高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)專題：推理與證明：數(shù)學(xué)歸納法

**n1n2n3n22**n1n2n3n22數(shù)學(xué)歸納法【考點(diǎn)梳理】數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)有的命題，可按下列步驟進(jìn)行：歸納奠基證明當(dāng)取第個(gè)值n∈)時(shí)命題成立；歸納遞)假設(shè)n＝(k≥n，N)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n00＝＋1時(shí)題也成立．只要完成這兩個(gè)步驟，就以斷定命題對從開的所有正整數(shù)n都立．0【教材改編】．(選修2－2A組T改)數(shù)學(xué)歸納法證明284

>2n＋，n的一個(gè)取值應(yīng)()A．C．[案][析]＋1不成立；

B．2D．C∵＝＝×＋1＝3,2＋1不立＝＝×＋15,2n＝3時(shí)，＝×＋1＝7,2＋1成立．∴第一個(gè)取值應(yīng)是．選修－2B組T改編)數(shù)列{}，知a＝1當(dāng)n，－a＝2－，依99nn次算，，a后猜想a的達(dá)式是()234A．n

B．n

2C．

n

D．n－[案][析]

B計(jì)算出a＝，＝9＝16.可猜a＝，應(yīng)選B.234．(選修2－2A組T改設(shè)數(shù){}前和為，對任意的自然數(shù)n都有(S961(3)n－1)＝，過計(jì)算，S，，想S為)nn3n1nB.C.D.＋1n1＋

n[案]

C22*,2222n*n22*,2222n*n[析]由(－1)2

由(－＝S，S＝，111＝(－)S，＝，22依次得＝，＝，想S＝.選C.34nn．(選修－2P例1改)于任意n∈＋＋…＋＝都立，則a94－b＝[案]

[析]

＝1時(shí)，

2

1×＝，即＋b3，①×3當(dāng)＝2時(shí)＋2＝，ab＝，②由①②解得a，＝1.∴－b1．(選修2－2例改編)若不等式＋＋＋>對切正整數(shù)n成立，94n＋1＋23＋124則整數(shù)的最大值．[案][析]

1a當(dāng)n時(shí)，＋＋>，11＋231a即>，以∴正整數(shù)最大值為25.．(選修2－2內(nèi)改編在數(shù){}，＝1，a92n1

＝(∈)＋n(1)算，，，想數(shù)列{}通公式；24(2)數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

[析]

(1)＝，a＝1n

n＋a

1231，∴＝＝，＝＝，＝＝，猜想21121411＋3＝nn(2)明：①當(dāng)n＝1時(shí)由題意知猜想成立．**2**22222*23112aaad**2**22222*23112aaad②假設(shè)＝(∈)猜想成立，即a＝.k則當(dāng)n＝＋，＝＝11＋a

k＝.k＋＋k即＝k＋1時(shí)想成立．由①②可知猜想＝對一切nN均立．nn．(選修2－2A組T改)數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋3＋…＋>(∈N96

)．[析]

證明：(1)當(dāng)＝1時(shí)不等式左邊，等式右邊＝，等式成立．(2)設(shè)＝k∈)，不等式成立．k即＋2＋3＋…>則當(dāng)n＝＋，k＋＋＋＋k＋k＋＋k＋＝，以＝k＋1時(shí)，不等式成立．2由(1)，(2)可知對于一切∈

，不等式12＋…n>成立．．選修－2A組TB組T改)設(shè)等差數(shù)列{}公，且>0.＝＋961n1a12＋…＋aann(1)，別表示T、、，猜想T；113n(2)數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．[析]

(1)＝＝；a＋111T＝＋＝－＋－×2123＝

－a＋11

×＝；＋2d11T＝＋＋3aaa123412n1**n12n1**n1111＝－＋－＋－×aad＝

－a＋11

×＝＋3d1由此可猜想＝.1(2)明①當(dāng)n＝T＝結(jié)論成立．＋d11②假設(shè)當(dāng)n(k∈

k)時(shí)結(jié)論成立，即T＝1則當(dāng)＝k＋