（全國通用）2023屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示學(xué)案

PAGEPAGE1§5.2平面向量根本定理及坐標(biāo)表示最新考綱考情考向分析1.了解平面向量根本定理及其意義．2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算．4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.主要考查平面向量根本定理、向量加法、減法、數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算及平面向量共線的坐標(biāo)表示，考查向量線性運(yùn)算的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算推理能力、數(shù)形結(jié)合能力，常與三角函數(shù)綜合交匯考查，突出向量的工具性．一般以選擇題、填空題形式考查，偶爾有與三角函數(shù)綜合在一起考查的解答題，屬于中檔題.1．平面向量根本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①假設(shè)向量的起點是坐標(biāo)原點，那么終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共線?x1y2－x2y1＝0.知識拓展1．假設(shè)a與b不共線，λa＋μb＝0，那么λ＝μ＝0.2．設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，那么a∥b?eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).題組一思考辨析1．判斷以下結(jié)論是否正確(請在括號中打“√〞或“×〞)(1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底．(×)(2)假設(shè)a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，那么λ1＝λ2，μ1＝μ(3)平面向量的基底不唯一，只要基底確定后，平面內(nèi)的任何一個向量都可用這組基底唯一表示．(√)(4)假設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a∥b的充要條件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).(×)(5)當(dāng)向量的起點在坐標(biāo)原點時，向量的坐標(biāo)就是向量終點的坐標(biāo)．(√)(6)平面向量不管經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變．(√)題組二教材改編2．[P97例5]?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，那么頂點D的坐標(biāo)為________．答案(1,5)解析設(shè)D(x，y)，那么由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))3．[P119A組T9]向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，假設(shè)ma＋nb與a－2b共線，那么eq\f(m,n)＝________.答案－eq\f(1,2)解析由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2由ma＋nb與a－2b共線，得eq\f(2m－n,4)＝eq\f(3m＋2n,－1)，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).題組三易錯自糾4．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，假設(shè)λ1e1＋λ2e2＝0，那么λ1＋λ2＝________.答案05．點A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，那么向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.答案(－7，－4)解析根據(jù)題意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．(2022·全國Ⅱ)向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，那么m＝________.答案－6解析因為a∥b，所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.題型一平面向量根本定理的應(yīng)用1．在以下向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)答案B解析方法一設(shè)a＝k1e1＋k2e2，A選項，∵(3,2)＝(k2,2k2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝3，,2k2＝2，))無解；B選項，∵(3,2)＝(－k1＋5k2,2k1－2k2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－k1＋5k2＝3，,2k1－2k2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝2，,k2＝1.))故B中的e1，e2可以把a(bǔ)表示出來；同理，C，D選項同A選項，無解．方法二只需判斷e1與e2是否共線即可，不共線的就符合要求．2．(2022·濟(jì)南模擬)如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，P是BN上的一點，假設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))，那么實數(shù)m的值為________．答案eq\f(3,11)解析∵eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\o(AN,\s\up6(→))，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(8,11)eq\o(AN,\s\up6(→))，又P，B，N三點共線，∴m＋eq\f(8,11)＝1，即m＝eq\f(3,11).思維升華平面向量根本定理應(yīng)用的實質(zhì)和一般思路(1)應(yīng)用平面向量根本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法那么或三角形法那么進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算．(2)用平面向量根本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決．題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算典例(1)a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，假設(shè)a－2b＋3c＝0，那么cA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(8,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，\f(8,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))答案D解析由3c＝－a＋2＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).(2)(2022·北京西城區(qū)模擬)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如下圖，假設(shè)c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，那么eq\f(λ,μ)等于()A．1B．2C．3D．4答案D解析那么A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1,1)，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6,2)，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(λ,μ)＝4.引申探究在本例(2)中，試用a，c表示b.解建立本例(2)解答中的平面直角坐標(biāo)系，那么a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)，設(shè)b＝xa＋yc，那么(6,2)＝x(－1,1)＋y(－1，－3)．即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－y＝6，,x－3y＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，))故b＝－4a－2思維升華向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法那么進(jìn)行計算．假設(shè)有向線段兩端點的坐標(biāo)，那么應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法那么．跟蹤訓(xùn)練(1)四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，那么頂點D的坐標(biāo)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3,2) D．(1,3)答案A解析設(shè)D(x，y)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x，y－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4,3)，又eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝2x，,3＝2y－2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(7,2)，))應(yīng)選A.(2)平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，那么向量eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b等于()A．(－2，－1) B．(－2,1)C．(－1,0) D．(－1,2)答案D解析eq\f(1,2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\f(3,2)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))，故eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝(－1,2)．

題型三向量共線的坐標(biāo)表示命題點1利用向量共線求向量或點的坐標(biāo)典例點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，那么AC與OB的交點P的坐標(biāo)為________．答案(3,3)解析方法一由O，P，B三點共線，可設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，那么eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4,4λ)．又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,6)，由eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,3)，所以點P的坐標(biāo)為(3,3)．方法二又eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,6)，且eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點P的坐標(biāo)為(3,3)．命題點2利用向量共線求參數(shù)典例向量a＝(1－sinθ，1)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1＋sinθ))，假設(shè)a∥b，那么銳角θ＝________.答案45°解析由a∥b，得(1－sinθ)(1＋sinθ)＝eq\f(1,2)，∴cos2θ＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝eq\f(\r(2),2)或cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，又θ為銳角，∴θ＝45°.思維升華平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)．如果兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“假設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo)．一般地，在求與一個向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．

跟蹤訓(xùn)練(1)(2022·北京海淀區(qū)模擬)向量a＝(1,1)，點A(3，0)，點B為直線y＝2x上的一個動點．假設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))∥a，那么點B的坐標(biāo)為________．答案(－3，－6)解析設(shè)B(x,2x)，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－3,2x)．∵eq\o(AB,\s\up6(→))∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，∴B(－3，－6)．(2)假設(shè)三點A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，那么實數(shù)a的值為________．答案－eq\f(5,4)解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－1,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3,4)，根據(jù)題意eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴4(a－1)－3×(－3)＝0，即4a＝－5，∴a＝－eq\f(5,4).解析法(坐標(biāo)法)在向量中的應(yīng)用典例(12分)給定兩個長度為1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為eq\f(2π,3).如下圖，點C在以O(shè)為圓心的eq\x\to(AB)上運(yùn)動．假設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，求x＋y的最大值．思想方法指導(dǎo)建立平面直角坐標(biāo)系，將向量坐標(biāo)化，將向量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題更加凸顯向量的代數(shù)特征．標(biāo)準(zhǔn)解答解以O(shè)為坐標(biāo)原點，eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖，那么A(1,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).[4分]設(shè)∠AOC＝αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))))，那么C(cosα，sinα)，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＝x－\f(1,2)y，,sinα＝\f(\r(3),2)y，))所以x＝cosα＋eq\f(\r(3),3)sinα，y＝eq\f(2\r(3),3)sinα，[8分]所以x＋y＝cosα＋eq\r(3)sinα＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，[10分]又α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以當(dāng)α＝eq\f(π,3)時，x＋y取得最大值2.[12分]1．如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么以下四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A．e1與e1＋e2B．e1－2e2與e1＋2e2C．e1＋e2與e1－e2D．e1－2e2與－e1＋2e2答案D2．(2022·鄭州質(zhì)檢)設(shè)平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，那么2a－3bA．(6,3) B．(－2，－6)C．(2,1) D．(7,2)答案B解析2a－3b3．(2022·河南中原名校聯(lián)考)如下圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，假設(shè)eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，那么λ2＋μ2等于()A.eq\f(5,8) B.eq\f(1,4)C．1 D.eq\f(5,16)答案A解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，故λ2＋μ2＝eq\f(5,8)，應(yīng)選A.4．a(chǎn)＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，那么c等于()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b B.eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC．－eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b答案B解析設(shè)c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝λ＋μ，,2＝λ－μ，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－\f(3,2)，))∴c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b.5．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ為實數(shù))，那么實數(shù)mA．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由題意知向量a，b不共線，故2m≠3m－2，即6．(2022·廈門調(diào)研)|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，點C在∠AOB內(nèi)，且eq\o(OC,\s\up6(→))與eq\o(OA,\s\up6(→))的夾角為30°，設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m，n∈R)，那么eq\f(m,n)的值為()A．2B.eq\f(5,2)C．3D．4答案C解析∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，以eq\o(OA,\s\up6(→))所在直線為x軸，eq\o(OB,\s\up6(→))所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))＝(m，eq\r(3)n)．∵tan30°＝eq\f(\r(3)n,m)＝eq\f(\r(3),3)，∴m＝3n，即eq\f(m,n)＝3，應(yīng)選C.7．在?ABCD中，AC為一條對角線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，那么向量eq\o(BD,\s\up6(→))的坐標(biāo)為__________．答案(－3，－5)解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－5)．8．(2022·雅安模擬)向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))，假設(shè)a－2b與c共線，那么k＝________.答案1解析∵a－2b＝(eq\r(3)，3)，且a－2b∥c，∴eq\r(3)×eq\r(3)－3k＝0，解得k＝1.9．(2022·福建四地六校聯(lián)考)A(1,0)，B(4,0)，C(3,4)，O為坐標(biāo)原點，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))，那么|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝________.答案2eq\r(2)解析由eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))知，點D是線段AC的中點，故D(2,2)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2,2)，故|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(－22＋22)＝2eq\r(2).10．(2022·洛陽質(zhì)檢)在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AC,\s\up6(→))＝e2，eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，那么eq\o(MN,\s\up6(→))＝____________.(用e1，e2表示)答案－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2解析如圖，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋2eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,4)e2＋eq\f(2,3)(e2－e1)＝－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2.11．A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)，假設(shè)A，B，C三點共線，那么a，b的關(guān)系式為________．答案a＋b＝2解析由得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→)).∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.12．A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b.(1)求3a＋b－3(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標(biāo)及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標(biāo)．解(1)由得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．∴3a＋b－3＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點，∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．13．(2022·河南三市聯(lián)考)點A(1,3)，B(4，－1)，那么與eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量是__________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴與eq\o(AB,\s\up6(→))同方向的單位向量為eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).14．(2022·杭州五校聯(lián)盟一診)在矩形ABCD中，AB＝eq\r(5)，BC＝eq\r(3)，P為矩形內(nèi)一點，且AP＝eq\f(\r(5),2)，假設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，那么eq\r(5)λ＋eq\r(3)μ的最大值為______．答案eq\f(\r(10),2)解析建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，y)，B(eq\r(5)，0)，C(eq\r(5)，eq\r(3))，D(0，eq\r(3))．∵AP＝eq\f(\r(5),2)，∴x2＋y2＝eq\f(5,4).點P滿足的約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\r(5)，,0≤y≤\r(3)，,x2＋y2＝\f(5,4)，))∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，∴(x，y)＝λ(eq\r(5)，0)＋μ(0，eq\r(3))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)λ，,y＝\r(3)μ，))∴x＋y＝eq\r(5)λ＋eq\r(3)μ.∵x＋y≤eq\r(2x2＋y2)＝eq\r(2×\f(5,4))＝eq\f(\r(10),2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時取等號，∴eq\