2021-2022學(xué)年上海市行知中學(xué)高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市寶山區(qū)高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則__．【答案】##【分析】先利用角的終邊定義三角函數(shù)值，然后再利用二倍角公式即可.【詳解】由題令，則所以，，所以．故答案為：.2．已知扇形的周長(zhǎng)為8，中心角為2弧度，則該扇形的面積為_(kāi)__________.【答案】4【分析】設(shè)出扇形半徑和弧長(zhǎng)，列出方程組，求出，，進(jìn)而求出扇形面積.【詳解】設(shè)扇形半徑為，弧長(zhǎng)為，則由題意得：，解得：，，所以該扇形的面積為故答案為：43．已知，,則________.【答案】【分析】由，再結(jié)合兩角差的正切公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋?又，所以=，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角差的正切公式及考查了角的拼湊，重點(diǎn)考查了觀察能力及運(yùn)算能力，屬中檔題.4．函數(shù)的最大值為_(kāi)_．【答案】9【分析】運(yùn)用二倍角公式和誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解【詳解】，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取到最大值為9．故答案為：95．已知菱形，若，，則向量在上的投影為_(kāi)______.【答案】【分析】根據(jù)菱形中向量關(guān)系，求向量模長(zhǎng)，再根據(jù)投影公式求投影.【詳解】菱形ABCD中，，向量在上的投影故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量解決平面幾何問(wèn)題，以及投影公式.6．給出下列六種圖象變換的方法：①圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的；②圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍；③圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度；④圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度；⑤圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度；⑥圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.請(qǐng)用上述變換中的兩種變換，將函數(shù)的圖象變換為函數(shù)的圖象，那么這兩種變換正確的標(biāo)號(hào)是__________.（按變換先后順序填上一種你認(rèn)為正確的標(biāo)號(hào)即可）【答案】④②或②⑥【分析】可將函數(shù)按照“先平移，后伸縮”和“先伸縮，后平移”兩類(lèi)，按照伸縮規(guī)則和平移規(guī)則得到，得到答案.【詳解】按“先平移，后伸縮”得的圖像的圖像的圖像，按“先伸縮，后平移”得的圖像的圖像的圖像.故答案為④②或②⑥【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的伸縮變換和平移變換，屬于簡(jiǎn)單題.7．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__．【答案】．【分析】利用整體代換法求出函數(shù)的增區(qū)間，然后根據(jù)題意分析建立不等式組解出即可.【詳解】由，得，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，因?yàn)樵谑窃龊瘮?shù)，所以區(qū)間過(guò)原點(diǎn)，且所以時(shí)，的增區(qū)間為，則滿足，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：.8．若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則所有滿足條件的實(shí)數(shù)的取值構(gòu)成的集合為_(kāi)_．【答案】,【分析】對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論，分成與兩種情況，當(dāng)時(shí)，考慮二次函數(shù)的開(kāi)口方向及一元二次方程根的判別式情況.【詳解】當(dāng)時(shí)，，不等式化簡(jiǎn)為，不恒成立，舍去，當(dāng)時(shí)，則，即解得，則滿足條件的實(shí)數(shù)的取值取值構(gòu)成的集合為,．故答案為：,.9．在中，，三角形面積滿足，則與的夾角的范圍________.【答案】【分析】由得到，由得到，從而得到的范圍，從而得到的范圍【詳解】因?yàn)樵谥校?，所以，即因?yàn)槿切蚊娣e滿足，所以，所以得到，又因，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，三角形面積公式，屬于中檔題.10．若在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，要求每一段函數(shù)是嚴(yán)格減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)分別代入兩段函數(shù)，左邊界函數(shù)值大于等于右邊界的函數(shù)值.【詳解】已知函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，則在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，且在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)分別代入兩段函數(shù)，左邊界函數(shù)值大于等于右邊界的函數(shù)值.則，所以．故答案為：.11．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，．若存在，使得，則m的取值范圍為_(kāi)__________．【答案】【解析】由題意分段求出解析式，畫(huà)出圖象后數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)圖象，如圖：當(dāng)時(shí)，令得或，若存在，使得，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，考查了函數(shù)解析式的求解和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.12．對(duì)任意閉區(qū)間，用表示函數(shù)在上的最大值，若有且僅有一個(gè)正數(shù)使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【分析】討論的范圍得出的表達(dá)式，求出的值域即可.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，由，得，所以，此時(shí)，即，則，即；②當(dāng)時(shí)，，由，得，此時(shí)，即；③當(dāng)時(shí)，，由，得，所以，此時(shí)，則，即；④當(dāng)時(shí)，，則，由，得不成立，此時(shí)不存在；⑤當(dāng)時(shí)，，由，得，所以，此時(shí)，則，即；⑥當(dāng)時(shí)，，由，得，綜上，由有且僅有一個(gè)正數(shù)使得成立，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)最值的求解，解題的關(guān)鍵是分段討論的范圍，根據(jù)的不同取值范圍得出的表達(dá)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.二、單選題13．設(shè)是非零向量，分別是的單位向量，則下列各式中正確的是（

）A． B．或C． D．【答案】D【分析】根據(jù)相等向量的定義，結(jié)合單位向量的定義逐一判斷即可.【詳解】?jī)蓚€(gè)向量模相等，但是方向也可能不同，所以選項(xiàng)AB不正確；題中沒(méi)有明確向量模的大小關(guān)系，所以選項(xiàng)C不正確；因?yàn)榉謩e是的單位向量，所以，故選：D14．，已知函數(shù)恰有五個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意得可轉(zhuǎn)化為與恰有五個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以此時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象不可能有5個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，如圖所示：如圖所示，需滿足，所以，故選：B15．下列命題正確的個(gè)數(shù)為（

）（1）函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；（2）函數(shù)是周期函數(shù)，且最小正周期為；（3）函數(shù)的一條對(duì)稱軸為；（4）函數(shù)的最小正周期為的充要條件是．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】（1）利用正切函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行說(shuō)明即可；（2）結(jié)合的最小正周期即可；（3）令解出即可；（4）利用三角函數(shù)的性質(zhì)及充要條件判斷.【詳解】（1）函數(shù)在單調(diào)遞增，不能說(shuō)在它的定義域上單調(diào)遞增故（1）錯(cuò)誤；（2）函數(shù)是周期函數(shù)，且最小正周期為，故（2）錯(cuò)誤；（3）由，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的一條對(duì)稱軸為，符合題意，故（3）正確；（4）由所以函數(shù)的最小正周期為的充要條件是，故（4）錯(cuò)誤；故選：A.16．設(shè)函數(shù)的最大值為，最小值為，則與滿足的關(guān)系是A． B．C． D．【答案】B【解析】將函數(shù)化為一個(gè)常數(shù)函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和，再利用奇函數(shù)的對(duì)稱性可得答案.【詳解】因?yàn)?，令，則，所以為奇函數(shù)，所以，所以，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了兩角差的余弦公式，考查了奇函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題17．函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)．(1)求的值；(2)若在上為嚴(yán)格增函數(shù)，解關(guān)于的不等式．【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用定義域與不等式的關(guān)系，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解；（2）先利用單調(diào)性求出，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.【詳解】（1）由題意得，即的定義域?yàn)?，則，所以；（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，則，所以，原不等式等價(jià)于，解得或，綜上，關(guān)于的不等式的解集為．18．設(shè)函數(shù)部分圖像如圖所示．(1)求；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】(1)，，(2)．【分析】（1）利用最低點(diǎn)的值找到的值，由圖像得，從而取出周期，進(jìn)而求出，將圖像上的點(diǎn)代入表達(dá)式中，結(jié)合題目所給即可求出的值；（2）先求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，根據(jù)所給的區(qū)間分析求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】（1）由題意得，則周期為，則，所以，將代入得，所以，即，由可得，則；（2），令，得，令，則，因?yàn)?，所以單調(diào)遞減區(qū)間為．19．如圖，扇形ABC是一塊半徑為2千米，圓心角為的風(fēng)景區(qū)，P點(diǎn)在弧BC上，現(xiàn)欲在風(fēng)景區(qū)中規(guī)劃三條商業(yè)街道，要求街道PQ與AB垂直，街道PR與AC垂直，線段RQ表示第三條街道．（1）如果P位于弧BC的中點(diǎn)，求三條街道的總長(zhǎng)度；（2）由于環(huán)境的原因，三條街道PQ、PR、RQ每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益分別為每千米300萬(wàn)元、200萬(wàn)元及400萬(wàn)元，問(wèn)：這三條街道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高為多少？【答案】（1）（千米）；（2）（萬(wàn)元）.【解析】（1）根據(jù)P位于弧的中點(diǎn)，則P位于的角平分線上，然后分別在正中求解.（2）設(shè)，，然后分別在表示，，在中由余弦定理表，再由求解.【詳解】（1）由P位于弧的中點(diǎn)，在P位于的角平分線上，則，，由，且，∴為等邊三角形，則，三條街道的總長(zhǎng)（千米）；（2）設(shè)，，則，，，，由余弦定理可知：，，則|，設(shè)三條街道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益W，，，，，，，當(dāng)時(shí)，W取最大值，最大值為（萬(wàn)元）．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形應(yīng)用題的兩種情形：（1）實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解．20．已知函數(shù)，（其中．(1)求函數(shù)的最大值；(2)若對(duì)任意，函數(shù)與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)1；(2)．【分析】（1）根據(jù)兩和差的正弦公式，結(jié)合降冪公式、輔助角公式、正弦型函數(shù)最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合正弦型函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），所以函數(shù)的最大值為；（2）若對(duì)任意，函數(shù)與直線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的周期為，又由，得，得．，，所以且，又，，則，所以，即的取值范圍是．21．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)在中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，若，且，求的值；(3)設(shè)函數(shù)，記最大值為最小值為，若實(shí)數(shù)滿足，如果函數(shù)在定義域內(nèi)不存在零點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)最小正周期為；(2)的值為2；(3)．【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，求出周期作答.（2）由（1）求出，再利用余弦定理求解作答.（3）利用（1）中函數(shù)求出，換元并結(jié)合單調(diào)性求出的最值，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】（1）依題意，，所以函數(shù)的最小正周期為.（2）因?yàn)椋桑?）知，，解得，在中，由余弦定理得，即，而解得，所以的值為2.（3）由（1）（2）知