江蘇省連云港市2023屆高三下學(xué)期2月調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁/共1頁連云港市2023屆高三2月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．考試時間120分鐘，試卷滿分150分.2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.3．請用2B鉛筆和0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上指定區(qū)域內(nèi)作答.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念可得答案.【詳解】,故的共軛復(fù)數(shù)為，故選：B2.已知全集，，則集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可知集合中的元素，再由即可求得集合.【詳解】由知，又因?yàn)?，所?故選：A3.現(xiàn)要從A，B，C，D，E這5人中選出4人，安排在甲、乙、丙、丁4個崗位上，如果A不能安排在甲崗位上，則安排的方法有（）A.56種 B.64種 C.72種 D.96種【答案】D【解析】【分析】根據(jù)是否入選進(jìn)行分類討論即可求解.【詳解】由題意可知：根據(jù)是否入選進(jìn)行分類：若入選：則先給從乙、丙、丁3個崗位上安排一個崗位有種，再給剩下三個崗位安排人有種，共有種方法；若不入選：則4個人4個崗位全排有種方法，所以共有種不同的安排方法，故選：.4.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則常數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡函數(shù)解析式為，由可求得的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最大值，結(jié)合已知條件可求得的值.【詳解】，當(dāng)時，，則函數(shù)的最大值為，解得.故選：C.5.二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A.80 B. C. D.40【答案】B【解析】【分析】求出展開式的通項(xiàng)，再令的指數(shù)等于0，即可得出答案.【詳解】解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，則，所以常數(shù)項(xiàng)為.故選：B.6.已知正四面體，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正切值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出圖形，找出直線與平面所成角的平面角，在三角形內(nèi)即可求解.【詳解】如圖，過點(diǎn)向底面作垂線，垂足為，連接，過點(diǎn)作于G，連接，由題意可知：且，因?yàn)槠矫?，所以平面，則即為直線與平面所成角的平面角，設(shè)正四面體的棱長為2，則，，所以，則，在中，由余弦定理可得：，在中，，所以，所以直線與平面所成角的正切值是，故選：.7.在某地區(qū)進(jìn)行流行病調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100名某種疾病患者的年齡，發(fā)現(xiàn)該100名患者中有20名的年齡位于區(qū)間內(nèi)．已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.15%，年齡位于區(qū)間內(nèi)人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?0%．現(xiàn)從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間內(nèi)，則此人患該疾病的概率為（）A.0.001 B.0.003 C.0.005 D.0.007【答案】A【解析】【分析】利用條件概率公式計算即可.【詳解】設(shè)從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間內(nèi)為事件A，此人患該疾病為事件B，則.故選：A.8.已知圓錐內(nèi)切球（與圓錐側(cè)面、底面均相切的球）的半徑為2，當(dāng)該圓錐的表面積最小時，其外接球的表面積為（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出圖形，設(shè)，，由三角形相似得到，得到圓錐的表面積為，令，由導(dǎo)函數(shù)得到當(dāng)時，圓錐的表面積取得最小值，進(jìn)而得到此時與，作出圓錐的外接球，設(shè)外接球半徑為，由勾股定理列出方程，求出外接球半徑和表面積.【詳解】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓的圓心為，內(nèi)切球圓心為，則，，因?yàn)椤?，⊥，所以∽，則，設(shè)，，故，由得：，由得：，故，所以，，解得：，所以圓錐的表面積為，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在時取得最小值，，此時，，設(shè)圓錐外接球球心為，連接，設(shè)，則，由勾股定理得：，即，解得：，故其外接球的表面積為.故選：A【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點(diǎn)的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)，，是三個非零向量，且相互不共線，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則不與垂直 D.不與垂直【答案】AB【解析】【分析】A選項(xiàng)，兩邊平方計算出，得到垂直關(guān)系；B選項(xiàng)，計算出，得到垂直關(guān)系；C選項(xiàng)，計算出，得到垂直關(guān)系，D計算出，得到D正確.【詳解】，，是三個非零向量，A選項(xiàng)，兩邊平方得：，即，故，則，A正確；B選項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，故，B正確；C選項(xiàng)，，故，則與垂直，C錯誤；D選項(xiàng)，，故與垂直，D錯誤.故選：AB10.折扇在我國已有三四千年的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字畫的形式集中體現(xiàn)了我國文化的方方面面，是運(yùn)籌帷幄，決勝千里，大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若扇形的兩個圓弧所在圓的半徑分別是1和3，且，則該圓臺（）A.高為 B.表面積為C.體積為 D.上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為【答案】BCD【解析】【分析】求得圓臺的上下底面半徑，根據(jù)圓臺的結(jié)構(gòu)特征可求得圓臺母線長和高，判斷A；根據(jù)圓臺的側(cè)面積以及體積公式求得表面積和體積，判斷B，C；進(jìn)而求得上底面積、下底面積和側(cè)面積之比，判斷D.【詳解】對于A，設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，則，解得,所以圓臺的母線長為，高為，選項(xiàng)A錯誤；對于B，圓臺的上底面積為，下底面積為，側(cè)面積為，所以圓臺的表面積為，選項(xiàng)B正確；對于C，圓臺的體積為，選項(xiàng)C正確；對于D，圓臺的上底面積、下底面積和側(cè)面積之比為，選項(xiàng)D正確，故選：BCD．11.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，作MN垂直于準(zhǔn)線，垂足為N，則下列結(jié)論正確的是（）A.若直線l經(jīng)過焦點(diǎn)F，且，則B.若，則直線l的傾斜角為C.若以AB為直徑的圓M經(jīng)過焦點(diǎn)F，則的最小值為D.若以AB為直徑作圓M，則圓M與準(zhǔn)線相切【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)，考慮直線斜率為0和不為0兩種情況，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，由列出方程，求出，A錯誤；B選項(xiàng)，先得到直線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，與A一樣，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合求出直線l的斜率，得到傾斜角；C選項(xiàng)，設(shè)，由拋物線定義結(jié)合基本不等式得到的最小值；D選項(xiàng)，與C一樣，考慮直線l不經(jīng)過焦點(diǎn)時，得到圓M與準(zhǔn)線相離，D錯誤.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得：，準(zhǔn)線方程為，當(dāng)直線的斜率為0時，此時，直線l與C只有1個交點(diǎn)，不合題意，故設(shè)直線，與聯(lián)立得：，故，則，所以，解得：，A錯誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，即直線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時，此時，直線l與C只有1個交點(diǎn)，不合題意，故設(shè)直線，與聯(lián)立得：，故，因?yàn)椋?，代入中，得到，即，因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以，故，即，，解得：故直線l的斜率為，設(shè)直線l的傾斜角為，則，解得：，B正確；C選項(xiàng)，設(shè)，過點(diǎn)作⊥準(zhǔn)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥準(zhǔn)線于點(diǎn)P，因?yàn)橐訟B為直徑的圓M經(jīng)過焦點(diǎn)F，所以⊥，則，由拋物線定義可知：，由基本不等式得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，即，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)直線l不經(jīng)過焦點(diǎn)時，設(shè)，由三角形三邊關(guān)系可知：，由拋物線定義可知結(jié)合C選項(xiàng)可知：，即，若以AB為直徑作圓M，則圓M與準(zhǔn)線相離，D錯誤.故選：BC【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．12.利用“”可得到許多與n（且）有關(guān)的結(jié)論，則正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先證明出，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，A選項(xiàng)，令，得到，累加后得到A正確；B選項(xiàng)，推導(dǎo)出，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，令，可得，累加后得到B正確；C選項(xiàng)，推導(dǎo)出，累加后得到C錯誤；D選項(xiàng)，將中的替換為，推導(dǎo)出，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，累加后得到D正確.【詳解】令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也時最小值，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，A選項(xiàng)，令，所以，故，其中，所以，A正確；B選項(xiàng)，將中的替換為，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，令，可得，所以，故，其中所以，B正確；C選項(xiàng)，將中的替換為，顯然，則，故，故，C錯誤；D選項(xiàng)，將中的替換為，其中，，則，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和（常常用到裂項(xiàng)相消法求和）達(dá)到證明的目的.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓的內(nèi)接正方形相對的兩個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，則這個圓的方程是____________.【答案】；【解析】【分析】先求出圓的圓心和半徑，即得圓的方程.【詳解】由題得圓心的坐標(biāo)為，即.圓的半徑為.所以圓的方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程的求法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平.14.為了研究高三（1）班女生的身高x（單位；cm）與體重y（單位：kg）的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名女生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為．已知，，．該班某女生的身高為170cm，據(jù)此估計其體重為________________kg．【答案】54.5【解析】【分析】計算出樣本中心點(diǎn)，代入回歸直線方程，得到，從而估計出該女生的體重.【詳解】，，故，解得：，故回歸直線方程為，則當(dāng)時，(kg).故答案為：54.515.直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為9，則離心率=______.【答案】##【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用橫坐標(biāo)之積求出坐標(biāo)，代入雙曲線方程求出a，進(jìn)一步求出離心率【詳解】由A，B兩點(diǎn)在直線上，設(shè)，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，由A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為9得，解得，所以，代入雙曲線方程得，所以，所以，所以離心率為.故答案為：16.已知定義在R上的函數(shù)，若有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________．【答案】【解析】【分析】分析的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性求解.【詳解】，所以是奇函數(shù)，又，在R的范圍內(nèi)是增函數(shù)，有解等價于，有解，令，當(dāng)時，是增函數(shù)，當(dāng)x趨于時，趨于，滿足題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，是增函數(shù)，當(dāng)時，是減函數(shù)，；令，則，當(dāng)時，，增函數(shù)，當(dāng)時，是減函數(shù)，并且當(dāng)時，，，當(dāng)時，即當(dāng)時，滿足題意，所以a的取值范圍是；故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)積為，若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合等差的定義證明即可；（2）由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得出，再由題設(shè)定義得出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【小問1詳解】當(dāng)時，當(dāng)n≥2時，，所以，所以（常數(shù)），故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．【小問2詳解】由（1）知，，得，當(dāng)n≥2時，，當(dāng)時，，不符合上式，故．18.為了豐富在校學(xué)生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運(yùn)動會活動，學(xué)校設(shè)置項(xiàng)目A“毛毛蟲旱地龍舟”和項(xiàng)目B“袋鼠接力跳”．甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個項(xiàng)目，進(jìn)行班級對抗賽．每一個比賽項(xiàng)目均采取五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)在項(xiàng)目A中甲班每一局獲勝的概率為，在項(xiàng)目B中甲班每一局獲勝的概率為，且每一局之間沒有影響．（1）求甲班在項(xiàng)目A中獲勝的概率；（2）設(shè)甲班獲勝的項(xiàng)目個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）記“甲班在項(xiàng)目A中獲勝”為事件A，利用獨(dú)立事件的乘法公式求解即可；（2）先算出“甲班在項(xiàng)目B中獲勝”的概率，然后利用獨(dú)立事件的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望【小問1詳解】記“甲班在項(xiàng)目A中獲勝”為事件A，則，所以甲班在項(xiàng)目A中獲勝的概率為【小問2詳解】記“甲班在項(xiàng)目B中獲勝”為事件B，則，X的可能取值為0，1，2，則，，．所以X的分布列為X012P．所以甲班獲勝的項(xiàng)目個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為19.已知的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且（1）求;（2）若,求外接圓的半徑R．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)將寫為代入化簡可得,根據(jù),即可得;(2)由正、余弦定理可將化簡為,進(jìn)一步化簡可得,結(jié)合,再根據(jù)正弦定理即可得外接圓半徑.【小問1詳解】解:因?yàn)?所以,所以,因?yàn)?所以,所以,又,所以;【小問2詳解】因?yàn)?所以在中,由正、余弦定理得:,所以,故,由正弦定理得所以外接圓半徑為.20.如圖，直三棱柱內(nèi)接于圓柱，，平面平面．（1）證明：為圓柱底面的直徑；（2）若M為中點(diǎn)，N為中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，繼而證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得平面與平面的法向量，根據(jù)空間向量的夾角公式，即可求得答案.【小問1詳解】證明：連接，在直三棱柱中，，∴四邊形為正方形，∴又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴又平面，平面，∴．又，,平面，∴平面，又平面，∴，∴為圓柱底面的直徑．【小問2詳解】由已知平面，，∴以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，，．∵為，中點(diǎn)，∴，．設(shè)平面的一個法向量為．則，又，，∴，取，得，，∴，設(shè)平面的一個法向量為．則，又，，∴，取，得，．∴，∴，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．21.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在上的最大值；（2）由可得出，令，可知直線與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：當(dāng)時，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，.【小問2詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋煽傻?，令，其中，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，且，當(dāng)時，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，令，其中，則，則函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，則存在，使得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.由題意可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求