五年(2018-2022)全國(guó)高考數(shù)學(xué)真題分類匯編(全國(guó)卷新高考卷北京天津卷等)專題5導(dǎo)數(shù)解答題(解析版)

2018-2022五年全國(guó)各省份高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

專題5導(dǎo)數(shù)解答題

一、解答題

1.(2022高考北京卷?第20題)已知函數(shù)f(x)=e'ln(l+x).

(1)求曲線y=f{x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)設(shè)g(x)=/'(x),討論函數(shù)g(x)在［0,+8)上的單調(diào)性；

(3)證明：對(duì)任意5,fG(0,4-00),有/1($+/)>f(s)+/?).

【答案】解析:(1)因?yàn)?(x)=e1n(l+x),所以/(0)=0,

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

又/'(x)=e'(ln(l+x)+J-),

???切線斜率k=fr(0)=1

???切線方程為：了=%

121

⑵因?yàn)間(x)=r(x)=e*(ln(l+x)+——),所以g'(x)=e'(ln(l+》)+：；----------五),

1+x1+x(1+%)

令〃(x)=ln(l+x)+--1,則l(x)=-------二+—二=X+\>0,

1+x(1+x)21+龍(1+x)2(1+尤甘(1+x)3

Ah(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增，//(x)2〃(0)=1>0,g，(x)>0在［0,+8)上恒成立，

.?.g(x)［0,+8)上單調(diào)遞增.

(3)原不等式等價(jià)于f(s+0一/(5)>/⑺-/(0),

令m(x)=/(%+，)-/(x),(x,t>0),

即證，〃(無(wú))>加(0),

*.*m(x)=/(x+Z)-/(x)=ex+,ln(l+x+r)-evln(l+x),

x+,v

mf(x)=ev+,ln(l+x+Z)H----e-----erln(l+x)----e--=g(x+f)-g(x),

1+x+f1+x

由(2)知g(x)=/'(x)=e*(ln(l+x)+E—)在［0,+oo)上單調(diào)遞增，g(x+，)>g(x),

Am(x)>0

.?.皿x)在(O,+8)上單調(diào)遞增，又因?yàn)閤/>0,

m(x)>加(0),所以命題得證.

【題目欄目】導(dǎo)數(shù)'導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用'導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性'導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系

【題目來(lái)源】2022高考北京卷?第20題

2.(2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題?第22題)設(shè)函數(shù)f(X)=—+\nx(x>0).

lx

(1)求/5)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知a,beR,曲線y=/(x)上不同的三點(diǎn)(百,/(玉)),(々，/(工2))，(％3，/(工3))處的切線都經(jīng)過點(diǎn)

(a,b).證明：

2《一小

⑴若&>e,則0<—f(a)<—

2e-a112

(ii)若0va<e,$v々<%3，則—+//<-1---<-----

e6e%x3a6e-

(注：e=2.71828???是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

【答案】解析：(i)r(x)=—^+1=^^，

當(dāng)0cx/“〈。：當(dāng)犬〉1,/?x)>0,

故/(x)的減區(qū)間為0,]/(X)的增區(qū)間為5,+8

12/

(2)(i)因?yàn)檫^(。1)有三條不同的切線，設(shè)切點(diǎn)為(冷/(七))7=1,2,3,

故“動(dòng)一方=/'&)&一^，故方程"X)—8=r(x)(x—a)有3個(gè)不同的根,

該方程可整理為

當(dāng)0<x<e或x>a時(shí)，g,x)<0；當(dāng)e<x<a時(shí)，g,x)>0,

故g(x)在((),e),(a,M)上為減函數(shù)，在(e,。)上為增函數(shù)，

因?yàn)間(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，故g(e)<0且g(a)>0,

故(------lne+/?<0_@.|---------------^-r\(a-a]---lna+b>01

(e2e2f72e{a2”>2a

整理得到：入<色+1且〃>—4-ln6T=f(ci\,

2e2a,)

此時(shí)T'(a)-盛-1<￡+l-信+ln“。13e]

—+—=-------Ina,

2e222。

3ee-2a

設(shè)〃(Q)=-------Ina,貝守(°，

22a

3e

故4(a)為(e,+8)上的減函數(shù)，---——lne=0,

i^0<h-f(a}<-\--l

2\e

(ii)當(dāng)0<〃<e時(shí)，同(i)中討論可得：

故g(x)在(O,a),(e,M)上為減函數(shù)，在(a,e)上為增函數(shù),

不妨設(shè)<x2<x3,則0<%<av9<e<W，

因?yàn)間(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，故g(a)<0且g(e)>0,

ee

故e-a)-----lne+〃>0且a\-----In?+Z?<0,

72e72a

整理得到：—+1<Z?<—+lna,

2e2e

因?yàn)榘?lt;/<九3,故0<玉<a<々<e<忍，

「/、.a+eea,,

又g(x)=1------2亍—lnx+Z?,

設(shè)1=8,-=mG(0,l),則方程1一小+當(dāng)一1111+〃=0即為：

xe''x2x2

a+e2

t^—t+lnr+Z?=0即為一(m+l)，+‘/+lnf+Z?=0,記。=—,，2=，,3=一，貝U

e2e2%

4在，4為一（m+1），+5戶+1山+8=0有三個(gè)不同的根,

a1

設(shè)％=，=二>一>1

t3xlae

2e-。112e-aDn—ce-a2ee-a

要證：—+——<—?—<---------,即證2H-------<4+g<------------

e6e-%x2a6e”6ea6e

13-/722\-m

即證：丁

13-m21-m

即證：…一丁+%——+------<0,

m6

即證-2<（'"叫八〈⑵

m36根&+J）

而一(m+1)4+t；+InZj+Z?=0且一(加+1)方3+t；+InG+/?=0,

故In/_1鵬+式彳_g)_(/〃+])&_g)=0,

c22InL-Int.

故日一々丁

(tn-13)(/n2一加+12)

故即證：—工小心岫<

m-t336/7/(r,+G)

即證：（1+'3）山]?（加]3）（加2m+12））0

一,372

即證:(%+1加3(〃13乂m-〃2+12))0

k-l72

]1、

記夕（左）=色土D"M>l,則”（女）k------21n攵>0

1

k1(Mk)，

設(shè)〃()&-』-則/(左)=1222

A=21nA,1+=0即“(左)>0,

k

故0（左）在（L+OO）上為增函數(shù)，故夕（左）>0（根）,

曠以(4+l)lnA:(m-13)(zn2-zn+12)(m+l)lnm(m-13)(/n2-m+12)

/7I么----------+----------------------〉-------------{-----------------------，I口

k-l72m-172

(zn-l)(m-13)(/?22-m+12)

=In+--,0<//7<L

72(w+l)

(m—1)~(3m3-20m2-49m+72)(3加+3)

則加(〃2)=>0,

72/w(m+1)'72/w(m+l)'

所以切(m)在(0,1)為增函數(shù)，故以(以)<<y(l)=0,

(??7-l)(w-13)(m2一加+12)<o即(、+l)ln++(川―⑶(>―/〃+12)〉°,

故Inm+

72(/n+l)m-\72

故原不等式得證.

【題目欄目】導(dǎo)數(shù)'導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的聯(lián)系

【題目來(lái)源】2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題?第22題

3.(2022年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)(文)?第20題)已知函數(shù)/(幻=、37n*)=犬+〃，曲線產(chǎn)/@)在點(diǎn)國(guó)/&))

處的切線也是曲線y=g(x)的切線.

(1)若玉=-1,求a；

(2)求a的取值范圍.

【答案】【答案】(1)3⑵[-1,+8)

【解析】

⑴由題意知，/(-1)=-1-(-1)=0,尸(X)=3￡_I,r㈠)=3—1=2,則y=/(x)在點(diǎn)(一1,0)處的切

線方程為y=2(x+l),即y=2x+2,設(shè)該切線與g(x)切于點(diǎn)(w，g*2)),g'QQZx^Jg缶XZxLZ,

解得々=1,則g⑴=l+a=2+2,解得a=3；

⑵/-(%)=3X2-1,則>，=/。)在點(diǎn)(內(nèi)./(%))處的切線方程為丁一(M一%)=(3片-。。一毛)，整理得

y=(36-1卜-2M，設(shè)該切線與g(x)切于點(diǎn)(工2送(工2))，g'(x)=2x,則/(工2)=2々，則切線方程為

+。)=2%2(%_/)，整理得y=2X2X-%2+Q，

(3r2

,整理得〃=￥—2%3=［當(dāng)

則2；-2M*-

9c3cl1

4*/z(x)=—x4-2x3--x2+—,則hf(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+l)(x-1),令〃'(x)>0,解得一一<x<0或

4243

X>1,

令〃'(x)<0,解得或o<x<i,則x變化時(shí)，"(x),〃(x)的變化情況如下表:

X0(0,1)1(i，e)

~3卜川

"(X)—0+0—0+

5￡

h(x)-1/

27/4

則h{x}的值域?yàn)椴?,母)，故。的取值范圍為［7,+8).

【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算'導(dǎo)數(shù)的幾何意義

【題目來(lái)源】2022年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)(文)?第20題

4.(2022新高考全國(guó)II卷?第22題)已知函數(shù)/(%)=xeav-e\

(1)當(dāng)。=1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x〉0時(shí)，/(x)<-l,求。的取值范圍；

111,,

(3)設(shè)〃eN*，證明：/,+I,+???+/>ln(n+1)

Vl2+1V22+2y/n2+n

【答案】(l)〃x)的減區(qū)間為(3,0),增區(qū)間為(0,+8).

(2)a41(3)見解析

2

解析：⑴當(dāng)a=l時(shí),/(x)=(x-l)ex,則r(x)=xe\

當(dāng)尤<0時(shí)，<0,當(dāng)尤>0時(shí)，

故/(X)的減區(qū)間為(―8,0),增區(qū)間為(0,”).

(2)設(shè)九(力=疣朵一e*+l,則〃(0)=0,

又//(*)=(1+0￥)6""-6"，設(shè)g(x)=(l+ax)e"“-e*,則g,(x)=(2?+a2x)eav-e',

若a>g,則g'(O)=2a—1>0,因?yàn)間'(x)為連續(xù)不間斷函數(shù)，

故存在玉)?0,+8),使得Vx€(O,Xo),總有g(shù)?x)>0,

故g(x)在(0,不)為增函數(shù)，故g(x)>g(O)=O,故〃(x)在(0,不)為增函數(shù)，故〃(x)>〃(O)=T,

與題設(shè)矛盾.

若0<〃弓，則〃'(x)=(l+or)e“'—e，=e“Mn("m)—e',

下證：對(duì)任意x>0,總有l(wèi)n(l+x)<x成立，

1_y

證明：設(shè)S(x)=ln(l+x)—x,故S'(x)=j^--1=—<0,

故S(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，故S(x)<S(0)=0即ln(l+x)<x成立.

av+ln(1+av)vax+axxv

由上述不等式有e-e<e-e=e2a-e<0>

故〃'(x)WO總成立，即〃(x)在(0,+o))上為減函數(shù)，

所以/?(())=-1.

當(dāng)。40時(shí)，有=e<a—eA+axem<1—1+0=0,

所以〃(x)在(0,+00)上為減函數(shù)，所以/?(￡)</?(0)=-1.

綜上，aV—.

2

(3)取。=；,則Vx>0,總有雙夕_6*+1<0成立，

令一小，則f>1,『=e",x=21nt,

I-C

故2〃nr<產(chǎn)一1即21nf<―1對(duì)任意的恒成立.

t

所以對(duì)任意的〃eN*，有21nJ垣<J叵一/三，

整理得到：ln(〃+l)-ln〃<二—,

故一］4—/+…H—/>In2—In14-In3—In2+…+In(〃+1)—In/?

vl2+1V22+2\ln2+n

=ln(〃+l),故不等式成立.

【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

【題目來(lái)源】2022新高考全國(guó)II卷?第22題

5.(2022新高考全國(guó)I卷?第22題)已知函數(shù)/(>)=/-辦和g(x)=ax—lnx有相同的最小值.⑴

求。；

(2)證明：存在直線y=。，其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的

三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【答案】(1)。=1

(2)見解析

解析：(1)/口)=1一辦的定義域?yàn)??,而/'(x)=e'-a,

若aVO,則/'(x)>0,此時(shí)/a)無(wú)最小值，故a>0.

8(尤)=以一111尤的定義域?yàn)?0,+8),而g'(x)=q-，=絲」.

當(dāng)x<lna時(shí)，/'(力<0,故"》)在(7,皿。)上為減函數(shù),

當(dāng)x>lna時(shí)，f'(x)>0,故f(x)在(Ina,+0。)上為增函數(shù)，

故/(x)min=/0na)=a-alna.

當(dāng)0V工<工時(shí)-，g'(x)<0,故g。)在上為減函數(shù)，

aVa)

1(1

當(dāng)x>-時(shí)，g'(x)>0,故g(x)在|一,+00上為增函數(shù)，

a)

故gOOmin=

\aJa

因?yàn)?(x)=e"一以和g(x)=以-1nx有相同的最小值，

1a-1

故1—ln-=a—alna,整理得到——=lnaf其中〃>0,

a1+。

/、〃一1t/\21—u~—1JC

設(shè)g(a)=；------lna,a>0,則g(?)=-~^--=------7T^O-

71+a(1+a)aa(l+a)

故g(a)為(°，+8)上的減函數(shù)，而g(l)=0，

故g(a)=O的唯一解為a=l,故土0=lna的解為a=l.

綜上，a=l.

⑵由⑴可得/(x)=e，-x和g(x)=x—Inx的最小值為1—lnl=l—ln；=l.當(dāng)。>1時(shí)，考慮

e*-x=b的解的個(gè)數(shù)、x-lnx=b的解的個(gè)數(shù).

設(shè)S(x)=e'_x_8,S'(x)=e*_l,

當(dāng)x<0時(shí)，S'(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，S'(x)>0,

故S(x)在(-8,0)上為減函數(shù)，在(0,+8)上為增函數(shù),

所以5(4血=5(0)=—<0,

而S(詢=e">0,S?=e&-抄,

設(shè)“(0)=e"-其中Z?>1,則M(8)=e"-2>0,

故"?在(1,+co)上為增函數(shù)，故〃⑹>〃(l)=e-2>0,

故S?>0,故S(x)=e-x—b有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即e'—x=匕的解的個(gè)數(shù)為2.

設(shè)T(x)=x-lnx-/?,F(x)=-~,

當(dāng)0<x<l時(shí)，F(xiàn)(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)，F(xiàn)(x)>0,

故T(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,物)上為增函數(shù)，

所以T(xL=T(l)=l"<。，

而丁(「)=e”>0,T(e")=e"-2b〉0,

T(x)=x-Inx-b有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即x—lnx=8的解的個(gè)數(shù)為2.

當(dāng)b=l,由(1)討論可得x-lnx=/?、e、一x=》僅有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)方<1時(shí)，由(1)討論可得x—lnx=^、e'—x=b均無(wú)零點(diǎn)，

故若存在直線y=〃與曲線y=/(x)、y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

則方>1.

設(shè)/?(x)=e*+lnx-2x,其中x>(),故〃'(x)=e'+'-2,

X

設(shè)s(x)=e*-x-l,x〉0，則s'(x)=e*-l>0,

故s(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，故s(x)>s(O)=O即e*>x+l，

所以〃'(x)>犬+'-122-1>0,所以/z(x)在(0,+<x>)上為增函數(shù)，而以l)=e-2>(),

X

"(3)=e/-3—gve—3一餐<。，

故/z(x)在(0,+8)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)與，<1且：

當(dāng)0<x</時(shí),//(%)<0即e^-x<x-lnx即/(x)<g(x),

A

當(dāng)x>/時(shí),力(%)>0即e一%>x-lnx即f(x)>g(x),

因此若存在直線y=〃與曲線y=/(x)、y=g(x)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

故—=f(，)=g(xo)>l,

此時(shí)此一x=力有兩個(gè)不同的零點(diǎn)飛,飛(占<0<玉)),

此時(shí)x—lnx=b有兩個(gè)不同的零點(diǎn)/，工4(°<%)<1</)，

r

故?"一為=力，e°-x0=Z?,x4-lnx4-Z?=0,%o-lnxo-/?=O

所以/-0=In/即e'i=x4即一(/-。)_/?=0,

故％-A為方程e*—x=b的解，同理玉,一匕也為方程e*-x=b的解

又e*1-X1=/?可化為e*1=*+Z?即玉-ln(X1+/?)=0即(石+人)-In(玉+/?)-/?=0,

故玉+6為方程x-lnx=Z?的解，同理與+人也為方程x-lnx=Z?的解，

所以{%,%)}={%一,&-4,而Z?>1,

x-x,-b

故{n，即玉+%=2%0.

玉=x0—b

【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用\導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性\含參函數(shù)的單調(diào)性問題

【題目來(lái)源】2022新高考全國(guó)I卷?第22題

6.(2021年高考浙江卷?第22題)設(shè)a,b為實(shí)數(shù)，且函數(shù)〃x)="-fer+e2(xeR)

⑴求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意〃>2/，函數(shù)“X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍;

⑶當(dāng)a=e時(shí)，證明：對(duì)任意b>e4,函數(shù)〃x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn).馬，滿足馬>翳玉+彳.

(注：e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

【答案】⑴小時(shí)，小)在R上單調(diào)遞增；…時(shí),函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,嗨舟

單調(diào)增

區(qū)間為,+8

⑵(1日；

(3)證明見解析.

解析：⑴/(%)=ax-bx+e1,f(x)=Ina-,

①若640,則f(x)=a*lna-g0,所以/(x)在/?上單調(diào)遞增;

②若A>0,

當(dāng)時(shí)，/(x)<0J(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(log時(shí)，/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增.

綜上可得，0W0時(shí)，/(x)在R上單調(diào)遞增；

。時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為fv，log“3],單調(diào)增區(qū)間為11。8“二，+8].

\\naJvina)

⑵/(x)有2個(gè)不同零點(diǎn)o,?-云+/=0有2個(gè)不同解=*na_hx+e2=()有2個(gè)不同的解,

令，=xlna,則/一包~+《2=o=>-^-=^+e,r>0,

InaInat

記.,e'+e2..M(f-l)-e2

叱g")=—―,g⑺=-----p-------=——不----

t己一e?,"?)=e'(r-l)+e'l=e'，>0?

又/?(2)=0,所以fw(0,2)時(shí)，h(t)<0,，w(2,+oo)時(shí),h(t)>0,

則g⑺在(0,2)單調(diào)遞減，(2*)單調(diào)遞增，；.3>8(2)=62,.，“<芻,

Inae

)bo

*:b>2e—>2,:.\na<2=>\<a<e~.

6一

即實(shí)數(shù)，的取值范圍是(l,f].

⑶a=ej(x)=e"-加+/有2個(gè)不同零點(diǎn)，則/+02=法，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).由⑵可知有

x

-4-/g2+/

2個(gè)不同零點(diǎn)，記較大者為乙,較小者為占，b=~->?,

X|x2

?V2

注意到函數(shù)y=在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,內(nèi))上單調(diào)遞增,

X

/4-W+j2+2/

故玉〈2〈々，又由^----〈J知為>5,b=------<—=>^<—,

5西芭/?

22

由、Tb\nbe,e

要證%2>—%----9只曲々>岳AH------,

2e~hb

PX-+/2e*之2

人=幺工〈絲-且關(guān)于b的函數(shù)g(b)=ln〃+?在上單調(diào)遞增,

X?“2b

2*/

所以只需證x2>In------卜2T(“2>5),

只需證Ine"?-In------^-^->0,

々2涉

只需證Inx-~2~~^—In2>0,

z>24x

v—<4,只需證〃(幻=lnx--7—1112在x>5時(shí)為正，

2e”

xxx

由于h(x)=-+4xe~-4e~=-+4e~(x-l)>0f故函數(shù)力(力單調(diào)遞增，

又力(5)=ln5-，-ln2=ln1"-2>0,故h(x)=lnx-^-ln2^x>5時(shí)為正,

e2ee

從而題中的不等式得證.

【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

【題目來(lái)源】2021年高考浙江卷?第22題

7.(2021年新高考全國(guó)H卷?第22題)已知函數(shù)以x)=(x-i)ex-cix2+b.

⑴討論了(幻的單調(diào)性；

(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：有一個(gè)零點(diǎn)

2

Ie

?—<a<—,b>2a；

22

?0<a<-,b<2a.

2

【答案】已知函數(shù)/⑴4工-口/-加+人(1)討論了(%)的單調(diào)性；

(2)從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：/(%)有一個(gè)零點(diǎn)

2

1e

?-<a<—,b>2a；

22

?0<a<—,h<2a.

2

【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

【題目來(lái)源】2021年新高考全國(guó)II卷?第22題

8.(2021年新高考I卷?第22題)已知函數(shù)〃x)=x(l-lnx).

⑴討論“X)的單調(diào)性;

(2)設(shè)。，方為兩個(gè)不相等的正數(shù)，S.b\na-a]nb=a-b,證明：2<-+i<e.

ab

【答案】解析：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),又((X)=l-Inx—1=—Inx,

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/,(x)>0,當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，/(%)<0,

故〃力的遞增區(qū)間為(0/)，遞減區(qū)間為(1，+8).

⑵因?yàn)閺膎a—aln6=a—b,故如na+l)=a(ln"l),即電詈1=*1，故=

設(shè)，由(1)可知不妨設(shè)。<%<1,%>1.

ab2

因?yàn)閤e(0,l)時(shí)，/(x)=x(l-Inx)>0,xe(e,+oo)時(shí)，/(x)=x(l-lnx)<0,

故1<%<e.

先證：xI+x2>2,

若々22,玉+々>2必成立.

若々<2,要證：占+赴>2,即證為>2-蒞，而0<2-赴<1,

故即證〃不)>/(2-々)，即證：/(^)>/(2-%2),其中

設(shè)g(x)=f(x)-/(2-x),l<x<2,貝ljg'(x)=/(x)+f'(2-x)=-Inx-In(2-x)=-In[x(2-x)],

因?yàn)?cx<2,故0<x(2-x)<l,故-lnx(2-x)>0,

所以g'(x)>0,故g(x)在(1,2)為增函數(shù)，所以g(x)>g⑴=0,

故〃x)>f(2-x),即成立，所以演+W>2成立，綜上，占+七>2成立.

設(shè)W=%,則/>1,

結(jié)合M〃+l=電”,]_=%,：=占可得：xl(l-lnxl)=x2(l-lnx2),

abab

即：l-ln%,故In%=lTlnf,

/—1

要證：xt+x2<e,即證(f+l)X1<e,即證ln(f+l)+lnXI<1,

即證：皿+1)+1-'*1,即證：(Z-i)in(/+l)-/lnr<0(

^s(r)=(r-l)ln(r+l)-rln/,r>l,則S(f)=ln(r+l)+qj_l_lnr=ln[l+?,

先證明一個(gè)不等式：ln（x+l）Wx.

設(shè)〃（x）=ln（x+l）-x,則=——1=—,

X+lX+1

當(dāng)一IvxvO時(shí)，wr（x）＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，/（力＜0,

故“”在（TO）上為增函數(shù)，在（0,+8）上為減函數(shù)，故〃（肛皿=〃（。）=0,故ln（x+l）=成立

由上述不等式可得當(dāng)，＞1時(shí)，故S'⑺＜0恒成立，

故S（f）在（1,+8）上為減函數(shù)，故S（r）＜S（l）=O,

故。-1）111（/+1）-八11，＜0成立，即演+々＜e成立.

綜上所述，2＜-+^-＜e.

ab

【題目欄目】導(dǎo)數(shù)'導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

【題目來(lái)源】2021年新高考I卷?第22題

9.（2021年全國(guó)高考乙卷文科?第21題）已知函數(shù)/（為=/一%2+初+].

⑴討論了（X）的單調(diào)性；

（2）求曲線y=/（X）過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線＞=/（X）的公共點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）答案見解析；（2）

解析：（1）由函數(shù)的解析式可得：/'（%）=3￥-2元+。,

導(dǎo)函數(shù)的判別式A=4—12a,

當(dāng)△="時(shí)，/'（x）NO,/（x）在R上單調(diào)遞增,

當(dāng)A=4-12cl>0,Q<一時(shí),/'（x）=0的解為：西=2一,一12。，々=2+，：-12。，

3

,(2-〃-12al

當(dāng)X￡-00,------------r（x）＞o,/（x）單調(diào)遞增;

當(dāng)X」三乒I,心穿11時(shí)，r（x）＜o(jì),〃x）單調(diào)遞減;

o6

2+j4-12a、

當(dāng)XE+8時(shí),r（x）＞o,/（x）單調(diào)遞增;

6

7

綜上可得：當(dāng)aN；時(shí)，“X)在R上單調(diào)遞增,

當(dāng)“<4時(shí)，/(x)在，/］上單調(diào)遞增，在j三穿］上單調(diào)遞減，

3I6=一甲五66嚴(yán).石

(2+J4—12a)

在上單調(diào)遞增.

(2)由題意可得：/(毛)=片一片+分0+1,/"(不)=3片一2%+。，

則切線方程為：y-(R-x：+/+1)=(3片-2xo+a)(x-xo)，

切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，貝I：0-(XQ-Xp+ar0+1)=(3xg-2xn+a)(0-x0),

整理可得：2%一片―1=0,即：(與一1乂2片+/+1)=0,

解得：/=1,則/(/)=/(l)=]-l+a+l=a+l,

即曲線y=“X)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=/(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為(l,a+1).

【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，

所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，在高考中的命題方向及命題角度從高考來(lái)看，

對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相

聯(lián)系.(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性：已知單調(diào)性，求參數(shù).(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最

值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

【題目欄目】導(dǎo)數(shù)'導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

【題目來(lái)源】2021年全國(guó)高考乙卷文科?第21題

10.(2021高考天津?第20題)已知a>0,函數(shù)f(x)=ax-xe*.

⑴求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程：

(II)證明“X)存在唯一的極值點(diǎn)

(川)若存在a,使得/(X)4a+b對(duì)任意xeR成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【答案】⑴y=(a—l)x,(a>0)；(II)證明見解析；(Hl)［-e,+oo)

解析：⑴/(x)=a—(x+l)/,則/'(0)=。-1,

又/(0)=0,則切線方程為y=(a-l)x,(a>0)

rxx

(II)令f(x)=a-(x+i)e=0,則。=(九+V)e9

令g(x)=(尤+\)ex,則g\x)=(x+2)eK,

當(dāng)xe(fo,-2)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(-2,+oo)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x->-oc時(shí)，g(x)<0,g(-l)=0,當(dāng)時(shí)，g(x)>0,畫出g(x)大致圖像如下：

所以當(dāng)a>0時(shí),y=。與丁=g(%)僅有一個(gè)交點(diǎn),

令g(m)=a,則機(jī)>-1,f'(m)=a-g(m)=0,

當(dāng)xe(-OO,㈤時(shí)，a>g(x),則/z(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(加,+8)時(shí)，a<g(x),則f'(x)<0,

/(x)單調(diào)遞減，

x=機(jī)為/(x)的極大值點(diǎn)，故人幻存在唯一的極值點(diǎn);

(川)由(II)知=f(m),此時(shí)a=(l+,

所以"(x)-磯”=/(加)一。=陵一加一1卜"',(加>T)，

令/?(x)=(X?—x—1)e",(x>—1),

若存在a,使得f⑶&a+b對(duì)任意xeR成立,等價(jià)于存在xe(一1,小)，使得h(x)W人，即力N/z(x)mi,

h'(x)=(x2+x-2)e*=(x-l)(x+2)ex,x>-l,

當(dāng)xe(-1,1)時(shí)，h'(x)<0,/z(x)單調(diào)遞減，當(dāng)XG(1收)時(shí),h'(x)>0,7/(x)單調(diào)遞增，

所以力(x)mi“=/@=-e,故)N-e,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍［一d+s).

【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值\具體函數(shù)的極值問題

【題目來(lái)源】2021高考天津?第20題

11.（2021年高考全國(guó)甲卷文科?第20題）設(shè)函數(shù)/（幻=。2/+以一3inx+l,其中。>0.

⑴討論/（x）的單調(diào)性；

（2）若y=/（x）的圖像與x軸沒有公共點(diǎn)，求。的取值范圍.

【答案】⑴/⑺的減區(qū)間為（0,：），增區(qū)間為（:收］；（2）a>J

解析：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?,+"）,

又八%）=（2.+3）（仁1）,

X

因?yàn)閍>0,x>0,故2G:+3>0,

當(dāng)0<時(shí)，/'（X）<0；當(dāng)X>：時(shí)，/'（X）>0；所以/（X）的減區(qū)間為（0,,增區(qū)間為（：,+8

（2）因?yàn)?（1）=。2+。+1>0且y=/（x）的圖與X軸沒有公共點(diǎn)，

所以y=/G）的圖象在x軸的上方，

由⑴中函數(shù)的單調(diào)性可得/（x）min=/（5）=3-31n;=3+31na,

故3+31na>0即

e

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式的恒成立問題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號(hào)來(lái)討論，也可以參變分離

后轉(zhuǎn)化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化中注意等價(jià)轉(zhuǎn)化.

【題目欄目】導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

【題目來(lái)源】2021年高考全國(guó)甲卷文科?第20題

12.（2020年高考課標(biāo)H卷文科?第21題）已知函數(shù)/（x）=2lnx+L

（1）若/（x）V2x+c,求c的取值范圍；

（2）設(shè)。>0時(shí)，討論函數(shù)g（x）=/（*）一/（”）單調(diào)性.

x-a

【答案】（2）g（x）在區(qū)間（0,〃）和3,”）上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間

【解析】（1）函數(shù)/（幻的定義域?yàn)椋海?,+8）

f（x）<2x+c=>/（x）-2x-c<0=>21nx-+-l-2x-c<0（*）,

設(shè)h(x)=2Inx+1—2x—c(x>0),則有〃'(x)=---2——-...—,

xx

當(dāng)x>l時(shí)，"(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)0<x<l時(shí)，〃'(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)所以有最大值,

即〃(x)max=內(nèi)⑴=21nl+l-2xl-c=-l-c,

要想不等式(*)在(0,+8)上恒成立，

只需〃(X)max<0=>-l-C<0=>c>-l;

,、，、21nx+l-(21na-l)2(lnx—Ina)八1

(2)g(x)=--------------------=-----------(z%>0且1r。)因m此

x—ax—a

、2(x-a-xlnx+xlna),、”,

g(x)=--------------j-------,設(shè)m{x)=2(x-a-xlnx+xlna),

x(x-a)

則有m'(x)=2(lna-Inx),

當(dāng)時(shí)，lnx>lna,所以加(x)<0,%(x)單調(diào)遞減，因此有機(jī)(工)<m3)=0,即

g'(x)<0,所以g(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)0<x<a時(shí)，lnx<lna,所以根'(x)>0,單調(diào)遞增，因此有/〃(x)</n(a)=0,即g'(x)<0,

所以g(x)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,。)和(a,內(nèi))上單調(diào)遞減，沒有遞增區(qū)間.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，以及利用導(dǎo)數(shù)判斷含參函數(shù)的單調(diào)性，考查了

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是中檔題.

【題目欄目】導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

【題目來(lái)源】2020年高考課標(biāo)II卷文科?第21題

13.(2020年高考課標(biāo)III卷文科?第20題)已知函數(shù)f(x)=x3-kx+k2.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(X)有三個(gè)零點(diǎn)，求攵取值范圍.

【答案】(1)詳見解析；(2)(0,三4).

【解析】(1)由題，f\x)=3x2-k,

當(dāng)攵SO時(shí)，/'(x)NO恒成立，所以“X)在(F,+8)上單調(diào)遞增;

=土木,令/（尤）<0,得-g<x<g,

當(dāng)攵＞0時(shí)，令f\x)=0,得X

令/(x)＞0,得x＜—J：或x＞《，所以/(x)在(嗡*)上單調(diào)遞減，在

(-OO,-^1),(Jg,+8)上單調(diào)遞增?⑵由⑴知，?/Xx)有三個(gè)零點(diǎn)，則攵＞0,且，

喑＜。

4

解得0<%<一,

27

當(dāng)o＜&＜言時(shí)，且/(4)=F〉o,

所以/(x)在(島“)上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，

同理—,f(-k-l)=-k3-(k+l)2＜0,

所以f(x)在(-k上有唯一一個(gè)零點(diǎn),

又了(幻在(一Jg，Jg)上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，所以/(幻有三個(gè)零點(diǎn)，

4

綜上可知女的取值范圍為(0,百).

【點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍問題，考查學(xué)生邏

輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.

【題目欄目】導(dǎo)數(shù)\導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用'導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)、方程的根的問題

【題目來(lái)源】2020年高考課標(biāo)HI卷文科?第20題

14.(2020年新高考全國(guó)I卷(山東)?第21題)已知函數(shù)f