全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)?。?/h1>

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2017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)I）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.

1.（5分）已知集合A={x|xV2},B={x|3-2x>0},則（）

A.AAB={X|X<2}B.AAB=0C.AUB={X|X<3}D.AUB=R

22

2.（5分）為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田，這n塊地的畝

產(chǎn)量（單位：kg）分別是Xi，X2,…，xn,下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種

農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（）

A.Xl，X2,Xn的平均數(shù)B.Xl，X2,...?Xn的標(biāo)準(zhǔn)差

C.XI，X2，…，Xn的最大值D.XI，X2，…，Xn的中位數(shù)

3.（5分）下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是（）

A.i（1+i）2B.i23（1-i）C.（1+i）2D.i（1+i）

4.（5分）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓

中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一

點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）

A.LB.2Lc.1.D.—

4824

2

5.（5分）已知F是雙曲線C：x2-2_=l的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x

3

軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,3）.則4APF的面積為（）

A.1B.1C.2D.3

3232

6.（5分）如圖，在下列四個(gè)正方體中，A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M,N,Q

為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（）

'x+3y43

7.（5分）設(shè)x,y滿足約束條件<，則z=x+y的最大值為（）

y）0

A.0B.1C.2D.3

8.（5分）函數(shù)丫=旦旦的部分圖象大致為（）

1-cosx

A.f（x）在（0,2）單調(diào)遞增

B.f（x）在（0,2）單調(diào)遞減

C.y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=l對稱

D.y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）對稱

10.（5分）如圖程序框圖是為了求出滿足3n-2n>1000的最小偶數(shù)n,那么在

和兩個(gè)空白框中，可以分別填入（）

A.人＞1000和11=(1+1B.人＞1000和世"2

C.AW1000和n=n+lD.AW1000和n=n+2

11.（5分）^ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinB+sinA（sinC

-cosC）=0,a=2,c=\/2?貝IC=（）

A.—B.—C.—D.—

12643

22

12.（5分）設(shè)A,B是橢圓C：豈_+-=l長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿

3ID

足NAMB=120。，則m的取值范圍是（）

A.（0,1]U[9,+8）B.（0,立]U[9,+8）C.（0,1]U[4,+）

D.（0,通U[4,+8）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）已知向量a=（-1,2）,b=（m,1）,若向量a+b與a垂直,則m=.

14.（5分）曲線y=x2+L在點(diǎn)（1,2）處的切線方程為.

X

15.（5分）已知aS（0,—tana=2,則cos（a--—）=.

24

16.（5分）已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球。的球面上，SC是球。的直

徑，若平面SCA_L平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,則球。

的表面積為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程.（一）必

考題

17.（12分）記Sn為等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和.已知Sz=2,S3=-6.

（1）求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）求Sn,并判斷Sml，Sn，Sn，2是否能成等差數(shù)列.

18.（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB〃CD,且NBAP=NCDP=90°.

（1）證明：平面PAB_L平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC,NAPD=90。，且四棱錐P-ABCD的體積為求該四棱

3

鍍的側(cè)面積.

19.（12分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔30min從

該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：cm）.下面是檢驗(yàn)員在一

天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸

抽取次序910111213141516

零件尺寸

經(jīng)計(jì)算得-喉1￡16廉F~產(chǎn)16與)叫n空16木2_許2~噂［16產(chǎn)&5產(chǎn)乏16

(Xi-Wi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i=l,2,...,16.

(1)求(為，i)(i=l,2,16)的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生

產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小(若卜|<

(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(彳-3s,x+3s)之外的零件，就認(rèn)

為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)

行檢查.

(i)從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？

(ii)在(x-3s,x+

n__

￡(xj^-x)(yi-y)

附：樣本(xi,yi)(i=l,2,.??，n)的相關(guān)系數(shù)二了、〔1.----,

歸(x")2也(一)2

VO.008%

2

20.(12分)設(shè)A,B為曲線C：y=三上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4.

4

(1)求直線AB的斜率；

(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，(:在M處的切線與直線AB平行，且AMLBM,求

直線AB的方程.

21.(12分)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)三0,求a的取值范圍.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，

則按所做的第一題計(jì)分。［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講］

22.(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為］X=3COS8(0為參數(shù)),

ly=sin9

直線I的參數(shù)方程為1x=a+4t(t為參數(shù)).

ly=l-t

（1）若a=-l,求C與I的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若C上的點(diǎn)到I距離的最大值為行，求a.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)f（x）=-x2+ax+4,g（x）=|x+l|+|x-11.

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求不等式f（x）2g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）2g（x）的解集包含［-1,1］,求a的取值范圍.

2017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)I）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.

1.（5分）（2017?新課標(biāo)工）已知集合A={x|xV2},B={x|3-2x>0），則（）

A.AnB={x|x<2}B.ACB=0C.AUB={x|x<D.AUB=R

22

【分析】解不等式求出集合B,結(jié)合集合交集和并集的定義，可得結(jié)論.

【解答】解：??,集合A={x|xV2},B={x|3-2x>0}={x|x<l）,

2

/.AAB={X|X<2},故A正確,B錯(cuò)誤;

2

AUB={x||x<2},故C,D錯(cuò)誤；

故選：A

2.（5分）（2017?新課標(biāo)I）為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)

田，這n塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別是X1，X2，…，Xn,下面給出的指標(biāo)中

可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（）

A.Xl,X2,…，Xn的平均數(shù)B.Xl,X2,…，Xn的標(biāo)準(zhǔn)差

C.Xi，X2>...?Xn的最大值D.Xi,X2，...，Xn的中位數(shù)

【分析】利用平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、最大值、中位數(shù)的定義和意義直接求解.

【解答】解：在A中，平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)，它是反映數(shù)據(jù)集

中趨勢的一項(xiàng)指標(biāo)，

故A不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度；

在B中，標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個(gè)數(shù)據(jù)集的離散程度，故B可以用來評估這種農(nóng)作物

畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度；

在C中，最大值是一組數(shù)據(jù)最大的量，故C不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)

定程度；

在D中，中位數(shù)將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分，用來代表一組數(shù)據(jù)的“中等水

平”，

故D不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度.

故選：B.

3.（5分）（2017?新課標(biāo)I）下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是（）

A.i（1+i）2B.i2（1-i）C.（1+i）2D.i（1+i）

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義即可判斷出結(jié)論.

【解答】解:A.i（1+i）2=i?2i=-2,是實(shí)數(shù).

B.i2（1-i）=-1+i,不是純虛數(shù).

C.（1+i）2=2i為純虛數(shù).

D.i（1+i）=i-1不是純虛數(shù).

故選：C.

4.（5分）（2017?新課標(biāo)I）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極

圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正

方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）

A.1.8.—C.1.D.—

4824

【分析】根據(jù)圖象的對稱性求出黑色圖形的面積，結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行

求解即可.

【解答】解：根據(jù)圖象的對稱性知，黑色部分為圓面積的一半，設(shè)圓的半徑為1,

則正方形的邊長為2,

則黑色部分的面積s=2L,

2

71

則對應(yīng)概率P=-2_=2L,

48

故選：B

2

5.（5分）（2017?新課標(biāo)I）已知F是雙曲線C：X?-?_=1的右焦點(diǎn)，P是C上

3

一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1,3）.則4APF的面積為（)

A.1B.1C.2D.工

3232

【分析】由題意求得雙曲線的右焦點(diǎn)F(2,0),由PF與x軸垂直，代入即可求

得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得4APF的面積.

2

【解答】解：由雙曲線C：x2-二=1的右焦點(diǎn)F(2,0),

3

PF與x軸垂直，設(shè)(2,y),y>0,則y=3,

則P(2,3),

AAPlPF,貝WAPI=1,IPFI=3,

...△APF的面積S=LxIAPIX|PFI=W,

22

故選D.

6.(5分)(2017?新課標(biāo)I)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A,B為正方體的兩

個(gè)頂點(diǎn)，M,N,Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ

【分析】利用線面平行判定定理可知B、C、D均不滿足題意，從而可得答案.

【解答】解：對于選項(xiàng)B,由于AB〃MQ,結(jié)合線面平行判定定理可知B不滿足

題意；

對于選項(xiàng)C,由于AB〃MQ,結(jié)合線面平行判定定理可知C不滿足題意；

對于選項(xiàng)D,由于AB〃NQ,結(jié)合線面平行判定定理可知D不滿足題意；

所以選項(xiàng)A滿足題意，

故選：A.

'x+3y43

7.（5分）（2017?新課標(biāo)I）設(shè)x,y滿足約束條件.，則z=x+y的最大

y》0

值為（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解目標(biāo)函數(shù)的最大值

即可.

'x+3y43

【解答】解：x,y滿足約束條件卜的可行域如圖：

y>0

,則2=*+丫經(jīng)過可行域的A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，

由1尸°解得A（3,0）,

（x+3y=3

所以z=x+y的最大值為：3.

故選：D.

8.（5分）（2017?新課標(biāo)I）函數(shù)y=sin2x的部分圖象大致為（）

1-cosx

【分析】化簡函數(shù)的解析式，然后判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)，利用特殊值判斷

即可.

2cos萬cosx

［解答］解：函數(shù)y=sin2x=——a——，

-egsin1

可知函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)B,

返

當(dāng)X=2L時(shí)，f(三)排除A,

33-

2

x=n時(shí),f(n)=0,排除D.

故選：C.

9.(5分)(2017?新課標(biāo)I)已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x),則()

A.f(x)在(0,2)單調(diào)遞增

B.f(x)在(0,2)單調(diào)遞減

C.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱

D.y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱

【分析】由已知中函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x),可得f(x)=f(2-x),進(jìn)而可得

函數(shù)圖象的對稱性.

【解答】解：???函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x),

.*.f(2-x)=ln(2-x)+lnx,

即f(x)=f(2-x),

即y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

故選：C.

10.(5分)(2017?新課標(biāo)工)如圖程序框圖是為了求出滿足3“-2n>1000的最

小偶數(shù)n,那么在和I--------1兩個(gè)空白框中，可以分別填入()

A.人＞1000和11=[1+1B.人＞1000和11="2

C.AW1000和n=n+lD.人近1000和115+2

【分析】通過要求A>1000時(shí)輸出且框圖中在"否"時(shí)輸出確定""內(nèi)不能

輸入"A>1000",進(jìn)而通過偶數(shù)的特征確定n=n+2.

【解答】解：因?yàn)橐驛>1000時(shí)輸出，且框圖中在"否"時(shí)輸出,

所以"”內(nèi)不能輸入"A>1000”,

又要求n為偶數(shù)，且n的初始值為0,

所以"-----1"中n依次加2可保證其為偶數(shù)，

所以D選項(xiàng)滿足要求，

故選：D.

11.(5分)(2017?新課標(biāo)工)^ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已

知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=我,則C=()

A.2LB.2Lc._LD.2L

12643

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計(jì)算即可

【解答】解：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

VsinB+sinA(sinC-cosC)=0,

sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,

cosAsinC+sinAsinC=0,

VsinC^O,

/.cosA=-sinA,

/.tanA=-1,

V0<A<n,

.?.A="，

4

由正弦定理可得1匚=/_,

sinCsinA

...sgCsinA,

a

Va=2,c=

...

a22

Va>c,

6

故選:B.

22

12.(5分)(2017?新課標(biāo)I)設(shè)A,B是橢圓C：工_+2_=1長軸的兩個(gè)端點(diǎn),

3m

若C上存在點(diǎn)M滿足/AMB=120。，則m的取值范圍是()

A.(0,1]U[9,+8)B.(0,%]U[9,+8)C.(0,1]U[4,+00)

D.(0,迎U[4,+8)

【分析】分類討論，由要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿足NAMB=120。，NAMB2120。,

NAMO260。，當(dāng)假設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，tanNAMC)q^2tan60。，當(dāng)即可求

得橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m>3,tanNAMO=2^2tan6(T=、/^,即可求得m的

V3

取值范圍.

【解答】解：假設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則0VmV3時(shí)，

假設(shè)M位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，ZAMB取最大值，要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿足/

AMB=120°,

NAMB2120°,NAMO260°,tanNAMO=^2tan60°=b，

解得：OVmWl；

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m>3,

假設(shè)M位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，NAMB取最大值，要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿足N

AMB=120°,

NAMB2120°,NAMO260°,tanNAMO=^2tan60°=?,解得：m29,

V3

，m的取值范圍是(0,1]U[9,+8)

故選A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)(2017?新課標(biāo)I)已知向量W=(-1，2),b=(m,1),若向量W+E與

a垂直，則m=7.

【分析】利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算法則先求出Z+E，再由向量W+E與W垂直，利用

向量垂直的條件能求出m的值.

【解答】解：:向量a=(-1,2),b=(m,1),

a+b=(-1+m,3),

,向量a+b與a垂直，

(a+b)?a=(-1+m)X(-1)+3X2=0,

解得m=7.

故答案為：7.

14.(5分)(2017?新課標(biāo)I)曲線y=x2+L在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為X-

x

y+l=0.

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求解切線方程即可.

【解答】解：曲線y=x2+二可得『=2x-1_,

xx2

切線的斜率為：k=2-1=1.

切線方程為：y-2=x-1,即：x-y+l=0.

故答案為：x-y+l=0.

15.(5分)(2017?新課標(biāo)I)已知aW(0,―),tana=2,則cos(a-2L)=

_24

3VTO

10一,

【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出sina=2/￡cosa=Y￡再根據(jù)兩角差

55

的余弦公式即可求出.

【解答】解：(0,—),tana=2,

2

.*.sina=2cosa,

Vsin2a+cos2a=l,

解得sina=^,cosa=2^A,

55______

/.cos(a-2L)=cosacos—+sinasin—XX^.=—y1^.,

444525210

故答案為：色叵

10

16.(5分)(2017?新課標(biāo)工)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球0的球面上，

SC是球。的直徑，若平面SCAJ_平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體

積為9,則球。的表面積為36n.

【分析】判斷三棱錐的形狀，利用幾何體的體積，求解球的半徑，然后求解球的

表面積.

【解答】解：三棱錐s-ABC的所有頂點(diǎn)都在球0的球面上，SC是球。的直徑,

若平面SCA，平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S-ABC的體積為9,

可知三角形SBC與三角形SAC都是等腰直角三角形，設(shè)球的半徑為r,

可得X2rXrXr=9,解得r=3?

O4

球0的表面積為：4nr2=36n.

故答案為:367T.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算過程.(一)必

考題

17.(12分)(2017?新課標(biāo)工)記Sn為等比數(shù)列數(shù)n｝的前n項(xiàng)和.已知S2=2,S3=

-6.

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)求Sn,并判斷Sn+l,Sn,Sn.2是否能成等差數(shù)列.

【分析】(1)由題意可知a3=S3-S?=-6-2=-8,a尸金3=二&，a2=—由

Q2Q2qq

ai+a2=2,列方程即可求得q及ai，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即可求得｛aj的通項(xiàng)

公式；

(2)由(1)可知.利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得Sn，分別求得Sml，

Sn-2,顯然Sn+l+S>=2Sn,則Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列.

【解答】解:(1)設(shè)等比數(shù)列｛an｝首項(xiàng)為ai，公比為q,

貝Ua3=S3-Sz=-6-2=-8,貝Uai=——32=——=,

q2q2qq

由ai+a2=2,二+R=2,整理得：q2+4q+4=0,解得:q=-2,

q2。

n1=n

則ai=-2,an=(-2)(-2)(-2),

J｛aj的通項(xiàng)公式an=(-2)n；

(2)由(1)可知：Sn=a](1q)=N[*2]n]=_l(2+(-2)n*i),

1-ql-(-2)3

則Sn+1=-—(2+(-2)n2),Sn+2="—(2+(-2)n3),

33

由Sn+i+Sn+2=-—(2+(-2)n2)--(2+(-2)n3)=-—[4+(-2)X(-2)

333

n+1+(-2)2義+(-2)也],

=--[4+2(-2)nl]=2X[--L(2+(-2)0I)],

33

=2Sn，

即Sn+l+Sn+2=2Sn，

...Srrl，Sn，Sn+2成等差數(shù)列.

18.(12分)(2017?新課標(biāo)I)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB〃CD,且NBAP二

ZCDP=90°.

(1)證明：平面PAB,平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,且四棱錐P-ABCD的體積為&,求該四棱

3

錐的側(cè)面積.

【分析】(1)推導(dǎo)出ABJ_PA,CD1PD,從而ABLPD,進(jìn)而ABJ_平面PAD,由

此能證明平面PAB,平面PAD.

(2)設(shè)PA=PD=AB=DC=a，取AD中點(diǎn)O,連結(jié)P0,則P0,底面ABCD,且AD=&a,

P0=^la，由四棱錐P-ABCD的體積為反,求出a=2,由此能求出該四棱錐的側(cè)

233

面積.

【解答】證明：(1)?在四棱錐P-ABCD中，ZBAP=ZCDP=90°,

，AB_LPA,CD±PD,

又AB〃CD,/.AB±PD,

VPAnPD=P,，AB，平面PAD,

?.?ABu平面PAB,，平面PAB,平面PAD.

解：(2)設(shè)PA=PD=AB=DC=a,取AD中點(diǎn)0,連結(jié)P。，

PA=PD=AB=DC,NAPD=90°,平面PAB_L平面PAD,

，P0J_底面ABCD,且AD=Ja2+a2=&a,P0=^a，

四棱錐P-ABCD的體積為

3

，VPABCDQXS四邊物皿XPO

==3=8>

^-XABXADXP0=^-XaxV^aX^a^-a

oo乙o

解得a=2,；.PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=2&,P0=血,

PB=PC=J4+4=2*歷

該四棱錐的側(cè)面積：

SffliJ=SAPAD+SAPAB+SAPDC+SAPBC

=yXPAXPD+yXPAXAB+yXPDXDC+yXBCX

=VX2X2+VX2X2+VX2X2+VX2V2><V8Z2

=6+2j^.

19.（12分）（2017?新課標(biāo)I）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢

驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：cm）.下

面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸:

抽取次序12345678

零件尺寸||

抽取次序910111213141516

零件尺寸

經(jīng)計(jì)算_得1金16皿R熱16產(chǎn)生IZ年16.而-也116尸門16

（x1G2_2）.5）2

（x「W為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i=l,2,...?16.

（1）求（X"i）（i=l,2,16）的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生

產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。ㄈ鬵V

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在（W-3s,x+3s）之外的零件，就認(rèn)

為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)

行檢查.

（i）從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查?

（ii）在（x-3s,x+

n__

￡6-x）（y「y）

i=l

附：樣本（xi，yi）（i=l,2,...?n）的相關(guān)系數(shù)

VO.008%

【分析】（1）代入數(shù)據(jù)計(jì)算，比較m

（2）（i）計(jì)算合格零件尺寸范圍，得出結(jié)論;

（ii）代入公式計(jì)算即可.

16_

￡(x「x)(i-8.5)

i=l________-2.78

【解答】解:==-7P6~0

￡(x「x)2j￡(i-8.5)20.212XV16X18.439

i=lVi=l

?.可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或

變小.

（2）（i）工，

顯然第13號零件尺寸不在此范圍之內(nèi)，

二需要對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

（ii）剔除離群值后，剩下的數(shù)據(jù)平均值為J-Q6X997-922）

15

16

￡x2=16X2+16X2

i=l1

???剔除離群值后樣本方差為」」-15X2

15

剔除離群值后樣本標(biāo)準(zhǔn)差為疝而心

2

20.（12分）（2017?新課標(biāo)I）設(shè)A,B為曲線C：y二三-上兩點(diǎn)，A與B的橫坐

4

標(biāo)之和為4.

（1）求直線AB的斜率；

（2）設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM_LBM,求

直線AB的方程.

22

【分析】設(shè)&_）,上_）,運(yùn)用直線的斜率公式，結(jié)合條件,

（1）A（xi，B（x2,

44

即可得到所求；

22

（2）設(shè)M（m,H_）,求出丫=工_的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線平行的條

44

件：斜率相等，可得m,即有M的坐標(biāo)，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為

2

-1,可得Xi,X2的關(guān)系式，再由直線AB：y=x+t與y=2_聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，

即可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直線方程.

222

【解答】解：(1)設(shè)A(xi，&_),B(x2,為曲線C：丫=2_上兩點(diǎn),

444

則直線AB的斜率為k=—----------=工(X1+X2)=—X4=l；

xJ-X244

2

(2)設(shè)直線AB的方程為y=x+t,代入曲線C：沖^-,

可得x2-4x-4t=0,即有Xi+X2=4,XIX2=-4t,

2

再由y=忙的導(dǎo)數(shù)為『Jx,

42

21

設(shè)M(m,2)，可得M處切線的斜率為Lm,

42

由C在M處的切線與直線AB平行，可得Lm=l,

2

解得m=2,即M(2,1),

由AM_LBM可得，kAMekBM=-1,

22

町x2

—1—1

即為——?_J——=-1,

x[-2x2-2

化為X1X2+2(X1+X2)+20=0,

即為-4t+8+20=0,

解得t=7.

則直線AB的方程為y=x+7.

21.(12分)(2017?新課標(biāo)工)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)20,求a的取值范圍.

【分析】(1)先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可判斷,

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，分別求出函數(shù)的最小值，即可求出a的范圍.

【解答】解：(1)f(x)=ex(ex-a)-a2x,

/.f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a),

①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)>0恒成立，

Af(x)在R上單調(diào)遞增，

②當(dāng)a>0時(shí)，2ex+a>0,令f'(x)=0,解得x=lna,

當(dāng)xVIna時(shí)，f(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>lna時(shí)，f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

③當(dāng)a<0時(shí),ex-a>0,令f'(x)=0,解得x=ln(-且)，

2

當(dāng)x〈ln(-—)時(shí)，fz(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

2

當(dāng)x>ln(-A)時(shí)，f(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

2

綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(-8,|na)上單調(diào)遞減，在(Ina,+°°)上單調(diào)遞增，

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(-8,|n(-且))上單調(diào)遞減，在(In(-2)，+°°)上

22

單調(diào)遞增，

(2)①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=e2x>0恒成立，

2

②當(dāng)a>0時(shí)，由(1)可得f(x)min=f(Ina)="alna^0,

InaWO,

/.0<a^l,

③當(dāng)a<0時(shí)，由(1)可得f(x)min=f(In(-2))=2s_-a2ln(-2)20,

242

Ain(-A)W”

24

3_

：.-2eT<a<0,

2

綜上所述a的取值范圍為［-2e］，1］

(-)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，

則按所做的第一題計(jì)分。［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講］

22.(10分)(2017?新課標(biāo)I)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

產(chǎn)3cos8(Q為參數(shù))，直線?的參數(shù)方程為［x=a+4t(1為參數(shù)).

(y=sin9ly=l-t

(1)若a=-l,求C與I的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若C上的點(diǎn)到I距離的最大值為了，求a.

【分析】(1)將曲線C的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，直線I的參數(shù)方程化為一般方

程，聯(lián)立兩方程可以求得焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)曲線C上的點(diǎn)可以表示成P(3cos0,sinO),0W[O,2R),運(yùn)用點(diǎn)到直線距

離公式可以表示出P到直線I的距