學(xué)案空間中的垂直關(guān)系

學(xué)案空間中的垂直關(guān)系第一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日空間中的垂直關(guān)系以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.第二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日1.在客觀題、解答題中以特殊幾何體為載體考查線面垂直、面面垂直關(guān)系以及邏輯推理能力.2.考查線面角、面面角的方法，考查作圖、證明、計(jì)算空間想像能力和推理論證能力。3.近年來(lái)開放型問題不斷在高考試題中出現(xiàn)，這說(shuō)明高考對(duì)學(xué)生的能力要求越來(lái)越高，這也符合新課標(biāo)的理念，因而在復(fù)習(xí)過(guò)程中要善于對(duì)問題進(jìn)行探究.立體幾何中結(jié)合垂直關(guān)系，設(shè)計(jì)開放型試題將是新課標(biāo)高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)考向.第三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

1.直線與平面垂直的定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直，記作

.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.根據(jù)定義，過(guò)一點(diǎn)

直線與已知平面垂直；過(guò)一點(diǎn)

與已知直線垂直.l⊥α有且只有一條有且只有一個(gè)平面第四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日2.判定定理和性質(zhì)定理（1）判定定理：

，則該直線與此平面垂直.（2）性質(zhì)定理：

.

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行第五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日判定性質(zhì)圖形條件(b為a內(nèi)的任一條直線)結(jié)論第六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日如圖,AB為圓O的直徑,C為圓周上異于AB的任一點(diǎn),PA⊥面ABC,問:圖中共有多少個(gè)Rt△?【分析】找出直角三角形,也就是找出圖中的線線垂直.考點(diǎn)1線線垂直問題第七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日【解析】∵PA⊥面ABC,∴PA⊥AC,PA⊥BC,PA⊥AB.∵AB為圓O的直徑,∴AC⊥BC.又∵AC⊥BC,PA⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥面PAC.∵PC平面PAC,∴BC⊥PC.故圖中有四個(gè)直角三角形:△PAC,△PBC,△PAB,△ABC.第八頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

【評(píng)析】線線垂直可由線面垂直的性質(zhì)推得,直線和平面垂直,這條直線就垂直于平面內(nèi)所有直線,這是尋找線線垂直的重要依據(jù).第九頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日如圖,已知矩形ABCD,過(guò)A作SA⊥平面AC,再過(guò)A作AE⊥SB交SB于E,過(guò)E作EF⊥SC交SC于F.(1)求證:AF⊥SC;(2)若平面AEF交SD于G,求證:AG⊥SD.第十頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日證明:(1)∵SA⊥平面AC,BC平面AC,∴SA⊥BC,∵四邊形ABCD為矩形,∴AB⊥BC,∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE,又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥SC,又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC,又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD,∴DC⊥AG,又由(1)有SC⊥平面AEF,AG平面AEF,∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD.第十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn).（1）求證：MN⊥CD；（2）若∠PDA=，求證：MN⊥平面PCD.考點(diǎn)2線面垂直【分析】（1）因M為AB中點(diǎn)，只要證△ANB為等腰三角形，則利用等腰三角形的性質(zhì)可得MN⊥AB.（2）已知MN⊥CD，只需再證MN⊥PC，易看出△PMC為等腰三角形，利用N為PC的中點(diǎn)，可得MN⊥PC.第十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日【證明】(1)如圖,連接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N為PC中點(diǎn)，∴AN=PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，從而在Rt△PBC中，BN為斜邊PC上的中線，∴BN=PC.∴AN=BN,∴△ABN為等腰三角形,又M為底邊的中點(diǎn),∴MN⊥AB,又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.第十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日(2)連接PM,CM，∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四邊形ABCD為矩形,∴AD=BC，∴PA=BC.又∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N為PC的中點(diǎn)，∴MN⊥PC.由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.第十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

【評(píng)析】垂直問題的證明，其一般規(guī)律是“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”，也就是說(shuō)，根據(jù)已知條件去思考有關(guān)的性質(zhì)定理；根據(jù)要求證的結(jié)論去思考有關(guān)的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結(jié)合起來(lái).第十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日如圖所示,Rt△ABC的斜邊為AB，過(guò)A作AP⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求證：PB⊥平面AEF.第十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日證明：AP⊥平面ABCAP⊥BCBC⊥ACAP∩CA=AAF⊥PCAE⊥PBBC⊥AFAF⊥面PBCAF⊥PBBC∩PC=CAF∩AE=ABC⊥面APCAF面APCPB⊥面AEF.第十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日考點(diǎn)3面面垂直如圖，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，圖AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分別是棱AD,AA1的中點(diǎn).（1）設(shè)F是棱AB的中點(diǎn)，證明：直線EE1∥平面FCC1;（2）證明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.第十八頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日【證明】（1）證法一：取A1B1的中點(diǎn)為F1.連結(jié)FF1,C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1,所以F1∈平面FCC1,因此平面FCC1即為平面C1CFF1.連結(jié)A1D,F1C,由于A1F1D1C1CD,所以四邊形A1DCF1為平行四邊形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D,得EE1∥F1C.而EE1平面FCC1，F(xiàn)1C平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.【分析】證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證線線平行或面面平行，故由條件尋求轉(zhuǎn)化的關(guān)系；而證明面面垂直，一般用判定定理證明.第十九頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日證法二：因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，CD=2,AB=4,AB∥CD,所以CDAF，因此四邊形AFCD為平行四邊形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1,FC∩CC1=C,FC平面FCC1,CC1平面FCC1,AD∩DD1=D,AD平面ADD1A1,DD1平面ADD1A1,所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.故平面D1AC⊥平面BB1C1C.第二十頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日(2)連結(jié)AC，在△FBC中，F(xiàn)C=BC=FB,又F為AB的中點(diǎn)，所以AF=FC=FB.因此∠ACB=90°,即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC=C,所以AC⊥平面BB1C1C.而AC平面D1AC,故平面D1AC⊥平面BB1C1C.第二十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

【評(píng)析】證明線面垂直的方法：證明一個(gè)面過(guò)另一個(gè)面的垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點(diǎn)、高線與添加輔助線解決.第二十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日第二十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日1.一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線不一定垂直于這個(gè)平面.

2.直線和平面垂直判定定理中“平面內(nèi)的兩條相交直線”是不能轉(zhuǎn)換為“平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線”之類的條件的.

3.兩個(gè)平面垂直是通過(guò)這兩個(gè)平面所成的二面角的度數(shù)來(lái)定義的，同時(shí)也給我們提供了一種證明方法：求二面角法.第二十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2