廣東省江門(mén)市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期調(diào)研（一）數(shù)學(xué)試題

/19/19/江門(mén)市2023年普通高中高二調(diào)研測(cè)試（一）數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的第5項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞推公式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，，故選：B2.已知，兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的中點(diǎn)坐標(biāo)即為圓心，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出的長(zhǎng)即直徑，即可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由，，知的中點(diǎn)坐標(biāo)為，且，則以線段為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：D3.直線的傾斜角及在y軸上的截距分別是（）A.，2 B.， C.， D.，2【答案】C【解析】【分析】將直線方程化成斜截式方程，即可求解.【詳解】直線化成斜截式，可知直線的斜率，故傾斜角為，直線在y軸上的截距為，故選：C4.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)基底的性質(zhì)，結(jié)合共面向量的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】假設(shè)，，是共面向量，則存在使，因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以有，因此假設(shè)成立，故選項(xiàng)A不符合題意；假設(shè)，，是共面向量，則存在使，因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以有，因此假設(shè)成立，故選項(xiàng)B不符合題意；假設(shè)，，是共面向量，則存在使，即，因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以上式向量式無(wú)實(shí)數(shù)解，因此假設(shè)不成立，故選項(xiàng)C符合題意；假設(shè)，，是共面向量，則存在使，因?yàn)闃?gòu)成空間的一個(gè)基底，所以有，因此假設(shè)成立，故選項(xiàng)D不符合題意，故選：C5.已知M是拋物線上的一點(diǎn)且在x軸上方，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，以為始邊，F(xiàn)M為終邊的角，則等于（）A.16 B.20 C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】作出拋出線與焦半徑及輔助線，利用直角三角形角所對(duì)的邊等于斜邊的一半及拋物線的定義，得到關(guān)于的方程，從而求得的值.【詳解】如圖所示，拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，作于，過(guò)作于，因?yàn)椋?，設(shè)，在中，，顯然，又由拋物線的定義得，所以，解得：，即.故選：A.6.直線（不同時(shí)為0），則下列選項(xiàng)正確的是（）A.無(wú)論取任何值，直線都存在斜率 B.當(dāng)，且時(shí)，直線只與軸相交C.當(dāng)，或時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交 D.當(dāng)，且，且時(shí)，直線是軸所在直線【答案】D【解析】【分析】結(jié)合直線的方程依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)，且時(shí)，直線斜率不存在，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，且，時(shí)，直線只與軸相交；當(dāng)，且，時(shí)，直線與軸重合，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，且時(shí)，直線與兩條坐標(biāo)軸都相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，且，且時(shí)，直線方程為，即軸所在直線，故正確.故選：D7.已知為等差數(shù)列，，，則等于（）A.250 B.410 C.50 D.62【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出．【詳解】為等差數(shù)列，，，，，，，，，．故選：C8.已知橢圓的左頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，兩點(diǎn)在上，若四邊形為平行四邊形，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得直線方程為，直線的方程為，通過(guò)聯(lián)立方程組可得、同．根據(jù)，即化簡(jiǎn)即可求解．詳解】如圖所示，四邊形為平行四邊形，，則，所以直線的方程為：，直線的方程為：，聯(lián)立，解得：．同理聯(lián)立，化為：．解得．因?yàn)?，即，所以．化?jiǎn)為：．所以橢圓的離心率．故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.已知曲線方程，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則曲線C的漸近線方程為B.若，則曲線C的離心率為C.“”是“曲線方程C表示雙曲線”的充分不必要條件D.“”是“曲線方程C表示橢圓”的充要條件【答案】BC【解析】【分析】通過(guò)的值，依據(jù)雙曲線的漸近線方程判斷A；由雙曲線的離心率可判斷B；由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可判斷C；由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷D.【詳解】對(duì)于A，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，漸近線方程為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，方程，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則，所以離心率為，故B正確；對(duì)于C，方程表示雙曲線，則，解得或，故“”是“曲線方程C表示雙曲線”的充分不必要條件，故C正確；對(duì)于D，方程表示橢圓，則，解得且，故“”是“曲線方程C表示橢圓”的必要不充分條件，故D錯(cuò)誤；故選：BC10.已知數(shù)列滿足，，則（）A.為等比數(shù)列 B.的通項(xiàng)公式為C.為遞增數(shù)列 D.的前n項(xiàng)和【答案】AD【解析】【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即，所以，所以，所以為遞減數(shù)列，的前n項(xiàng)和．故選：AD．11.若曲線C上存在點(diǎn)M，使M到平面內(nèi)兩點(diǎn)，距離之差的絕對(duì)值為8，則稱(chēng)曲線C為“好曲線”．以下曲線是“好曲線”的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意可知M的軌跡為：，即與其有公共點(diǎn)的曲線都是“好曲線”，依次判斷各選項(xiàng)，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意知：M到平面內(nèi)兩點(diǎn)，距離之差的絕對(duì)值為8，由雙曲線定義知，M的軌跡以為焦點(diǎn)的雙曲線且，所以，方程為：，∴“好曲線”一定與有公共點(diǎn)，對(duì)于A，直線過(guò)點(diǎn)，符合題意，故A正確；對(duì)于B，方程代入，可得，其中，方程無(wú)解，不符合題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，橢圓的右頂點(diǎn)為，符合題意，故C正確；對(duì)于D，圓的圓心為，半徑，與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，不符合題意，故D錯(cuò)誤；故選：AC12.在長(zhǎng)方體中，，則下列命題為真命題的是（）A.若直線與直線所成的角為，則B.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與長(zhǎng)方體所有棱所成的角相等，且與面交于點(diǎn)，則C.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與長(zhǎng)方體所有面所成的角都為，則D.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的平面與長(zhǎng)方體所有面所成的二面角都為，則【答案】ABC【解析】【分析】A根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)找到直線與直線CD所成角的平面角即可；B構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線線角相等，結(jié)合空間向量夾角的坐標(biāo)表示求，即可求M坐標(biāo)，進(jìn)而確定線段長(zhǎng)；C、D將長(zhǎng)方體補(bǔ)為以為棱長(zhǎng)的正方體，根據(jù)描述找到對(duì)應(yīng)的直線m、平面β，結(jié)合正方體性質(zhì)求線面角、面面角的正弦值.【詳解】解：對(duì)于A：如下圖，直線與直線所成角，即為直線與直線所成角，則，故A正確；對(duì)于B：構(gòu)建如下圖示的坐標(biāo)系，過(guò)的直線與長(zhǎng)方體所有棱所成的角相等，與面交于且，又，則，故，則，故B正確；對(duì)于C：如下圖，過(guò)A的直線m與長(zhǎng)方體所有面所成的角都為θ，則直線m為以為棱長(zhǎng)的正方體的體對(duì)角線，故，故C正確；對(duì)于D：如下圖，過(guò)A的平面β與長(zhǎng)方體所有面所成的二面角都為，只需面β與以為棱長(zhǎng)的正方體中相鄰的三條棱頂點(diǎn)所在平面平行，如面，故，則，故D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為，虛軸長(zhǎng)為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)雙曲線方程為：，進(jìn)而得，再解方程即可得答案.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以，設(shè)雙曲線的方程為：，因?yàn)闈u近線方程為，虛軸長(zhǎng)為，所以，解得，所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：故答案為：14.已知點(diǎn)B是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則的值是______．【答案】【解析】【分析】先求得點(diǎn)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影B，再利用兩點(diǎn)間的距離求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影是，所以.故答案為：.15.一支車(chē)隊(duì)有15輛車(chē)，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù)，第一輛車(chē)于14時(shí)出發(fā)，以后每間隔發(fā)出一輛，假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開(kāi)車(chē)，并都在19時(shí)停下來(lái)休息．已知每輛車(chē)行駛的速度都是，則這個(gè)車(chē)隊(duì)當(dāng)天一共行駛了______千米？【答案】3450【解析】【分析】通過(guò)分析，這15輛車(chē)的行駛路程可以看作等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意知，第一輛車(chē)行程km，且從第二輛車(chē)開(kāi)始，每輛車(chē)都比前一輛少走km，這15輛車(chē)的行駛路程可以看作首項(xiàng)為300，公差為-10的等差數(shù)列，則15輛車(chē)的行程路程之和為（km）.故答案為：3450.16.某顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖所示，已知它的近地點(diǎn)A（離地面最近的點(diǎn)）距地面s千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)B（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面t千米，并且F，A，B三點(diǎn)在同一直線上，地球半徑約為R千米，設(shè)該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為2a，2b，2c，則下列選項(xiàng)正確的是______（填寫(xiě)序號(hào)）．①；②；③；④．【答案】①②④【解析】【分析】結(jié)合題意和給定的橢圓的圖形，推得之間的關(guān)系，逐項(xiàng)判定各選項(xiàng)，即可求解.【詳解】由題意，近地點(diǎn)A距地面千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面千米，可得，，即，，故①②正確；由，可得，故③不正確；又由，故④正確.故答案為：①②④四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn)，，．（1）求邊AC上的高所在直線的方程；（2）求中邊AC上的高的長(zhǎng)度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率公式求出，由垂直直線的斜率之積為-1求出AC邊上的高所在直線斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程即可求解；(2)由(1)，利用直線的點(diǎn)斜式方程求出直線AC方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】∵直線AC的斜率為，設(shè)AC邊上的高所在直線斜率為k，由，則，所以AC邊上的高所在直線方程為，即；【小問(wèn)2詳解】由(1)得直線AC的方程為，即，設(shè)點(diǎn)到直線AC的距離為h，則，故邊AC上的高為．18.如圖，四面體中，，，，M，N分別是棱，的中點(diǎn)，設(shè)，，（1）用表示向量；（2）求，所成角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接通過(guò)向量的線性運(yùn)算表示出即可；（2）先計(jì)算出，再求出和，按照夾角公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】小問(wèn)2詳解】，，，，，，由（1）知，，，，又，，故，所成角的余弦值為.19.已知數(shù)列為遞增的等比數(shù)列，，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）利用（1）的結(jié)論及數(shù)列求和中的錯(cuò)位相減法即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，則因?yàn)椋?，所以，解得或（舍去），所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以，所以由，得，所以.20.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．（1）證明：以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切；（2）求面積S的最小值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）2【解析】【分析】(1)設(shè)，，取AB的中點(diǎn)M，根據(jù)拋物線的定義表示出點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離，由即可證明；(2)若直線l的斜率不存在，易求得；若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理和完全平方公式計(jì)算即可求出.【小問(wèn)1詳解】由題意知，拋物線的焦點(diǎn)，且x非負(fù)，設(shè)，，取AB的中點(diǎn)M，則直徑AB的中點(diǎn)，即圓心M坐標(biāo)為，由拋物線的定義得，，，∴點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為：，∴圓的半徑，∴以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．【小問(wèn)2詳解】若直線l的斜率不存在，其方程為，代入，得，所以，此時(shí)，.若直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立，消x得，，則，，，綜上所述，，故面積的最小值是2．21.如圖，在三棱柱中，平面平面，，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，.（1）證明：；（2）若點(diǎn)到面的距離為，求平面和平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，利用線面垂直判定定理證明面，進(jìn)而得到；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，先求得C點(diǎn)豎坐標(biāo)，再求得平面和平面的法向量夾角余弦值，進(jìn)而求得平面和平面夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，，為正三角形，又面，面又面，【小問(wèn)2詳解】面平面，面面面，故兩兩垂直，設(shè)，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖則，設(shè)面的法向量，則，令，可得，解之得，又面的法向量，而則所以平面與平面夾角的余弦值為22.已知平面上的動(dòng)點(diǎn)總滿足關(guān)系式．（1）判斷點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？并求其軌跡E方程；（2）設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M，N，若點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上，證明：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓；（2）證明見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義分析運(yùn)算；（2）由題意可得，結(jié)合韋達(dá)定理分析運(yùn)算，注意討論直線l的斜率是否存在.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，，∵，則，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即，，則，所以曲線E的軌跡方程是為．【小問(wèn)2詳解】若點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上，則