-新教材高中數(shù)學(xué)第14章統(tǒng)計4.1用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)學(xué)案蘇教版必修第二冊

PAGEPAGE8用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義(1)平均數(shù)、均值①(算術(shù))平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù)．②總體均值：一般地，我們把總體中所有數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，稱為總體的均值．③一個平均數(shù)的計算公式一般地，若取值為x1，x2，…，xn的頻率分別為p1，p2，…，pn，則其平均數(shù)為x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.(2)眾數(shù)一般地，我們將一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫作該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．(3)中位數(shù)一般地，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排成一列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為奇數(shù)，那么排在正中間的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，那么，排在正中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．1．奧運會體操比賽的計分規(guī)則為：當(dāng)評委亮分后，其成績先去掉一個最高分，去掉一個最低分，再計算剩下分?jǐn)?shù)的平均值，這是因為()A．減少計算量B．避免故障C．剔除異常值D．活躍賽場氣氛【解析】選C.因為在體操比賽的評分中使用的是平均分，記分過程中采用“去掉一個最高分，去掉一個最低分”的方法，就是為了防止個別裁判的人為因素給出過高或過低的分?jǐn)?shù)對選手的得分造成較大的影響，從而降低誤差，盡量公平．2．已知一組數(shù)據(jù)為20，30，40，50，50，60，70，80.其中平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的大小關(guān)系是()A．平均數(shù)>中位數(shù)>眾數(shù)B．平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù)C．中位數(shù)<眾數(shù)<平均數(shù)D．眾數(shù)＝中位數(shù)＝平均數(shù)【解析】選D.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是50.3．(教材練習(xí)改編)某廠抽查了某節(jié)能燈泡的使用壽命數(shù)據(jù)如下：壽命/天450550600650700只數(shù)2010301525則這些節(jié)能燈泡使用壽命的平均數(shù)是________．【解析】這些節(jié)能燈泡使用壽命的平均數(shù)是eq\f(450×20＋550×10＋600×30＋650×15＋700×25,100)＝597.5(天).答案：597.5天4．一組樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13，14，19，x，23，27，28，31，其中位數(shù)為22，則x等于________．【解析】根據(jù)題意知，中位數(shù)22＝eq\f(x＋23,2)，則x＝21.答案：215．某學(xué)校抽查了某班級某月5天的用電量，數(shù)據(jù)如表(單位：度)：度數(shù)91011天數(shù)311(1)求這個班級這5天用電量的平均數(shù)；(2)求這個班級這5天用電量的眾數(shù)、中位數(shù)；(3)學(xué)校共有36個班級，若該月按22天計，試估計該校該月的總用電量．【解析】(1)因為(9×3＋10×1＋11×1)÷5＝9.6(度)，所以這個班級這5天用電量的平均數(shù)為9.6度．(2)這個班級這5天用電量的眾數(shù)是9度，中位數(shù)是9度．(3)因為9.6×36×22＝7603.2(度)，所以估計該校該月的總用電量為7603.2度．一、單選題1．某同學(xué)使用計算器求30個數(shù)據(jù)的平均數(shù)時，錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15，那么由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是()A．3.5B．3C．－0.5D．－3【解析】選D.因為錯將其中一個數(shù)據(jù)105輸入為15，所以此時求出的數(shù)與實際的數(shù)的差是15－105＝－90，因此平均數(shù)之間的差是－90÷30＝－3.2．已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞bD．c＞b＞a【解析】選D.由題意得a＝eq\f(1,10)(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq\f(157,10)＝15.7，中位數(shù)為16，眾數(shù)為18，則b＝16，c＝18，所以c＞b＞a.3．設(shè)矩形的長為a，寬為b，其比滿足b∶a＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形．黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計中．下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取兩個批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根據(jù)上述兩個樣本來估計兩個批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確的結(jié)論是()A．甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近B．乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近C．兩個批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同D．兩個批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定【解析】選A.計算可得甲批次樣本的平均數(shù)為0.617，乙批次樣本的平均數(shù)為0.613，由此估計兩個批次的總體平均數(shù)分別為0.617，0.613，則甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近．4．某排球隊12名隊員的年齡如表所示：年齡/歲1819202122人數(shù)14322則該隊隊員年齡的眾數(shù)與中位數(shù)分別是()A．19歲，19歲B．19歲，20歲C．20歲，20歲D．20歲，22歲【解析】選B.由眾數(shù)的定義可知，數(shù)據(jù)19出現(xiàn)的次數(shù)最多，達(dá)4次，12個數(shù)據(jù)中，由小到大排列后第6個與第7個位置上的數(shù)都是20，這兩個數(shù)的平均數(shù)也是20.所以該隊隊員年齡的眾數(shù)與中位數(shù)分別是19歲，20歲．5．為了了解某校九年級1600名學(xué)生的體能情況，隨機(jī)抽查了部分學(xué)生，測試1分鐘仰臥起坐的成績(次數(shù))，將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯誤的是()A．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為26.25B．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為27.5C．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過30次的約有320人D．該校九年級學(xué)生1分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于20次的約有32人【解析】選D.頻率分布直方圖中，中位數(shù)是頻率為0.5的分界點的橫坐標(biāo)，由頻率分布直方圖可知前2組的頻率和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.02＋0.06))×5＝0.4，因此中位數(shù)出現(xiàn)在第3組．設(shè)中位數(shù)為x，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－25))×0.08＝0.1，x＝26.25，所以A正確；眾數(shù)是指樣本中出現(xiàn)頻率最高的數(shù)，在頻率分布直方圖中通常取縱坐標(biāo)最高的一組區(qū)間的中點，所以眾數(shù)為eq\f(25＋30,2)＝27.5，所以B正確；仰臥起坐次數(shù)超過30的頻率為0.04×5＝0.2，所以頻數(shù)為1600×0.2＝320人，所以C正確；仰臥起坐的次數(shù)少于20次的人數(shù)約有0.02×5×1600＝160，所以D錯誤．二、多選題6．已知一組數(shù)據(jù)：12，5，9，5，14，則下列說法正確的是()A．平均數(shù)是9 B．中位數(shù)是9C．眾數(shù)是5 D．均值為5【解析】選ABC.數(shù)據(jù)描述類的題目，主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的計算，題目數(shù)據(jù)比較簡單，先從簡單的眾數(shù)入手，C是正確的，其次從小到大排列：5，5，9，12，14，B是正確的，再算平均數(shù)，所以A也正確，均值實際上是平均數(shù)，所以選項D錯誤．7．小華所在的年級一班共有50名學(xué)生，一次體檢測量了全班學(xué)生的身高，由此求得該班學(xué)生的平均身高是1.65米，而小華的身高是1.66米，則下列說法正確的是()A．1.65米是該班學(xué)生身高的平均水平B．班上比小華高的學(xué)生人數(shù)不會超過25人C．這組身高數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定是1.65米D．這組身高數(shù)據(jù)的眾數(shù)不一定是1.65米【解析】選ACD.本題考查了一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)的概念及三者的求法，由平均數(shù)所反映的意義知A選項正確，由中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系確定C選項正確，由眾數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系確定D選項正確，由于平均數(shù)受一組數(shù)據(jù)中的極端值的影響，故B選項錯誤．三、填空題8．已知一組數(shù)據(jù)4，6，5，8，7，6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________．【解析】eq\f(4＋6＋5＋8＋7＋6,6)＝6.答案：69．某商場一天中售出某品牌運動鞋20雙，其中各種尺碼鞋的銷量如表所示：鞋的尺碼(單位:cm)23.52424.52525.526銷售量(單位:雙)344711則這20雙鞋的尺碼組成的一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)是________，中位數(shù)是________，在眾數(shù)和中位數(shù)中，商場最感興趣的是________．【解析】因為這組數(shù)據(jù)中，25出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是25；將該組數(shù)據(jù)從小到大排列后，處于中間位置的是第10個數(shù)和第11個數(shù)，均為24.5，故該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是24.5；在眾數(shù)和中位數(shù)中，商場最感興趣的是眾數(shù)．答案：2524.5眾數(shù)四、解答題10．某公司銷售部有銷售人員15人，為了制定某種商品的月銷售定額，統(tǒng)計了這15人某月的銷售量如表：銷售量1800510250210150120人數(shù)113532(1)求這15位銷售人員該月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)；(2)假設(shè)銷售部負(fù)責(zé)人把每位銷售人員的月銷售定額定為320件，你認(rèn)為是否合理，為什么？如果不合理，請你制定一個較合理的銷售定額．【解析】(1)平均數(shù)為eq\f(1,15)×(1800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320，中位數(shù)為210，眾數(shù)為210.(2)不合理．因為15人中有13人的銷售量達(dá)不到320件，也就是說，320雖是這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，但它卻不能反映銷售人員的一般水平．銷售定額為210件合理些，這是由于210既是中位數(shù)，又是眾數(shù)，是絕大部分人都能達(dá)到的銷售量．11．某校欲招聘一名數(shù)學(xué)教師，學(xué)校對甲、乙、丙三位候選人進(jìn)行了三項能力測試，各項測試成績滿分均為100分，根據(jù)結(jié)果擇優(yōu)錄用．三位候選人的各項測試成績?nèi)绫硭荆簻y試項目測試成績甲乙丙教學(xué)能力857373科研能力707165組織能力647284(1)如果根據(jù)三項測試的平均成績，誰將被錄用，說明理由；(2)根據(jù)實際需要，學(xué)校將教學(xué)、科研和組織三項能力測試得分按5∶3∶2的比例確定每人的成績，誰將被錄用，說明理由．【解析】(1)甲的平均成績?yōu)?85＋70＋64)÷3＝73，乙的平均成績?yōu)?73＋71＋72)÷3＝72，丙的平均成績?yōu)?73＋65＋84)÷3＝74，所以候選人丙將被錄用．(2)甲的測試成績?yōu)椋?85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，乙的測試成績?yōu)椋?73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，丙的測試成績?yōu)椋?73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，所以候選人甲將被錄用．一、選擇題1．為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分(十分制)如圖所示，假設(shè)得分的中位數(shù)為me，眾數(shù)為mo，平均數(shù)為eq\x\to(x)，則()A．me＝mo＝eq\x\to(x) B．me＝mo<eq\x\to(x)C．me<mo<eq\x\to(x) D．mo<me<eq\x\to(x)【解析】選D.由題圖可知，30名學(xué)生的得分情況依次為：2個人得3分，3個人得4分，10個人得5分，6個人得6分，3個人得7分，2個人得8分，2個人得9分，2個人得10分．中位數(shù)為第15，16個數(shù)(分別為5，6)的平均數(shù)，即me＝5.5，5出現(xiàn)的次數(shù)最多，故mo＝5，eq\x\to(x)＝eq\f(1,30)×[2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10]≈5.97.于是得mo<me<eq\x\to(x).2．某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，則該小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A．85分、85分、85分B．87分、85分、86分C．87分、85分、85分D．87分、85分、90分【解析】選C.由題意知，該學(xué)習(xí)小組共有10人，因此眾數(shù)和中位數(shù)都是85分，平均數(shù)為eq\f(100＋95＋2×90＋4×85＋80＋75,10)＝87分．3．(多選)下列各選項不正確的是()A．中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)B．眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，給定一組數(shù)據(jù)，它可有多個眾數(shù)，也可能沒有眾數(shù)C．一個樣本的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)都是唯一的D．若改變一組數(shù)據(jù)中其中的一個數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會發(fā)生改變【解析】選ACD.A.由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)與一組數(shù)據(jù)個數(shù)的奇偶性有關(guān)．B．由眾數(shù)的定義可知，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．在數(shù)據(jù)1，1，1，2，2，2，3中就有兩個眾數(shù)1和2；在數(shù)據(jù)1，3，4，6，8，2中就沒有眾數(shù)．C．由眾數(shù)的定義可知，一個樣本的眾數(shù)可能有一個，也可能有多個．D．若改變一組數(shù)據(jù)中的一個數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定會改變，而中位數(shù)與眾數(shù)可能不變．二、填空題4．已知一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為－1，0，4，x，6，15，且這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，那么這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________，平均數(shù)是________．【解析】因為中位數(shù)為5，所以eq\f(4＋x,2)＝5，即x＝6.所以該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為6，平均數(shù)為eq\f(－1＋0＋4＋6＋6＋15,6)＝5.答案：655．某高校有甲、乙兩個數(shù)學(xué)建模興趣班．其中甲班有40人，乙班有50人．現(xiàn)分析兩個班的一次考試成績，算得甲班的平均成績是90分，乙班的平均成績是81分，則該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績是________分．【解析】由題意得，該校數(shù)學(xué)建模興趣班的平均成績是eq\f(40×90＋50×81,90)＝85(分).答案：856．某住宅小區(qū)6月份隨機(jī)抽查了該小區(qū)6天的用水量(單位：噸)，結(jié)果分別是30，34，32，37，28，31，那么，請你估計該小區(qū)6月份(30天)的總用水量約是________噸．【解析】(30＋34＋…＋31)÷6＝32(噸)，所以估計該小區(qū)6月份(30天)的總用水量約是32×30＝960(噸).答案：9607．從甲、乙、丙三個廠家生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品中分別抽取8件產(chǎn)品，對其使用壽命(單位：年)進(jìn)行追蹤調(diào)查的結(jié)果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.