中考數學一輪知識復習和鞏固練習考點20 圖形的相似（能力提升） (含詳解)

考向20圖形的相似【知識梳理】考點一、比例線段1.比例線段的相關概念如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或寫成a：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項.在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內項.如果作為比例內項的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項.2、比例的基本性質：①a：b=c：dad=bc②a：b=b：c.3、黃金分割把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=AB≈0.618AB.考點二、相似圖形1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.也就是說：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到的.(全等是特殊的相似圖形).

2.相似多邊形：對應角相等，對應邊的比相等的兩個多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質：

相似多邊形的對應角相等，對應邊成的比相等.

相似多邊形的周長的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性質：

(1)相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.

(2)相似三角形對應邊上的高的比相等，對應邊上的中線的比相等，對應角的角平分線的比相等，都等于相似比.

(3)相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.方法指導：結合兩個圖形相似，得出對應角相等，對應邊的比相等，這樣可以由題中已知條件求得其它角的度數和線段的長.對于復雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來的辦法處理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；

(2)如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；

(3)如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似；

(4)如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.

(5)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比對應相等，那么這兩個三角形相似.

考點三、位似圖形1.位似圖形的定義：

兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，不經過交點的對應邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫位似中心.

2.位似圖形的分類：

(1)外位似：位似中心在連接兩個對應點的線段之外.

(2)內位似：位似中心在連接兩個對應點的線段上.

3.位似圖形的性質

位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；

位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比；

位似圖形中不經過位似中心的對應線段平行.方法指導：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構成位似圖形.

4.作位似圖形的步驟

第一步：在原圖上找若干個關鍵點，并任取一點作為位似中心；

第二步：作位似中心與各關鍵點連線；

第三步：在連線上取關鍵點的對應點，使之滿足放縮比例；

第四步：順次連接截取點.

方法指導：

在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.【專項訓練】一、選擇題1．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=1，點P在四邊形ABCD的邊上．若P到BD的距離為1，則點P的個數為（）．A．1 B．2 C．3 D．42.如圖，直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6、8，按如圖那樣折疊，使點A與點B重合，折痕為DE，則S△BCE：S△BDE等于（）．A.2：5B.14:25C.16:25D.4:213.如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AB的中點，CE和BD交于點O，設△OCD的面積為m，△OEB的面積為，則下列結論中正確的是（）A．m=5 B．m=4 C．m=3 D．m=104.如圖所示，平地上一棵樹高為6米，兩次觀察地面上的影子，第一次是當陽光與地面成60°時，第二次是陽光與地面成30°時，第二次觀察到的影子比第一次長()．A．B.C.D.5．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四邊形ACDE是平行四邊形，連接CE交AD于點F，連接BD交CE于點G，連接BE．下列結論中：①CE=BD②△ADC是等腰直角三角形③∠ADB=∠AEB④CD?AE=EF?CG；一定正確的結論有（）．A．1個B．2個C．3個D．4個6．如圖，中，于一定能確定為直角三角形的條件的個數是（）．①②③④⑤A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題7.如圖已知△ABC的面積是的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點F，則△AEF的面積等于__________（結果保留根號）.8.已知三個邊長分別為2、3、5的正三角形從左到右如圖排列，則圖中陰影部分面積為．9.如圖，等邊三角形ABC的邊長為3，點P為BC邊上一點，且BP=1，點D為AC邊上一點，若∠APD=60°，則CD的長為．10．如圖，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置邊長分別3，4，x的三個正方形，則x的值為．11.如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0+SKIPIF1<0的值為．12.已知正方形ABC1D1的邊長為1，延長C1D1到A1，以A1C1為邊向右作正方形A1C1C2D2，延長C2D2到A2，以A2C2為邊向右作正方形A2C2C3D3（如圖所示），以此類推…．若A1C1=2，且點A，D2，D3，…，D10都在同一直線上，則正方形A9C9C10D10的邊長是．三、解答題13.如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E，F分別是DC和BC兩邊上的動點且始終保持∠EAF=45°，連接AE與AF交DB于點N，M．下列結論：①△ADM∽△NBA；②△CEF的周長始終保持不變其值是4；③AE×AM=AF×AN；④DN2+BM2=NM2．其中正確的結論有哪些？14.如圖（1），△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△EFD繞點A順時針旋轉，當DF邊與AB邊重合時，旋轉中止.不考慮旋轉開始和結束時重合的情況，設DE、DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H點，如圖（2）.（1）問：始終與△AGC相似的三角形有及；（2）設CG＝x，BH＝y(tǒng)，求y關于x的函數關系式（只要求根據2的情況說明理由）；（3）問：當x為何值時，△AGH是等腰三角形？15.已知:直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB為直徑的圓M交OC于D．E，連結AD、BD、BE.(1)在不添加其他字母和線的前提下，直接寫出圖1中的兩對相似三角形._____________________，______________________；(2)直角梯形OABC中，以O為坐標原點，A在x軸正半軸上建立直角坐標系（如圖2），若拋物線經過點A．B．D，且B為拋物線的頂點.①寫出頂點B的坐標（用a的代數式表示）___________；②求拋物線的解析式；③在x軸下方的拋物線上是否存在這樣的點P：過點P做PN⊥x軸于N，使得△PAN與△OAD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.SKIPIF1<016．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．點P是AB邊上任意一點，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于E．點M在線段AP上，點N在線段BP上，EM=EN，sin∠EMP=．（1）如圖1，當點E與點C重合時，求CM的長；（2）如圖2，當點E在邊AC上時，點E不與點A、C重合，設AP=x，BN=y，求y關于x的函數關系式，并寫出函數的定義域；（3）若△AME∽△ENB（△AME的頂點A、M、E分別與△ENB的頂點E、N、B對應），求AP的長．圖1圖2備用圖答案與解析一．選擇題1．【答案】B．2．【答案】B．3．【答案】B；【解析】∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB，又∵E是AB的中點，∴2EB=AB=CD，∴=（）2，即=（）2，解得m=4．故選B．4．【答案】B．5．【答案】Ｄ；【解析】①利用SAS證明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，

②利用平行四邊形的性質可得AE=CD，再結合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；

③利用SAS證明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；

④利用已知得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+∠GFD=90°，得出∠GCD=∠AEF，進而得出△CGD∽△EAF，得出比例式．6．【答案】Ｃ；【解析】①因為∠A+∠2=90°，∠1=∠A，所以∠1+∠2=90°，即△ABC為直角三角形，故正確；

②根據CD2=AD?DB得到，再根據∠ADC=∠CDB=90°，則△ACD∽△CBD，∴∠1=∠A，∠2=∠B，根據三角形內角和定理可得：∠ACB=90°，故正確；

③因為∠B+∠2=90°，∠B+∠1=90°，所以推出∠1=∠2，無法得到兩角和為90°，故錯誤；

④設BC的長為3x，那么AC為4x，AB為5x，由9x2+16x2=25x2，符合勾股定理的逆定理，故正確；

⑤由三角形的相似無法推出AC?BD=AD?CD成立，所以△ABC不是直角三角形，故錯誤．

所以正確的有三個．故選C．二．填空題7．【答案】．8．【答案】．9．【答案】；【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，

∵∠APB=∠PAC+∠C，∠PDC=∠PAC+∠APD，

∵∠APD=60°，∴∠APB=∠PAC+60°，∠PDC=∠PAC+60°，∴∠APB=∠PDC，

又∵∠B=∠C=60°，∴△ABP∽△PCD，

∴，即，

∴CD=．10．【答案】７；【解析】根據已知條件可以推出△CEF∽△OME∽△PFN然后把它們的直角邊用含x的表達式表示出來，利用對應邊的比相等，即可推出x的值答題．11.【答案】17；【解析】如圖，設正方形S2的邊長為x，

根據等腰直角三角形的性質知，AC=x，x=CD，

∴AC=2CD，CD=2，∴EC2=22+22，即EC=2，∴S2的面積為EC2=8，

∵S1的邊長為3，S1的面積為3×3=9，

∴S1+S2=8+9=17．12．【答案】．【解析】延長D4A和C1B交于O，∵AB∥A2C1，∴△AOB∽△D2OC2，∴=，∵AB=BC1=1，DC2=C1C2=2，∴==∴OC2=2OB，∴OB=BC2=3，∴OC2=6，設正方形A2C2C3D3的邊長為x1，同理證得：△D2OC2∽△D3OC3，∴=，解得，x1=3，∴正方形A2C2C3D3的邊長為3，設正方形A3C3C4D4的邊長為x2，同理證得：△D3OC3∽△D4OC4，∴=，解得x2=，∴正方形A3C3C4D4的邊長為；設正方形A4C4C5D5的邊長為x3，同理證得：△D4OC4∽△D5OC5，∴=，解得x=，∴正方形A4C4C5D5的邊長為；以此類推…．正方形An﹣1Cn﹣1CnDn的邊長為；∴正方形A9C9C10D10的邊長為．故答案為．三.綜合題13．【解析】解：①∠ANB=∠NDA+∠NAD=45°+∠NAD，∠MAD=∠MAN+∠NAD=45°+∠NAD，∴∠ANB=∠MAD，又∠ADM=∠ABN=45°，∴△ADM∽△NBA，①正確；②如圖1，把△ADE順時針旋轉90°得到△ABG，則BG=DE，∠FAG=∠FAB+∠DAE=45°，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF，∴DG=EF，∴△CEF的周長=CE+CF+EF=CE+DE+CF+FG=4，②正確；③當MN∥EF時，AE×AM=AF×AN，∵MN與EF的位置關系不確定，∴③錯誤；④如圖2，把△ADN順時針旋轉90°得到△ABH，則BH=DN，∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠MAB+∠DAN45°，在△NAM和△HAM中，，∴△AEF≌△AGF，∴MN=MH，又∵∠MBH=∠MBA+∠ABH=90°，∴BH2+BM2=MH2，即DN2+BM2=NM2，④正確．∴正確的結論有：①②④.14．【解析】（1）△HGA及△HAB；（2）由（1）可知△AGC∽△HAB∴，即，所以，（3）當CG＜時，∠GAC=∠H＜∠HAC，∴AC＜CH∵AG＜AC，∴AG＜GH又AH＞AG，AH＞GH此時，△AGH不可能是等腰三角形；當CG=時，G為BC的中點，H與C重合，△AGH是等腰三角形；此時，GC=，即x=當CG＞時，由（1）可知△AGC∽△HGA所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH若AG=AH，則AC=CG，此時x=9綜上，當x=9或時，△AGH是等腰