中考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)復(fù)習(xí)和鞏固練習(xí)考點(diǎn)22 正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算（基礎(chǔ)鞏固） (含詳解)

考向22正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計(jì)算【知識(shí)梳理】考點(diǎn)一、正多邊形和圓1、正多邊形的有關(guān)概念：(1)正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.

(2)正多邊形的中心——正多邊形的外接圓的圓心.

(3)正多邊形的半徑——正多邊形的外接圓的半徑.

(4)正多邊形的邊心距——正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內(nèi)切圓的半徑）

(5)正多邊形的中心角——正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角.

2、正多邊形與圓的關(guān)系：

(1)將一個(gè)圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形.

(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓.

（3）把圓分成n(n≥3)等分，經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，以相鄰切線(xiàn)的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形.這個(gè)圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓.（4）任何正n邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.3、正多邊形性質(zhì)：

(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓.

(2)正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱(chēng)軸，每條對(duì)稱(chēng)軸都通過(guò)正n邊形的中心．當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的中心就是對(duì)稱(chēng)中心.(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．（4）任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓.方法指導(dǎo)：（1）正n邊形的有n個(gè)相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個(gè)外角的度數(shù)是SKIPIF1<0；所以正n邊形的中心角等于它的外角.

（2）邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長(zhǎng)的比等于它們邊長(zhǎng)（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長(zhǎng)（或半徑、邊心距）平方的比.考點(diǎn)二、圓中有關(guān)計(jì)算1．圓中有關(guān)計(jì)算圓的面積公式：，周長(zhǎng).

圓心角為、半徑為R的弧長(zhǎng).

圓心角為，半徑為R，弧長(zhǎng)為的扇形的面積.弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來(lái)計(jì)算.

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線(xiàn)長(zhǎng)為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，底面半徑為R，母線(xiàn)長(zhǎng)為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線(xiàn)長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有.方法指導(dǎo)：

(1)對(duì)于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個(gè)量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點(diǎn)類(lèi)似，可類(lèi)比記憶；

(4)扇形兩個(gè)面積公式之間的聯(lián)系：.

【專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練】一、選擇題1．在半徑為12的⊙O中，60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是（）A．6πB．4πC．2πD．π2．一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半徑為1的半圓，則該圓錐的底面半徑是（）A．1B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<03．如圖，正三角形的內(nèi)切圓半徑為1，那么這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為()A．2B．3C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為9，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的底面半徑等于()A．9B．27C．3D．10 5．如圖所示．在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<06．如圖，正方形ABCD和正△AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC、CD分別相交于點(diǎn)G、H，則的值是（）A． B． C． D．2二、填空題7．已知扇形的半徑為3cm，面積為3πcm2，則扇形的圓心角是________，扇形的弧長(zhǎng)是________cm（結(jié)果保留π）.8．如果圓錐的底面半徑為3cm，母線(xiàn)長(zhǎng)為6cm，那么它的側(cè)面積等于________cm2．9．如圖所示，ABCD是各邊長(zhǎng)都大于2的四邊形，分別以它的頂點(diǎn)為圓心，1為半徑畫(huà)弧(弧的端點(diǎn)分別在四邊形的相鄰兩邊上)，則這4條弧長(zhǎng)的和是________．10．如圖所示，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝SKIPIF1<0，以AD的長(zhǎng)為半徑的⊙A交BC于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．11．如圖所示，如果從半徑為3cm的圓形紙片剪去SKIPIF1<0圓周的一個(gè)扇形，將留下的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處不重疊），那么這個(gè)圓錐的體積是________．12．如圖，在半徑為2的⊙O中，兩個(gè)頂點(diǎn)重合的內(nèi)接正四邊形與正六邊形，則陰影部分的面積為．三、解答題13．如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6，以A為圓心在梯形內(nèi)畫(huà)出一個(gè)最大的扇形(圖中陰影部分)，求陰影部分的面積及扇形的弧長(zhǎng)．14.如圖所示，已知在⊙O中，AB＝SKIPIF1<0，AC是⊙O的直徑，AC⊥BD于F，∠A＝30°．(1)求圖中陰影部分的面積；(2)若用陰影扇形OBD圍成一個(gè)圓錐側(cè)面，請(qǐng)求出這個(gè)圓錐的底面圓的半徑．15．如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的直線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．(1)求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；(2)求證：SKIPIF1<0；(3)點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若AB＝4，求MN·MC的值．16.如圖，紙片ABCD是一個(gè)菱形，其邊長(zhǎng)為2，∠BAD=120°．以點(diǎn)A為圓心的扇形與邊BC相切于點(diǎn)E，與AB、AD分別相交于點(diǎn)F、G；（1）請(qǐng)你判斷所作的扇形與邊CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若以所作出的扇形為側(cè)面圍成一個(gè)圓錐，求該圓錐的全面積．答案與解析一、選擇題

1.【答案】B；【解析】直接用公式SKIPIF1<0.2.【答案】C；【解析】SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．3.【答案】D；4.【答案】C；【解析】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，則SKIPIF1<0，解得r＝3．5.【答案】D；【解析】可轉(zhuǎn)化為以AB為直徑的圓的面積減去△ABC的面積．6.【答案】C；【解析】如圖，連接AC、BD、OF，設(shè)⊙O的半徑是r，則OF=r，∵AO是∠EAF的平分線(xiàn)，∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，∴∠OFA=∠OAF=30°，∴∠COF=30°+30°=60°，∴FI=r?sin60°=，∴EF=，∵AO=2OI，∴OI=，CI=r﹣=，∴，∴，∴=，即則的值是．故選：C．二、填空題7．【答案】120°，2π；【解析】直接代公式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.8．【答案】18π；【解析】圓錐的側(cè)面積公式為S＝πra，所以S＝π×3×6＝18π(cm2)．9．【答案】6π；【解析】4條弧長(zhǎng)的和可以看作是4個(gè)圓的周長(zhǎng)減去四個(gè)圓在四邊形ABCD內(nèi)的四條弧的長(zhǎng)，又由∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴四邊形ABCD內(nèi)的四條孤長(zhǎng)的和為一個(gè)圓的周長(zhǎng)，所以所求的四條弧長(zhǎng)之和為3個(gè)圓的周長(zhǎng)：3×2πr＝3×2π×1＝6π．10．【答案】SKIPIF1<0；【解析】連接AE，易證AB＝BE＝1，∠AEB＝45°，∴∠EAD＝45°，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．11．【答案】SKIPIF1<0；【解析】可求圓錐底面半徑SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，代公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0．12．【答案】6﹣2；【解析】如圖，連接OB，OF，根據(jù)題意得：△BFO是等邊三角形，△CDE是等腰直角三角形，∴BF=OB=2，∴△BFO的高為；，CD=2（2﹣）=4﹣2，∴BC=（2﹣4+2）=﹣1，∴陰影部分的面積=4S△ABC=4×（）?=6﹣2．故答案為：6﹣2．三、解答題13.【答案與解析】解設(shè)切點(diǎn)為E，連接AE，則AE⊥BC．∵∠C＝∠D＝90°，∴四邊形ADCE是矩形．∴CE＝AD＝4．∵BC＝6，∴BE＝2．∵BE＝SKIPIF1<0AB，∴∠BAE＝30°，AE＝SKIPIF1<0．∴∠DAB＝120°．∴SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．14.【答案與解析】解：（1）連BC，∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∵AB＝SKIPIF1<0，∠A＝30°，∴AC＝2BC，由勾股定理可求AC＝8，又易求∠BOD＝120°，∴SKIPIF1<0．（2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，則周長(zhǎng)為2πr，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．15.【答案與解析】(1)證明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．∵∠COB＝∠A+∠ACO，∴∠COB＝2∠A，∵∠COB＝2∠PCB，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．∵OC是⊙O的直徑，∴PC是⊙O的切線(xiàn)．(2)證明：∵PC＝AC，∴∠A＝∠P，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，∴∠CBO＝∠COB．∴BC＝OC，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．(3)解：如圖，連接MA，MB．∵點(diǎn)M是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴∠BCM＝∠ABM．∵∠BMC＝∠BMN，∴△MBN∽△MCB，∴SKIPIF1<0，∴BM2＝MC·MN．∵AB是⊙O的直徑，SKIPIF1<0，∴∠AMB＝90°，AM＝BM．∵AB＝4，∴SKIPIF1