向量數(shù)乘運算及其幾何意義教案

《2.2.1向量加法運算及其幾何意義》教案

一、教學(xué)目標

知識目標：理解向量加法的含義，會用向量加法的三角形法則和平行匹邊

形法則作出兩個向量的和；掌握向量加法的交換律與結(jié)合律，并

會用它們進行向量運算．

能力目標：經(jīng)歷向量加法概念、法則的建構(gòu)過程，感受和體會將實際問題

抽象為數(shù)學(xué)概念的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解

決問題的能力．

情感目標：經(jīng)歷運用數(shù)學(xué)來描述和刻畫現(xiàn)實世界的過程，體驗探索的樂趣，

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的個性品質(zhì)．

二、重點與難點

重點：向量加法的定義與三角形法則的概念建構(gòu)；以及利用法則作兩個向量的

和向量．

難點：理解向量的加法法則及其幾何意義．

三、教法學(xué)法

教法運用了”問題情境教學(xué)法”、“啟發(fā)式教學(xué)法”和“多媒體輔助教學(xué)

法”.

學(xué)法采用以“小組合作、自主探究”為主要方式的自主學(xué)習(xí)模式．

四、教學(xué)過程

新課程理念下的教學(xué)過程是一個內(nèi)容活化、創(chuàng)生的過程，是一個學(xué)生思考、

體驗的過程，更是一個師生互動、發(fā)展的過程．基千此，我設(shè)定了5個教學(xué)環(huán)

節(jié)：

一、創(chuàng)設(shè)情境引入課題

師：在前一節(jié)課中我們學(xué)習(xí)了一個新的量——向量，今天就讓我們共同來

探究向量的加法運算，首先，請看課件．（出示）

點評：無論是臺球還是飛機，從最初的位置到達最終的位置都是經(jīng)歷了兩

次位移，如果從作用效果角度來看，這兩次位移的作用效果就等千從起點到終

點的一次位移，在物理上，我們就把這次位移稱作是之前兩次位移之和．

【問題l】位移求和時，兩次位移的位置關(guān)系是什么？如何作出它們的和位

移？

——兩次位移首尾相連，其和位移是由起點指向終點．

學(xué)生活動：學(xué)生討論，自主探究

點評：位移是個物理量，如果拋開它的物理屬性，它正是我們研究的——

向量．那么，受到位移求和的啟發(fā)，能否找到求解向量之和的方法呢？

二、實踐探究總結(jié)規(guī)律

【問題2】如圖所示，對千向量a和6如何求解它們的和呢？

活動設(shè)計：小組探究、代表匯報

(1).由他們自已得出問題的答案：

“在平面內(nèi)任取一點0,平移a使其起點為點0,平。A

a

移6使其起點與a向量的終點重合，再連接向量a的起點

與向量6的終點”.

B

(2)．鼓勵學(xué)生自己給出定義：

加法的定義：已知向量a玉，在平面內(nèi)任取一點0,

作OA=ci,AB=b,則向量動叫做向量a,b的和．記作：a+b.即

a+b=OA+AB=OB.

(3)．向量加法的法則：和的定義給出了求向量和的方法，稱為向量加法

的三角形法則

點評：加法的定義其實是用數(shù)學(xué)的作圖語言來刻畫的，這種方法經(jīng)常出現(xiàn)

在幾何中，這一點也更好的體現(xiàn)了向量加法具有的幾何意義和向量數(shù)形

結(jié)合的特征．

“觀察小猴過河的動畫短片“.

【問題3】平行四邊形法則有何特點？

是平移兩個向量至共起點．

【問題4】想想你遇到過一些可以用向量求和來解釋生活現(xiàn)象嗎？

活動設(shè)計：學(xué)生以小組為單位討論，小組匯報比比誰的例子最多，最貼切．

三、類比聯(lián)想探究性質(zhì)

【問題5】請類比實數(shù)加法的性質(zhì)完成表格，并通過畫圖的方法驗證你的結(jié)論

實數(shù)的加法向量的加法

....

a+b=b+a

忖a+b=b+a

l'··一·'『.l.

(a+b)+c=a+(bl+c)

質(zhì)(a+b)+c:::a+(b+c)

四、數(shù)學(xué)運用深化認識

例1:如圖，已知a、6，作出a+b

方

a方

\T/下

了

［設(shè)計意圖]學(xué)生會看到三角形法則對共線向量的求和仍然是適用的，反

映了三角形法則具有廣泛的適用性．

例2:根據(jù)圖示填空

(l)a+b=(2)c+d=

(3)a+-d+b-=;(4)DE一一一+CD+AC=;E

(5)AB+BC+CD+DE=

［設(shè)計意圖】在訓(xùn)練三角形法則的同時，使同

學(xué)們注意到三角形法則推廣到n個向量相加的形式．即

~Al+Ai~+A2A3+···+A,,一lA,l＝九A,＇

向量數(shù)乘運算及其幾何意義

一．教學(xué)目標

1.知識與技能

通過實例，掌握向量數(shù)乘運算，理解其幾何意義，理解向量共線定理。熟

練運用定義、運算律進行有關(guān)計算，能夠運用定理解決向量共線、三點共線、

直線平行等問題。

2.過程與方法：

理解掌握向痲共線定理及其證明過程，會根據(jù)向量共線定理判斷兩個向呈

是否共線。

3．態(tài)度情感與價值觀：

通過由實例到概念，由具體到抽象，培養(yǎng)學(xué)生自主探究知識形成的過程的

能力，合作釋疑過程中合作交流的能力。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，

陶冶學(xué)生的情感，培養(yǎng)學(xué)生實事求是的科學(xué)態(tài)度，勇千創(chuàng)新的精神。

二．教學(xué)重難點

重點：掌握實數(shù)與向量的積的定義、運算律，理解向量共線定理。

難點：向量共線定理的探究及其應(yīng)用。

三教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)回顧

問題1:向量加法的運算法則？

問題2:向量減法的運算法則？

（二）新課講解

l．向量數(shù)量積的定義

【探究l】

已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，你能說出他們的幾

何意義嗎？

問題1：相加后，和的長度和方向有什么變化？

問題2:這些變化與哪些因素有關(guān)？

一般地，我們規(guī)定實數(shù)入與向量“的積是一個向量，這種運算叫做向量

的數(shù)乘，記作：入a'它的長度和方向規(guī)定如下：

(l)入;|＝|入11~1

(2)當(dāng)入＞0時，入社的方向與社的方向相同；

當(dāng)從0時，初的方向與a的方向相反。

由(1)可知，當(dāng)入＝0或a=O時，入a=O

練

2．向量數(shù)乘的運算律

【探究2】

問題一：求作向量3(2a)和6a(a為非零向量），并進行比較。

問題二：已知向量；、b,求作向量2(;+b)和2~+2b,并進行比較。

類比實數(shù)乘法的運算律得向量數(shù)乘的運算律：

設(shè)a、b為任意向量，入、μ為任意實數(shù)，則有：

結(jié)合律：從μa)三億μ歸

第一分配律：億＋μ)a=Aa+μa

第二分配律：入(-a+b)＝入正筋

向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線形運算。

對千任慈向撇a、b及任意實數(shù)人μ，恒有2(μ1a士μ2b)＝入μla士入μ2b。

例5:計算（口答）

(1)(—3)x4a

(2)3(a+b)-2(a-b)-a

(3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c)---

3、向量共線定理

【探究3】

問題1:如果b＝廟（i口6)，那么，向量i與b是否共線？

問題2:b與非零向量五共線，那么，b＝廟？

思考：l．；為什么要是非零向量？

2.b可以是零向量嗎？

向量共線定理：向量b與非零向量句共線當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)

兒，使得b-＝入-a

例6．已知任意兩非零向量a、b'試作OA=a+b,OB=a+2b,

l

OC=a+3b。你能判斷A、B、C三點之間的位置關(guān)系嗎？為什么？

【變式練習(xí)】如圖，已知AD=3AB、DE=3BC，試判斷五勹與iE是否共

線？

A

D

思考：在本題中，若B、C分別是AD、AE的三等分

點，你能否利用向量關(guān)系來證明BCIIDE呢？

總結(jié)：＠證明向量共線；

＠證明三點共線：兩向量共線且有一個公共點

若AB=ABC，即AB與BC共線且有一個公共點B,則A、B、C

三點共線；

＠證明兩直線平行：

AB＝入CD?AB//CD}?直線AB/／直線CD。

AB、句不重合

例7.如圖口ABCD的兩條對角線相交與點M，且立＝a五萬五，

用a,b表示環(huán)，面，環(huán)如而5.

空間向量立體幾何知識點集錦

一、空間向量的加法和減法：

(1)求兩個向量差的運算稱為向量的減法，它遵循三角形法則．即：

在空間任取一點o，作＠~=a'面i=b,則

BA=ii—b.

。二A

(2)求兩個向量和的運算稱為向量的加法：在空間以同一點o為起點

的兩個已知向量a、6為鄰邊作平行四邊形OACB,則以o起點的對角

線麗就是正我的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四

邊形法則

BC

b/a+i,

5

O~A

二、實數(shù)兒與空間向量a的乘積入a是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．

當(dāng)心0時，;i,a與a方向相同；

當(dāng)A<O時，;i,a與a方向相反；

當(dāng)入＝0時，入a為零向量，記為6.廟的長度是a的長度的同倍．

三、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向

量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線．

四、向量共線充要條件：對千空間任意兩個向量a,E（肛o),a11E的

充要條件是存在實數(shù)入，使a=凡E.

五、平行千同一個平面的向量稱為共面向量．

六、向量共面定理：

空間一點p位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對X'y'

使對＝x及＋y忒；或?qū)臻g任一定點o，有研＝＠\+xAf讓y及了；或

若四點P,A,B,C共面，則OP=x扣＋y氓＋z改(x+y+z=l).

七、已知兩個非零向量a和fj'在空間任取一點0,作＠仁a，麗江E,

則乙AOB稱為向量a'E的夾角，記作＠，房．兩個向量夾角的取值范

圍是：（a,E〉E[O，葉·

八、對千兩個非零向量a和E'若億趴＝竺，則向量a'E互相垂直，

2

記作aJ_6.

九、已知兩個非零向量a和fj'則la!IElcos(a，房稱為a,E的數(shù)量積，記

作遼．即a-b=la!IElcos(a，局．零向量與任何向量的數(shù)量積為o.

十、a6等于a的長度憶I與E在a的方向上的投影忙lcos(a,E)的乘積．

十一、如，6為非零向量，e為單位向量，則有(1)肛i=Zi·e=jajcos(a，動；

(2)aJ_5-a6=0;(3)a匯{,同例(a與6同向）ad=|a|2，回＝｀；

-|a||E|（a與E反向）

(4)cos（丘〉＝1::I|;(5)|a5|<|a||E|.

十二、空間向量基本定理：若三個向量a,b,c不共面，則對空間

任一向量p'存在實數(shù)組{x,y,z}，使得p=xa+yb+zc.

十三、若三個向量a'E'因不共面，則所有空間向量組成的集合是

｛葉P＝邁＋yb+zc,x,y,zER}．這個集合可看作是由向量a,6,c生成

的，拉，釭｝稱為空間的一個基底，a，6,E稱為基向量．空間任意

三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底．

十四、設(shè)｀｀《為有公共起點o的三個兩兩垂直的單位向量（稱

它們?yōu)閱挝徽换祝裕啵唷兜墓财瘘co為原點，分別以記

云，云的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系Oxyz.則

對千空間任意一個向量p'一定可以把它平移，使它的起點與原點o

重合，得到向量研＝p．存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}，使得

p=x正沁＋Z云．把x,y,z稱作向量p在單位正交基底;e;'e;下

的坐標，記作p=(x,y,z)．此時，向量p的坐標是點p在空間直角坐標

系Oxyz中的坐標(x,y,z).

十五、設(shè)a=（xl,yI,zl)，6=（分為五），則(l)a,+b=(x,＋馬，Y,+Y2,21飛）·

(2)正b=(x1飛Y,-yz,21飛）·

(3)廟＝（從，從，杠）．

(4)a·b=x凸＋Y,Y2+z凸·

(5)若a、6為非零向量，則a..lE<=>ii-E=0<=>心尸Y1Y2+z凸＝o.

(6)若戶0，則旬／E<=>a＝廟-入盧l＝從，Y1＝從，zl=A氣．

(7)lal＝五」f+yf+zl2.

遼x凸＋y心＋z1z2

(8)cos(a，歷＝

障I＝掃言言蕁歸言廠言．

(9)A（石，yl,zl)，B=（印，y凸），則dAB=P畫＝J(x2飛）2+(Y2-Yi戶(z2-z1)2.

十六、空間中任意一條直線I的位置可以由l上一個定點A以及一個定

方向確定．點A是直線l上一點，向量a表示直線l的方向向量，則對

千直線l上的任意一點P,有燈＝ta,這樣點A和向量a不僅可以確定

直線l的位置，還可以具體表示出直線l上的任意一點．

十七、空間中平面a的位置可以由a內(nèi)的兩條相交直線來確定．設(shè)這

兩條相交直線相交于點0,它們的方向向量分別為a,E.P為平面a

上任意一點，存在有序?qū)崝?shù)對(x,y)使得研＝xa+yb,這樣點o與向量

a,E就確定了平面a的位置．

十八、直線l垂直a，取直線l的方向向量a'則向量a稱為平面a的

法向量

十九、若空間不重合兩條直線a,b的方向向量分別為a'E'則

allb￠=>Zillb￠=>

a=入b(入ER),a..lb￠=>a..l伈五·E=0.

二十、若直線a的方向向量為a，平面a的法向量為日，且a已a,則

alla<=>iii/a

仁d..Lii<=>ii-ii=O,a..La<=>a..La<=>aIIii<=>a=,1,ii.

二十一、若空間不重合的兩個平面