè)蘋果切成四個(gè)相等的小塊，共12塊，每人分3塊，這3塊占一個(gè)蘋果的二

4

②為了每個(gè)小朋友吃起來方便，每個(gè)蘋果切成8塊，共24塊，每人分6塊，這六塊占一

個(gè)蘋果的9。

8

想想這兩種分法分得的是否一樣多？(?=?,即：-=—=-)由此表明了什么？

4844x28

分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或除以一個(gè)不等于零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變。

分?jǐn)?shù)的分子與分母約去共因數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變。

這就是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

2(1)把上面問題變?yōu)椋喊?個(gè)一樣的蘋果分給n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少蘋果？

333

用除法表示：3+〃，用分?jǐn)?shù)表示為：3+〃、3相等嗎？(3+〃=?)這里的n可以是

nnn

實(shí)數(shù)嗎？(n不能為0)

(2)］3與已3有什么區(qū)別？(后者分母含有字母)我們把前者叫分?jǐn)?shù)，后者叫分式，什么叫

4n

分式呢？分式有沒有和分?jǐn)?shù)一樣的性質(zhì)？

這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)--分式的基本性質(zhì)。(板書課題)

二合作交流，探究新知

1分式的概念填空：

(1)如果小王用a元人民幣買了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的價(jià)格是_____元。

(2)一個(gè)梯形木板的面積是6m2,如果梯形上底是am,下底是bm,那么這個(gè)梯形的高

是m.

（3）兩塊面積分別為a畝，b畝的稻田mkg,nkg,這兩塊稻田平均每畝產(chǎn)稻谷kg.

觀察多項(xiàng)式：上、上■、絲工2這些代數(shù)式有什么共同點(diǎn)特點(diǎn)？（分子分母都是整式，分母

bci+ba+b

含有字母）

一般地，如果f、g分別表示兩個(gè)整式，并且g中含有字母，那么代數(shù)式/叫分式。

g

說明：分式的分子分母一般是多項(xiàng)式，單項(xiàng)式可以看成是只有一項(xiàng)的多項(xiàng)式。分母一定含

有字母。

2分式的基本性質(zhì)

思考：2與分式電相等嗎？分式4與分式9相等嗎？

44aabb

如果aHO,那么3=網(wǎng)，只要絲與0都意義，那么總=巴。

你認(rèn)為分式和分?jǐn)?shù)具有相同的性質(zhì)嗎？

分式的分子和分母都乘以或除以一個(gè)不等非零多項(xiàng)式，分式值不變。

分式的分子與分母約去共因式，分式的值不變。

用式子表示為：設(shè)hHO,則2=￡也

gS-h

做一做P24

3分式的值為零的條件和分式有意義的條件

r-52

例1求分式----的值，（1）x=3,（2）x=---

元+65

思考：（1）要是分式金的值為零，X應(yīng)等于多少？要使分式一（1二5）的值為零,X

x+6（x+6）（x-5）

應(yīng)等于多少？

分式值為零的條件是什么？（分子為零，分母不等于零）

例2當(dāng)x取什么值時(shí)，分式上2（1）無意義，（2）有意義。

2x-3

分式有意義的條件是什么？（分母不等于零）

三課堂練習(xí)，鞏固提高P25

四反思小結(jié)，鞏固提高這節(jié)課你有什么收獲？

學(xué)習(xí)了分式的概念，分式的基本性質(zhì)，分式值為零的條件分式有意義的條件。

五作業(yè)P27—28A1,2,3B1,2

2.1分式基本性質(zhì)(2)

教學(xué)目標(biāo)

1進(jìn)一步掌握分式基本性質(zhì)的應(yīng)用。2通過探索掌握分式符號的變換法則。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：分式基本性質(zhì)的應(yīng)用和分式的變號法則

教學(xué)過程

一創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課1復(fù)習(xí)：分式基本性質(zhì)是什么？用式子怎么表示？

分式的分子分母同乘以一個(gè)非零的多項(xiàng)式，分式值不變?！?￡4(力。0)

ggh

2分式的值為零的條件是什么？分式有意義的條件是什么？

分式值為零的條件：分子為零，分母不為零。

分式有意義的條件是：分母不為零。

二合作交流，探究新知

1分式基本性質(zhì)的應(yīng)用(1)約去分子分母的公因式而把分式化簡

例1把下列分式中分子分母的公因式約去(1)二孚；(2)，,-4

20孫4X2-4X+4

分析：先要找到公因式，對于出？?分子分母的公因式是什么？然后把分子

20孫4

分母分別寫成公因式乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)氖阶印?/p>

解⑴Z16￡￡=_4^4X=_4X.

20xy4xy-5y5y

如果分子分母是多項(xiàng)式，還要注意先分解因式，再找公因式。

(2)x~—4_(x+2)(x—2)_x+2

x2-4x+4(x-2)2x-2

練一練：把下列分式中分子分母的公因式約去

%24

(1)型？；(2)二2a(。+與；(3)(…)：；(4)~.

3axy3b(a+b)(x-a\孫+2y

2把異分母分式化成同分母分式

異分母分?jǐn)?shù)化成同分母分?jǐn)?shù)是利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)把每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子分

母乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)。如：(1)—,它的公分母是多少呢？(60)60是怎

1220

么求得的呢？(用短除法)還有別的方法嗎？

12=22X3,20=22X5,請你算一算：2?x3x5你發(fā)現(xiàn)了什么？

例2把下列異分母分式化成同分母分式。

(1)(2)—,-^―(3)4-，-4

abx-yx+ya~bab~

aababbbaab

1l-Cx+y)x+y1_l(x-y)_x-y

(2)22

工一了(x-y)(x+y)%-yx+y(x+yXx-y)爐一丁

1\b_b1a_a

(3)

a2ba-bba2b-'ab2ab1-aa~b~

把分式」可，二一；化成分母相同的分式。

練一練:

3/12xy

2分式符號的變換

思考：

(1)①。-與②」"與!有什么關(guān)系？為什么？

-222-22

(2)①工與工、一工；②蘭與工有什么關(guān)系？為什么？

-ggg-gg

估計(jì)學(xué)生會想到用除法法則來找到他們的關(guān)系，但還要引導(dǎo)學(xué)生利用分式的基

本性質(zhì)來找到他們的關(guān)系。

f/x(-l)-ff,、、f(-l)xf-fm,,-fff

-g-gx(-l)gggggg-gg

F=9也工因此，江=工

-g(T>(—g)g-gg

從上面的變換你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請用你的話來表達(dá)？

分式的分子、分母、分式本身三個(gè)符號任意改變兩個(gè)，值不變。

練一練：1P26做一做2P27練習(xí)題

3下面變形是否正確？為什么？如果不正確應(yīng)怎樣改正？

—X+1X+1

-x2-l-X2-1

三反思小結(jié)，拓展提高這幾課你有什么收獲？

1感受了分式基本性質(zhì)的應(yīng)用，2會變換分式的符號。

四、作業(yè)P29A3、4、5B

2.2.1分式的乘除法

教學(xué)目標(biāo)

1通過類比得出分式的乘除法則，并會進(jìn)行分式乘除運(yùn)算。

2了解約分、最簡分式的概念，會對分式的結(jié)果約分。

重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：分式乘除法則及運(yùn)用分式乘除法則進(jìn)行計(jì)算難點(diǎn)：分式乘除法的計(jì)算

教學(xué)過程

一創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1分?jǐn)?shù)的乘除法復(fù)習(xí)

2924

計(jì)算：（1）-X—；（2）---分?jǐn)?shù)乘法、除法運(yùn)算的法則是什么？

31039

2類比：把上面的分?jǐn)?shù)改為分式：⑴/義以,（2）/+幺（“H0）怎樣計(jì)算呢？

gvgv

這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)--分式的乘除法（板書課題）

二合作交流，探究新知

1分式的乘除法則

gVgvgVgugu

你能用語言表達(dá)分式的乘除法則嗎？

分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分別作為積的分子、分母，然后約去分

子、分母的公因式。

分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

2分式乘除法則的初步應(yīng)用及分式的約分和最簡分式的概念

022o20

例1計(jì)算：（1）4匚=;（2）工一上學(xué)生獨(dú)立完成，教師點(diǎn)評

點(diǎn)評：（1）分式的乘法，可以先把分子、分母分別相乘再約去分子、分母的公因式，這叫

約分。分子、分母沒有公因式的分式叫最簡分式。

（2）分式的除法運(yùn)算實(shí)際上是轉(zhuǎn)化為分式的乘法運(yùn)算，這里體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的思想。

三應(yīng)用遷移，鞏固提高

1需要分解因式才能約分的分式乘除法

x+14x2。、8x26x

例2計(jì)算：（1）-------——；(2)—-------+----

2x尸-1%**+2x4-1x+1

點(diǎn)評：如果分子、分母含有多項(xiàng)式因式，因先分解因式，然后按法則計(jì)算。

2分式結(jié)果的化簡及化簡的意義

frlZl/，、k—9,c、r—4x+4

例3化簡：⑴一-；（2）一-

x2+6x+9x--2x

點(diǎn)評：在進(jìn)行分式運(yùn)算的時(shí)候，一般要對要對結(jié)果化簡，為什么要對分式的結(jié)果化簡呢？

請你先完成下面問題：

2-9

例4當(dāng)x=5時(shí)，求—x~—的值。

x+6x+9

現(xiàn)在你知道為什么要對分式的結(jié)果化簡了嗎？（把分式的結(jié)果先化簡，可以使求分

式的值變得簡便）

四課堂練習(xí)，鞏固提高

1計(jì)算：⑴⑵號手?士6孫3(3)￡^.[^;(4)(%+2)+(/+4%+4)

2化簡:⑴得M（2）T^

3下面約分對嗎？如果不對，指出錯(cuò)誤原因，并改正

2x+2y_2(元+y)_14-1_2,、2x_2

2x2+2y22(x2+y2)x+yx+y'x2+3x+3

—2丫+]Y—1

4有這樣一道題“計(jì)算：一十------弟勺值，其中x=2005."甲同學(xué)把x=2009

X-1X+x

錯(cuò)抄成2900”，但他的計(jì)算結(jié)果是正確的，你說這是怎么回事？

五反思小結(jié)，拓展提高

六、作業(yè)：P341,2,3B1,2,3

2.2.2分式乘方

教學(xué)目標(biāo)

1探索分式乘方的運(yùn)算法則。2熟練運(yùn)用乘方法則進(jìn)行計(jì)算。

重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：分式乘方的法則和運(yùn)算。

難點(diǎn)：分式乘方法則的推導(dǎo)過程的理解及利用分式乘方法則進(jìn)行運(yùn)算。

教學(xué)過程

一創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1復(fù)習(xí)：分式乘除法則是什么？

2什么叫最簡分式？

3取一條長度為1個(gè)單位的線段AB,如圖：

第一步：把線段AB三等分，以中間一段為邊作等邊三角形，然后去掉這一段，就得到了由

條長度相等的線段組成的折線，每一段等于一，總長度等于—.

第二步：把上述折線中的每一條重復(fù)第一步的做法，得到—，繼續(xù)下去。情況怎么樣呢？

這節(jié)課我們來學(xué)習(xí)---分式的乘方。

N=0

A

二合作交流，探究新知。

分式乘方的法則

(1)把結(jié)果填入下表:

步數(shù)線段的條數(shù)每條線段的長度總長度

14]_4

33

22

424416

_—____—_7X___———___—

339

33

4344464

=-X-X—=—

33327

44

444444256

二一X—X—X—=-------

333381

〃個(gè)

⑶把已改為乙即￡=zxzx...z=/x/x-x/=r;/=

383初44—4444*42石初]而麻，S⑴

〃個(gè)

用語言怎么表達(dá)呢分式乘方等于分子、分母分別乘方。

三應(yīng)用遷移，鞏固提高

1分式乘方公式的應(yīng)用

例1計(jì)算：(1)4；(2)

w)I3w,

強(qiáng)調(diào)每一步運(yùn)用了哪些公式。

2除法形式改為分式形式進(jìn)行計(jì)算。

例2計(jì)算：(l)(-6x3y4)4-(-2jQ?)3;(2)(5x4y2-A：2y4+3x2y2)-^(-4x2y)'?

強(qiáng)調(diào)：除法形式改為分式，利用分式的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算給計(jì)算帶來了方便。

3分式乘方與分式乘法、除法的綜合運(yùn)用。

4整體思想

例4已知：,,求/.\2009.zf—\2008的值。

a5\a)\b-a)

四課題練習(xí)，鞏固提高P34練習(xí)題1,2

補(bǔ)充：先化簡，再求值。罕2—1/二].(A-+1),其中x=l.

五反思小結(jié)，拓展提高這幾課你有什么收獲？

(1)分式乘法法則(2)分式乘方法則與分式乘除運(yùn)算法則綜合運(yùn)用時(shí)的順序。

六、作業(yè)：P35A4B4,5,6

2.3.1同底數(shù)塞的除法

教學(xué)過程

1通過探索歸納同底數(shù)累的除法法則。

2熟練進(jìn)行同底數(shù)耗的除法運(yùn)算。

3通過計(jì)算機(jī)單位的換算，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)應(yīng)用的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)學(xué)生的熱情。

重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：同底數(shù)基的除法法則以及利用該法則進(jìn)行計(jì)算。

難點(diǎn)：同底數(shù)幕的除法法則的應(yīng)用

教學(xué)過程

一創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

c4a2b?an?x2-4

1復(fù)習(xí)：約分：①一「，②177，③—--------

12a'bea"+I尤2-4尢+4

復(fù)習(xí)約分的方法

2引入

（1）先介紹計(jì)算機(jī)硬盤容量單位：計(jì)算機(jī)硬盤的容量最小單位為字節(jié)，1字節(jié)記作1B,

計(jì)算機(jī)上常用的容量單位有KB,MB,GB,其中：

1KB=2'°B=1O24B=1OOOB,

1MB=2'°KB=2'°x210B=220B,\GB=2'°MB=210x220B=230B

（2）提出問題：小明的爸爸最近買了一臺計(jì)算機(jī)，硬盤容量為40GB,而10年前買的

一臺計(jì)算機(jī)，硬盤的總?cè)萘繛?0MB,你能算出現(xiàn)在買的這臺計(jì)算機(jī)的硬盤總?cè)萘渴窃瓉碣I

的那臺計(jì)算機(jī)總?cè)萘康亩嗌俦秵幔?/p>

40x23。230220X210

40GB=40x230B,40MB=40x220B=210

40x220220

嚴(yán)

提醒這里的結(jié)果2i°=23°-2°,所以，=230-20=210

如果把數(shù)字改為字母:一般地，設(shè)aH0,m,n是正整數(shù)，且m>n,則/■=?這是什么運(yùn)算呢？

（同底數(shù)的除法）這節(jié)課我們學(xué)習(xí)…同底數(shù)的除法

二合作交流，探究新知

〃小nm~n

1同底數(shù)事的除法法則—=——=a"'-n

a"a"

你能用語言表達(dá)同底數(shù)基的除法法則嗎？同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

2同底數(shù)事的除法法則初步運(yùn)用

例1計(jì)算:(n是正整數(shù)),

例2計(jì)算:(1),(2)

X3-x3

b2}bn+'\

例3計(jì)算:(1)，(2)

,3a

a7V；

練一練P38練習(xí)題1,2

三應(yīng)用遷移，鞏固提高

㈤“6//,2

2=*則人=(HV

例4已知)"A5__'"R__12C12,D工

J吃m's

mmmm7

例5計(jì)算機(jī)硬盤的容量單位KB,MB,GB的換算關(guān)系，近視地表示成:

IKB^IOOOB,1MB5*1000KB,1GB=?1000MB

(1)硬盤總?cè)萘繛?0GB的計(jì)算機(jī)，大約能容納多少字節(jié)？

(2)1個(gè)漢字占2個(gè)字節(jié)，一本10萬字的書占多少字節(jié)？

(3)硬盤總?cè)萘繛?0GB的計(jì)算機(jī)，能容納多少本10完字的書？

(4)一本10萬字的書約高1cm,如果把(3)小題中的書一本一本往上放，能堆多高？(與

珠穆朗瑪峰的高度進(jìn)行比較。)

練一練

1已知優(yōu)=2,0V=3,求的值。2計(jì)算：［(x-?(龍-)’)

四反思小結(jié)，鞏固提高這節(jié)課你有什么收獲?

五作業(yè)；1填空:⑴\=(一x)26+2

2計(jì)算⑴舞,,10

⑵不，(3)X，+(X。+/),

(4)a'+/./,(5)2+(丁.)+工5(6)(0.25)6

2.3.2零次塞和負(fù)整數(shù)指數(shù)塞

教學(xué)目標(biāo)

1通過探索掌握零次基和負(fù)整數(shù)指數(shù)累的意義。

2會熟練進(jìn)行零次募和負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算。

3會用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示絕對值較少的數(shù)。

4讓學(xué)生感受從特殊到一般是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要方法。

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：零次基和負(fù)整數(shù)指數(shù)基的公式推導(dǎo)和應(yīng)用，科學(xué)計(jì)數(shù)法表示絕對值絕對值較少的數(shù)。

難點(diǎn)：零次幕和負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的理解

教學(xué)過程

-創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

1同底數(shù)的塞相除的法則是什么？用式子怎樣表示？用語言怎樣敘述？

am^-a"=a'"~"(aH0,/n、”是正整數(shù)，且m>n)

2這這個(gè)公式中，要求m>n,如果m=n,m<n,就會出現(xiàn)零次累和負(fù)指數(shù)累，如：

o,-e-a3=a33=?0(a0),a2cc'〃-3a。、。之。h0)有沒有意義？這

節(jié)課我們來學(xué)習(xí)這個(gè)問題。

二合作交流，探究新知

1零指數(shù)基的意義

(1)從特殊出發(fā)：填空：in4

44

32同樣：一T=10^-10=10°

—=3+32=3-；=3-，104

32由此你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

53一個(gè)非零的數(shù)的零次第等于1.

~^=一5+53=5---=5-,(2)推廣到一般：

一方面

1。_]()41()4=]Q---=10-a",+a",=a""'=a°(aW0),另

1"a,n\am1,

mm

32a1-a1

思考：不、32.32這兩個(gè)式子的意義是戶妗曲m揄槃

a2后發(fā)我們規(guī)定：a—1(6!7=mU)

否一樣，結(jié)果應(yīng)有什么關(guān)系？因此：

32

二二32+32=3°,

32

試試看：填空:

/9n

2°=_,10°=_,—,x°=—(xw0),(%—3)=_,(x2+1)=

(3J

2負(fù)整數(shù)指數(shù)累的意義。

53

(1)從特殊出發(fā)：填空：于=_,53+55=5-'-=5-

321。4

%二,32^-33=3__-=3_,—=,104-107=10--=10-

33_107—

32

(2)思考：一三與3?+3'的意義相同嗎？因此他們的結(jié)果應(yīng)該有什么關(guān)系呢？

33

]_

(3」

3

(3)推廣到一般：an=?

cCn=a~n=o'+=1+a"=q(aH0,〃是正整數(shù))

(4)再回到特殊：當(dāng)n=l是，a'=?(a"=l)

試試看：

1.若代數(shù)式(3x+l廠有意義，求r的取值范圍；

2若2'=—,則x=，若％=—,則x=__,若10"=0.0001?則x=

810

3科學(xué)計(jì)數(shù)法

(I)用小數(shù)表示下列各數(shù)：10',10-2,10-3,10\

你發(fā)現(xiàn)了什么？(10"=0.0…01)

(2)用小數(shù)表示下列各數(shù)：1.08x10-2,2.4x10-3,3.6x1。/

思考：1.08x10-2,2.4*10-3,3.6x10”這些數(shù)的表示形式有什么特點(diǎn)？

(axlO"(a是只有一位整數(shù),n是整數(shù)))叫什么計(jì)數(shù)法？(科學(xué)計(jì)數(shù)法)當(dāng)一個(gè)數(shù)的絕

對值很少的時(shí)候，如：0.00036怎樣用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示呢？你能從上面問題中找到規(guī)律嗎？

試試看：

用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示：(1)0.00018,(2)0.00000405

三應(yīng)用遷移，鞏固提高

例1若［一3()=1,則x的取值范圍是，若(y—2『=%，則y的取值范圍是

一.l.a°=l()

例2計(jì)算：2，10-2,出，(|)2.匕)。=1()

3.(V2-1.414)0=1()

例4把下列各式寫成分式形式：尸2,2孫44.(%-3.14)°=0()

例5氫原子中電子和原