專(zhuān)題突破練26　圓錐曲線中的最值、范圍、證明問(wèn)題

專(zhuān)題突破練26圓錐曲線中的最值、范圍、證明問(wèn)題1.(2020山東濰坊一模,21)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F1,F2分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A為橢圓的右頂點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與橢圓C的左、右頂點(diǎn)不重合),當(dāng)(1)求橢圓C的方程;(2)如圖,M為AP的中點(diǎn),直線MO交直線x=-4于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)O作OE∥AP交直線x=-4于點(diǎn)E,證明∠OEF1=∠ODF1.2.(2020百校聯(lián)考高考百日沖刺金卷,19)已知△PF1F2中,F1(-1,0),F2(1,0),|PF1|=4,點(diǎn)Q在線段PF1上,且|PQ|=|QF2|.(1)求點(diǎn)Q的軌跡E的方程;(2)若點(diǎn)M,N在曲線E上,且M,N,F1三點(diǎn)共線,求△F2MN面積的最大值.3.(2020山東泰安一模,21)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,直線l:y=kx+m與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn);當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)橢圓C的下頂點(diǎn)A和右焦點(diǎn)F2時(shí),△F1PQ的周長(zhǎng)為4(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)M為△POQ內(nèi)一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足MP+MO+MQ=0,若點(diǎn)M恰好在圓O:x2+y2=44.(2020山東聊城一模,20)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,右焦點(diǎn)為F,且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的距離的最小值與最大值的積為1,圓O:x2+y2=(1)求橢圓C的方程;(2)動(dòng)直線l:y=kx+m與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),且直線l與圓O相切,求△APQ的面積與△BPQ的面積乘積的取值范圍.5.(2019湖北恩施高三2月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線l:x=-1與x軸的交點(diǎn)為K,過(guò)點(diǎn)K的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn).(1)求拋物線C的方程;(2)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D,證明:存在實(shí)數(shù)t∈(0,1),使得KF=tKB+(1-t)KD.6.(2020云南昆明高三“三診一?！苯虒W(xué)質(zhì)量檢測(cè),21)橢圓規(guī)是畫(huà)橢圓的一種工具,如圖1所示,在十字形滑槽上各有一個(gè)活動(dòng)滑標(biāo)M,N,有一根旋桿將兩個(gè)滑標(biāo)連成一體,|MN|=4,D為旋桿上的一點(diǎn)且在M,N兩點(diǎn)之間,且|ND|=3|MD|,當(dāng)滑標(biāo)M在滑槽EF內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng),滑標(biāo)N在滑槽GH內(nèi)隨之運(yùn)動(dòng)時(shí),將筆尖放置于D處可畫(huà)出橢圓,記該橢圓為C.如圖2所示,設(shè)EF與GH交于點(diǎn)O,以EF所在的直線為x軸,以GH所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)A1,A2是橢圓C的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn),直線A1P,A2P分別交橢圓于Q,R兩點(diǎn),求四邊形A1QA2R面積的最大值.專(zhuān)題突破練26圓錐曲線中的最值、范圍、證明問(wèn)題1.(1)解設(shè)橢圓C的半焦距為c,因?yàn)椤鱌F1F2是等邊三角形,所以此時(shí)P在上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)處,所以a=2c,所以bc=3又由a2=b2+c2,解得c2=1,a2=4,b2=3,故橢圓的方程為x24+(2)證明由題意知A(2,0),設(shè)AP的中點(diǎn)M(x0,y0),P(x1,y1),設(shè)直線AP的方程為y=k(x-2)(k≠0),將其代入橢圓方程整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0,所以x1+2=16k所以x0=8k24k2+3,y0=k(x即M的坐標(biāo)為8k從而kOM=-6k4所以直線OM的方程為y=-34k令x=-4,得D-4直線OE的方程為y=kx,令x=-4,得E(-4,-4k),由F1(-1,0),得kE所以kOM·kEF1=-1,即OM⊥EF1因?yàn)閗DF1=3k-3=-1k,kOE=kAP=k,在直角三角形EHO和直角三角形DGO中,∠ODF1和∠OEF1都與∠EOD互余,所以∠ODF1=∠OEF1.2.解(1)因?yàn)閨PQ|=|QF2|,故|QF1|+|QF2|=|QF1|+|QP|=|PF1|=4>|F1F2|=2,故點(diǎn)Q的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓(不包含長(zhǎng)軸的端點(diǎn)).故點(diǎn)Q的軌跡E的方程為x24+y23=(2)直線MN過(guò)點(diǎn)F1(-1,0),設(shè)直線MN的方程為x=ky-1,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立x=ky-1,x24+y23=1,消去x得∴∴S△F2MN=12·|F1F令k2+1=t,則t≥令f(t)=3t+1t,則f'(t)=3-1當(dāng)t∈[1,+∞)時(shí),f'(t)>0,f(t)=3t+1t在[1,+∞)上單調(diào)遞增.∴S△F2MN即當(dāng)k=0時(shí),△F2MN面積的最大值為3.3.解(1)由題意知4a=42,∴a=2,直線AF2的方程為y=bc(x-c)∵直線AF2與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為43∴y=bc43-c,∴b2=1,∴橢圓C的方程為x22+y2=(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),∵M(jìn)P+MO∴點(diǎn)M為△POQ的重心,∴Mx∵點(diǎn)M在圓O:x2+y2=49上∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=4,由y=kx+m,x22+y2=1,得(1+2k2∴x1+x1=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2,∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=-∴m2=(由Δ>0得1+2k2>m2,∴1+2k2>(1+2解得k≠0.∴m2=(1+2k2)24k2+1=∴m>1或m<-1.4.解(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c,則由已知得2a=4,(a-c)(a+c)=1,解得a=2,b=1,所以橢圓C的方程為x24+y2=(2)由y=kx+m,x24+y2=1,得(1+4k2Δ=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(1+4k2-m2)>0.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-8km1+4k2,x1x所以|PQ|=1+因?yàn)橹本€l與O相切,所以點(diǎn)O到直線l的距離d=|m|1+k2=1,即1所以Δ=48k2,由Δ>0,得k2>0.又A,B兩點(diǎn)到直線l的距離分別為d1=|k+m|1+所以△APQ的面積與△BPQ的面積乘積為S△APQ·S△BPQ=1=4=4=12因?yàn)閗2>0,所以16k2+1k2+8≥16,116k2+1k2因此△APQ的面積與△BPQ的面積乘積的取值范圍為05.(1)解因?yàn)閽佄锞€C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程為直線l:x=-1,所以-p2=-1,解得p=2所以拋物線C的方程為y2=4x.(2)證明易知點(diǎn)K的坐標(biāo)為(-1,0),據(jù)此可設(shè)直線l的方程為x=my-1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).聯(lián)立x=my-1,y2=4x,整理得因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D,A(x1,y1),所以D(x1,-y1).則直線BD的方程為y-y2=y2+y1x2-x1(x-x2),得y-y2=y2+y1即y-y2=4y2-y1令y=0,得0-y2=4y2-y1x-y224,得x=y所以直線BD恒過(guò)定點(diǎn)(1,0).所以點(diǎn)F(1,0)在直線BD上,所以不妨令DF=tDB(t∈(0,1)).因?yàn)镵F=所以KF=KD+t所以KF=KD+t(所以KF=(1-t)KD+tKB所以存在實(shí)數(shù)t∈(0,1),使得KF=tKB+(1-t)KD,命題得證.6.解(1)由|MN|=4,D為旋桿上的一點(diǎn),且在M,N兩點(diǎn)之間,且|ND|=3|MD|,可得|MD|=1,|ND|=3,所以橢圓的長(zhǎng)半軸a為3,短半軸b為1,所以橢圓的方程為x29+y2=(2)由對(duì)稱(chēng)性設(shè)P(6,t),其中t>0,則直線A1P的方程為y=t9(x+3),直線A2Py=t3(x-3),設(shè)Q(x1,y1),R(x2,y2),由x29+y2=1,y=t9(x+3),