單元導(dǎo)數(shù)的概念及運算

導(dǎo)數(shù)的概及運算目認(rèn)學(xué)目：1．了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)數(shù)的概念。2．熟記常函數(shù)C，冪函數(shù)x（為有理數(shù)），三角函數(shù)sinx，cosx，指數(shù)函數(shù)e，，對數(shù)函數(shù)lnx，x的導(dǎo)數(shù)公式掌握兩個函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則；3．掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。重：導(dǎo)的概念、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)難：導(dǎo)的概念、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知要梳知點：數(shù)平變率函數(shù)

中如自變量在

處有增量,那么函數(shù)值y也相的有增量△y=f(x+△x)-f(x),其比值

叫做函數(shù)

從

到+eq\o\ac(△,x)eq\o\ac(△,)的均變化率，即。若

，

平變化率可表示為為函數(shù)從

到

的平均變化率。注：1．事物的變化率是相關(guān)的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值；2．函數(shù)的平均變化率表現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢，當(dāng)化情況。

取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變3函數(shù)

的平均變化率

的幾何意義是表示連接函數(shù)

圖像上兩點割線的斜率。4．

是自變量在

處的改變量，；

是函數(shù)值的改變量，可以是0。函數(shù)的平均變化率是0，并不一定明函數(shù)知點：數(shù)概：．導(dǎo)的義

沒有變化，應(yīng)取

更小考慮。對函數(shù)，點

處給自變量x以量x，函數(shù)y相應(yīng)增量-16

。若極限在點x處導(dǎo)數(shù)，記作

或，此時也稱（或

存在，則此極限稱為在點x處導(dǎo)。即）注：量eq\o\ac(△,x)eq\o\ac(△,)可是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)。．導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)

在開區(qū)間

內(nèi)的每點處都有導(dǎo)數(shù)，此時對于每一個

都應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)

從構(gòu)成了一個新的函數(shù),稱個函數(shù)

為函數(shù)

在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，注：數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點處的函數(shù)值，反映函數(shù)

處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，在附近的變化情況。

是常數(shù)，是函數(shù)

在．導(dǎo)幾意：1.曲線一點P(x，)及附一點Q(x+x,yeq\o\ac(△,+)y)經(jīng)過點P、作曲的割線PQ，傾斜角為

當(dāng)點Q(x+eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,+)沿線無限接近于點P(x，)，即eq\o\ac(△,x)eq\o\ac(△,)→0時，線PQ的極限位置直線PT叫曲線在點P處切。若切線的傾斜角為，當(dāng)eq\o\ac(△,x)eq\o\ac(△,)→，割線PQ斜的極限，就是切線的斜率。曲線的切線是割線的極限位置，即：2.導(dǎo)數(shù)幾何意義：函數(shù)y=f(x)在的數(shù)是曲線的切線的斜率。

。上點（）3.如

在點

可導(dǎo)，則曲線

在點（

）處的切線方程為：。4.若曲

在點

處的導(dǎo)數(shù)

不存在，就是切線與

軸平行。線軸向夾角為銳角；線與軸向夾角為鈍角；

，切線與軸行。（可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系如函數(shù)y=f(x)點處可導(dǎo)么函數(shù)y=f(x)在點x處續(xù)。瞬速：我們知道物體運動的速度等于位移與時間的比，而非勻速直線運動中這個比值是變化-26

的，如何了解非勻速直線運動中每一時刻的運動快慢程度，我們采用瞬時速度這一概念。如果物體的運動規(guī)律滿足s=s(t)(移公么物體在時刻的時速度v就是物體t到eq\o\ac(△,t+)這時間內(nèi)，eq\o\ac(△,當(dāng))→平均速度的極限，即

。如果把函數(shù)示運動物體在時刻

看作是物體的運動方程（也叫做位移公式），那么導(dǎo)數(shù)的瞬時速度。

表知點：見本數(shù)導(dǎo)公（）（）

（為數(shù)，

（）（）

（為有理數(shù)，（），

（），（），（），知點：數(shù)則算導(dǎo)則設(shè)，

均可導(dǎo)（）差的導(dǎo)數(shù)：（）的導(dǎo)數(shù)：（）的導(dǎo)數(shù)：知點：合數(shù)求法1.一般地，復(fù)合函數(shù)

對自變量的數(shù)

（），等于已知函數(shù)

對中間變量的導(dǎo)數(shù)

，乘以中間變量對變量的數(shù)

，即

或注選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵時需要記住中間變量意層求導(dǎo)，不遺漏。其中還應(yīng)特別注意中間變量的關(guān)系，求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)。2．求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個步驟進(jìn)行：（）當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；（）步求導(dǎo)（弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)）；（）中間變量代回原自變量（一般是x）的函數(shù)。整個過程可簡記為分解——求導(dǎo)——代練以后可以省略中間過程若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量。規(guī)方指1.理解掌握求導(dǎo)法則和公式結(jié)構(gòu)規(guī)律是靈活進(jìn)行求導(dǎo)運算的前提條件。具體解題時，還應(yīng)結(jié)合函數(shù)本身的特點，才能準(zhǔn)確有效地進(jìn)行求導(dǎo)運算，調(diào)動思維的積極性，在解決-36

新問題時，觸類旁通，得心應(yīng)手。2．熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。3.對于個復(fù)合函數(shù)，一定要清中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對哪個變量求導(dǎo)。典例：例．下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)①②解：設(shè)u=2x-3則

③分解為y=u，u=2x-3

④y=sin2x由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得：y'=f'(u)u'(x)=(u)'(2x-3)'=5u·2=10u＝10(2x-3)②設(shè)u=3-x，

可分解為，。③④y'=3(sin2x)·(sin2x)2xcos2x(2x)'=6·sin2x·cos2x例．知曲線一點切線方程。解：

，問曲線上哪一點處切線與直線y=-2x+3垂直并寫出這，令，即，得，入，，∴曲線在點4,5)處的切線與直y=-2x+3垂，切線方程為，。例．知曲線C：y=3x-2x-9x+4。①求曲C上坐標(biāo)為1的的切線方程；②第小題中切線與曲線C是還有其它公共點。解：把x=1代入C的程，求得y=-4，∴切為1,-4)，y'=12x-18x∴切線率為，∴切方程為y=-12x+8-46

②由

得3x+12x-4=0，即x-1)，。公共點(1,-4)（點），，除切點外，還有兩個交點。評：例說明曲線與直線相切并不說明只有一個公共點曲線是二次曲線時我們知道直線與曲線相切，有且只有一個公共點，這種觀點對一般曲線不一定正確。例4．，求f'(x)。解：x>0，，當(dāng)x<0時，由于x=0是該函數(shù)的分界點，由導(dǎo)數(shù)定義知由于(0)=f'(0)=1，有f'(0)=1于是：，：。例．知使函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)為0的x值也使y值0求常數(shù)。解：y'=3x+2ax令y'=0，得或

，由題設(shè)時，y'=y=0，時，；當(dāng)-56

時也解出a=0。

訓(xùn)題1．已知函數(shù)，f'(1)=2，則a的為_____。2．設(shè)f(x)=xlnx，f'(2)=________3．給出下列命題：①；②(tanx)'=secx③函數(shù)y=|x-1|在x=1處可導(dǎo)；④函數(shù)y=|x-1|x=1處連續(xù)。有：。

其中正確的命題4．函數(shù)y=cosx在

處的切線方程為______。5．已知函數(shù)f(x)=ax+bx+cx+dx+e為偶數(shù)，它的圖象過點A(0,-1)，且在x=1處的切線方程為2x+y-2=0，求函數(shù)y=f(x)表達(dá)式。參答：1.22.3.②④4.5．解∵f(x)是函數(shù)，f(-x)=f(x)∴b=d=0f(x)=ax+cx