（浙江專(zhuān)用）2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)1第1講函數(shù)及其表示學(xué)案

PAGE1-第1講函數(shù)及其表示最新考綱1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念；2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單地應(yīng)用(函數(shù)分段不超過(guò)三段).知識(shí)梳理1.函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩個(gè)集合A，B設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合對(duì)應(yīng)關(guān)系f：A→B如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)名稱(chēng)稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射記法函數(shù)y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B2.函數(shù)的定義域、值域(1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，那么這兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù).3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.4.分段函數(shù)(1)假設(shè)函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù).(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)局部組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).診斷自測(cè)1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√〞或“×〞)(1)函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個(gè)函數(shù).()(2)與x軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn).()(3)函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)－1的值域是{y|y≥1}.()(4)假設(shè)兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，那么這兩個(gè)函數(shù)相等.()解析(1)函數(shù)y＝1的定義域?yàn)镽，而y＝x0的定義域?yàn)閧x|x≠0}，其定義域不同，故不是同一函數(shù).(3)由于x2＋1≥1，故y＝eq\r(x2＋1)－1≥0，故函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)－1的值域是{y|y≥0}.(4)假設(shè)兩個(gè)函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法那么均對(duì)應(yīng)相同時(shí)，才是相等函數(shù).答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(必修1P25B2改編)假設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镸＝{x|－2≤x≤2}，值域?yàn)镹＝{y|0≤y≤2}，那么函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是()解析A中函數(shù)定義域不是[－2，2]，C中圖象不表示函數(shù)，D中函數(shù)值域不是[0，2].答案B3.(2022·舟山一模)函數(shù)y＝eq\f(\r(1－x2),2x2－3x－2)的定義域?yàn)?)A.(－∞，1] B.[－1，1]C.[1，2)∪(2，＋∞) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))解析由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,2x2－3x－2≠0.))解之得－1≤x≤1且x≠－eq\f(1,2).答案D4.(2022·陜西卷)設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－\r(x)，x≥0，,2x，x<0，))那么f(f(－2))等于()A.－1 B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,2)解析因?yàn)椋?<0，所以f(－2)＝2－2＝eq\f(1,4)>0，所以f(f(－2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－eq\r(\f(1,4))＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，應(yīng)選C.答案C5.(2022·全國(guó)Ⅱ卷)函數(shù)f(x)＝ax3－2x的圖象過(guò)點(diǎn)(－1，4)，那么a＝________.解析由題意知點(diǎn)(－1，4)在函數(shù)f(x)＝ax3－2x的圖象上，所以4＝－a＋2，那么a＝－2.答案－26.(2022·麗水調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x2＋1〔x≥1〕，,log2〔1－x〕〔x<1〕，))設(shè)函數(shù)f(f(4))＝________.假設(shè)f(a)＝－1，那么a＝________.解析∵f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x2＋1〔x≥1〕，,log2〔1－x〕〔x<1〕，))∴f(4)＝－2×42＋1＝－31，f(f(4))＝f(－31)＝log232＝5；當(dāng)a≥1時(shí)，由f(a)＝－2a2＋1＝－1，得a＝1(a＝－1舍去)；當(dāng)a<1時(shí)，由f(a)＝log2(1－a)＝－1，得1－a＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(1,2).答案51或eq\f(1,2)考點(diǎn)一求函數(shù)的定義域【例1】(1)(2022·杭州調(diào)研)函數(shù)f(x)＝lneq\f(x,x－1)＋xeq\s\up6(\f(1,2))的定義域?yàn)?)A.(0，＋∞) B.(1，＋∞)C.(0，1) D.(0，1)∪(1，＋∞)(2)假設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域是[1，2017]，那么函數(shù)g(x)＝eq\f(f〔x＋1〕,x－1)的定義域是____________.解析(1)要使函數(shù)f(x)有意義，應(yīng)滿(mǎn)足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,x－1)>0，,x≥0，))解得x>1，故函數(shù)f(x)＝lneq\f(x,x－1)＋xeq\s\up6(\f(1,2))的定義域?yàn)?1，＋∞).(2)∵y＝f(x)的定義域?yàn)閇1，2017]，∴g(x)有意義，應(yīng)滿(mǎn)足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤x＋1≤2017，,x－1≠0.))∴0≤x≤2016，且x≠1.因此g(x)的定義域?yàn)閧x|0≤x≤2016，且x≠1}.答案(1)B(2){x|0≤x≤2016，且x≠1}規(guī)律方法求函數(shù)定義域的類(lèi)型及求法(1)函數(shù)的解析式，那么構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解.(2)對(duì)實(shí)際問(wèn)題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解.(3)假設(shè)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，那么f(g(x))的定義域可由a≤g(x)≤b求出；假設(shè)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，那么f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域.【訓(xùn)練1】(1)(2022·湖北卷)函數(shù)f(x)＝eq\r(4－|x|)＋lgeq\f(x2－5x＋6,x－3)的定義域?yàn)?)A.(2，3) B.(2，4]C.(2，3)∪(3，4] D.(－1，3)∪(3，6](2)假設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(2x2＋2ax－a－1)的定義域?yàn)镽，那么a的取值范圍為_(kāi)_______.解析(1)要使函數(shù)f(x)有意義，應(yīng)滿(mǎn)足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－|x|≥0，,\f(x2－5x＋6,x－3)>0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|≤4，,x－2>0且x≠3，))那么2<x≤4，且x≠3.所以f(x)的定義域?yàn)?2，3)∪(3，4].(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，所以2x2＋2ax－a－1≥0對(duì)x∈R恒成立，那么x2＋2ax－a≥0恒成立.因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤答案(1)C(2)[－1，0]考點(diǎn)二求函數(shù)的解析式【例2】(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋1))＝lgx，那么f(x)＝________；(2)f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，那么f(x)＝________；(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1，那么f(x)＝________.解析(1)令t＝eq\f(2,x)＋1(t>1)，那么x＝eq\f(2,t－1)，∴f(t)＝lgeq\f(2,t－1)，即f(x)＝lgeq\f(2,x－1)(x>1).(2)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，那么2ax＋a＋b＝x－1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝1，,a＋b＝－1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－\f(3,2).))∴f(x)＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2.(3)在f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1中，將x換成eq\f(1,x)，那么eq\f(1,x)換成x，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f(x)·eq\r(\f(1,x))－1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f〔x〕＝2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·\r(x)－1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f〔x〕·\r(\f(1,x))－1，))解得f(x)＝eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3).答案(1)lgeq\f(2,x－1)(x>1)(2)eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2(3)eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3)規(guī)律方法求函數(shù)解析式的常用方法(1)待定系數(shù)法：假設(shè)函數(shù)的類(lèi)型，可用待定系數(shù)法.(2)換元法：復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍.(3)構(gòu)造法：關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表達(dá)式，可根據(jù)條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式，通過(guò)解方程組求出f(x).(4)配湊法：由條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式.【訓(xùn)練2】(1)f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，那么f(x)＝________.(2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x＋1)＝2f(x).假設(shè)當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x(1－x)，那么當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x(3)定義在(－1，1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，那么f(x解析(1)令eq\r(x)＋1＝t，那么x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥1).(2)當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，0≤x＋1≤1，由f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋1)＝－eq\f(1,2)x(x＋1).(3)當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，有2f(x)－f(－x)＝lg(x將x換成－x，那么－x換成x，得2f(－x)－f(x)＝lg(－x由①②消去f(－x)得，f(x)＝eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)，x∈(－1，1).答案(1)x2－1(x≥1)(2)－eq\f(1,2)x(x＋1)(3)eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)(－1<x<1)考點(diǎn)三分段函數(shù)(多維探究)命題角度一求分段函數(shù)的函數(shù)值【例3－1】(2022·全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋log2〔2－x〕，x<1，,2x－1，x≥1，))那么f(－2)＋f(log212)＝()A.3 B.6 C.9 D.12解析根據(jù)分段函數(shù)的意義，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3.又log212>1∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.答案C命題角度二求參數(shù)的值或取值范圍【例3－2】(1)(2022·山東卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－b，x<1，,2x，x≥1.))假設(shè)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))))＝4，那么b＝()A.1 B.eq\f(7,8) C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,2)(2)(2022·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－1，x<1，,x\s\up6(\f(1,3))，x≥1，))那么使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________.解析(1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))＝3×eq\f(5,6)－b＝eq\f(5,2)－b，假設(shè)eq\f(5,2)－b<1，即b>eq\f(3,2)時(shí)，那么feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－b))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－b))－b＝4，解之得b＝eq\f(7,8)，不合題意舍去.假設(shè)eq\f(5,2)－b≥1，即b≤eq\f(3,2)，那么2eq\f(5,2)－b＝4，解得b＝eq\f(1,2).(2)當(dāng)x<1時(shí)，ex－1≤2，解得x≤1＋ln2，所以x<1.當(dāng)x≥1時(shí)，xeq\s\up6(\f(1,3))≤2，解得x≤8，所以1≤x≤8.綜上可知x的取值范圍是(－∞，8].答案(1)D(2)(－∞，8]規(guī)律方法(1)根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值.首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.(2)函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.提醒當(dāng)分段函數(shù)的自變量范圍不確定時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論.【訓(xùn)練3】(1)(2022·全國(guó)Ⅰ卷)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x≤1，,－log2〔x＋1〕，x>1，))且f(a)＝－3，那么f(6－a)＝()A.－eq\f(7,4) B.－eq\f(5,4)