10個導(dǎo)數(shù)題(極值點(diǎn)的偏移)

極值點(diǎn)偏移的問題1.已矢f(x)=Inx-ax,(a為常數(shù))(D若函數(shù)f(x)在x=1處的切線與x軸平行，求a的值;(2)當(dāng)a=1時(shí)，試比較/(m)與f(丄)的大??；m⑶f(x)有兩個零點(diǎn)x,x,證明：x-x>e21212變式：已知函數(shù)/(x)=Inx-ax2,a為常數(shù)。討論f(x)的單調(diào)性；若有兩個零點(diǎn)x,x,,試證明：x-x>e1212nx2-已知f(x)=x2+ax+sinT'xe(0,1);若/(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；當(dāng)a=-2時(shí)，記f(x)取得極小值為f(x)若(x)=f(x)，求證x+x>2x0121203.已知3.已知If(x)=Inx-2ax2+x,(aeR)(1)若/(D=0，求函數(shù)f(x)的最大值;x+x>12<5+1x+x>12<5+12(3)若a=-2，正實(shí)數(shù)x,x,滿足((x)+f(x)+xx=0,證明:1212124.設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-_Ux+1證明：當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0恒成立；若函數(shù)f(x)無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若函數(shù)f(x)有兩個相異零點(diǎn)x,x,求證：xx>e212125.已矢f(x)=|x-2a|-aInx,常數(shù)aeR。(D求f(x)的單調(diào)區(qū)間；⑵f(x)有兩個零點(diǎn)x,x，且x<x；1212(i)指出a的取值范圍，并說明理由；(ii)求證：x-x<8a3126.設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax+a(aeR),其圖象與x軸交于A(x,0),B(x,0)兩點(diǎn)，且x1<x2.1212求a的取值范圍；證明：f心在)<0(f'(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))；設(shè)點(diǎn)C在函數(shù)y=f(x)的圖象上，且△ABC為等腰直角三角形，記-x~f=t，1求(a-1)(t-1)的值.【解】(1)f'(x)=ex一a.若aW0，則f'(x)〉0，則函數(shù)f(x)是單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)矛盾.所以a>0，令f'(x)=0，貝9x=lna.當(dāng)x<lna時(shí)，f(x)<0，f(x)是單調(diào)減函數(shù)；x〉lna時(shí)，f(x)>0，f(x)是單調(diào)增函數(shù)；于是當(dāng)x=lna時(shí)，f(x)取得極小值.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ex-ax+a(aeR)的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x，0)，B(x?，0)(x1<x2)，所以f(lna)=a(2-lna)<0，即a>e2..此時(shí)，存在1<lna，f(1)=e>0；存在3lna>lna，f(3lna)=a3-3alna+a>a3-3a2+a>0，又由f(x)在(-◎lna)及(lna，+Q上的單調(diào)性及曲線在R上不間斷，可知a>e2為所求取值范圍.(2)因?yàn)閒x1一處1+a=0，兩式相減得a=■^沁Iex?-ax+a=0， x一x2221=e寸§[2s—(es—e-s)=e寸§[2s—(es—e-s)]，設(shè)2 2 x-x21g(s)=2s-(es-e-s)，則g'(s)=2-(es+e-s)<0，所以g(s)是單調(diào)減函數(shù),則有g(shù)(s)<g(0)=0，而弓F>0，所以f'Qz)0.又f'(x)=ex-a是單調(diào)增函數(shù)，且二2乙rtf所以f(:xx)<0.(3)依題意有eX—ax+a=0，則a(x—1)=e巧>0nx>1(i=1,2).i i i于是exrT2=a、；(x—l)(x—1),在等腰三角形ABC中，顯然C=90°,所以12x+xx=ic2e(x，x)，即y=f(x)<0，021200由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，可知書作=—y，20所以y+叮c—=0，即 -a(x+x)+a+叮珥=0，022122所以a「(x—1)(x—1)—a(x+x)+a+ ―i=0，122122即ay(x—l)(x—1)—￡[(x—1)+(x—1)]+(x2—“—(x1—°=0.122122因?yàn)閤—1豐0，貝yaj^1—a(+r)+戶]=0，1 \x一1 2x一1 211乂」-2_j-=t，所以at—a(1+12)+1(t2—1)=0，x—1 2 21即a=1+二，所以(a—1)(t—1)=2.t—17.已知函數(shù)f(x)=xc—x(xeR)(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;(II)已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，證明當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>g(x)(III)如果x1豐x2，且⑴)=/(叮，證明x1+x2>2(I)解:f'(x)=(1—x)e一x令f'(x)=0,解得x=1當(dāng)x變化時(shí)，f'(x),f(x)的變化情況如下表X(-8,1)1(1,+8)f'(x)+0f(x)極大值\所以f（x）在（—8,1）內(nèi)是增函數(shù)，在（1,+8）內(nèi)是減函數(shù)。1函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值f（1）且f（1）=-e(II)證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex-2令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)二xe-x+(x一2)ex-2于是F'(x)=(x一1)(e2x—2一1)e-x當(dāng)x>1時(shí)，2x-2〉0,從而e2x-2—1>0,又e-x>0,所以F'(x)〉0,從而函數(shù)F(x)在［1,+a）是增函數(shù)。又F(1)=e-1—e-1=0,所以x>l時(shí)，有F(x)〉F(1)=0,即f(x)〉g(x).III）證明：（1）若(x一1)(x一1)=0,由(I)及f(x)=f(x),則x=x=1.與x豐x矛盾。12121212(2)若(x一1)(x一1)>0,由(I)及f(x)=f(x),得x=x.與x豐x矛盾。12121212根據(jù)(1)(2)得(%-Pg-1)<。，不妨設(shè)％<1,x2>1.由（II）可知，fg）〉叫），則叫）=fQ?），所以fg）〉I），從而f（x）〉f（2-x）.因?yàn)閤>1，所以2—x<1，又由（I）可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（-a,1）1222內(nèi)事增函數(shù)，所以x〉2一x,即x+x>2.1212128.已知函數(shù)f（x）=lnx—ax2+（2—a）x分）12⑴討論fx）的單調(diào)性；（II）設(shè)a>0,證明：當(dāng)0<x<丄時(shí)，f（1+x）>f（^—x）；aaa（III）若函數(shù)y=fx）的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x°,證明:廣菇）<01—x9.已知函數(shù)f(x)= ex1+x2（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間;（II）證明：當(dāng)fS'-化（%豐x2）時(shí)，%+x2<0…、(—1+1—x)ex(1+x2)—(1—x)ex-2x —3—x2+2x(1+X2)2解:(I)八力= (1+X2)2A=22-4-2<0???當(dāng)xe(-s,0］時(shí)，f'(x)>0,y=f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)xe［0,+s)時(shí)，廣(x)<0,y二f(x)單調(diào)遞減.所以，y二f(x)在在(-g,0]上單調(diào)遞增；在xe[0,+s)上單調(diào)遞減(II)由(I)知，只需要證明：當(dāng)x>0時(shí)f(x)<f(—x)即可。f(xf(x)-f(-x)1一x ex1+x2 ［(1-x)e2x-1-x］。1+x2令g(x)=(1-x)e2x-1-x,x>0ng'(x)=(1-2x)e2x-1令力(x)=(1-2x)e2x-1nh'(x)=(1-2x)e2x=-4xe2x<0,ny=h(x)在(0,+s)上單調(diào)遞減nh(x)<h(0)=0ny=g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞減ng(x)<g(0)=0e—xny= ［(1-x)e2x-1-x］在(0,+s)上單調(diào)遞減，但x=0時(shí)y=0.1+x2nf(x)-f(-x)<0nf(x)<f(-x)所以，當(dāng)/(x)=f(x)Mx豐x時(shí)，x+x<0.12121210.已知函數(shù)f(x)=alnx-x2.當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)y=f(x)在［^,2］上的最大值；令g(x)=f(x)+ax，若y=g(x)在區(qū)間(0,3)上不單調(diào)，求a的取值范圍；(3)當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)h(x)=f(x)一mx的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2，又"(x)是心的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)'卩滿足條件^+^=h卩".證明：h(ax+Px)<012解(1) ?.?f'(x)=2—2x=_,xx函數(shù)y=f(x)在［斗,1］是增函數(shù)，在［1,2］是減函數(shù)， 3分所以f(x) =f(1)=2ln1-12=-1? ……4分maxa(2)因?yàn)間(x)=alnx—x2+ax，所以g'(x)= —2x+a，x5分因?yàn)間(x)在區(qū)間(o,3)上不單調(diào)，所以g'(x)=0在(0,3)上有實(shí)數(shù)解，且無重根,2x2 1 9由g'(x)=0，有a= =2(x+1+ )—4g(0,—)，(xw(°,3))x+1 x+1 26分又當(dāng)a=—8時(shí)，g'(x)=0有重根x=—2，7分9綜上aE(0,三)22(3)Vh'(x)= —2x—m，又f(x)—mx=0有兩個實(shí)根xxx128分2lnx—x2—mx=01 1 ，兩式相減，得2(lnx—lnx)—(x2—x2)=m(x—x)，2lnx—x2—mx=0 1 2 1 2 1 2222(lnx—lnx)m= 1 2——(x+x)x—x 1 21210分2 2(lnx—lnx)■于是h'(―x+px)= —2(—x+px)— 1 2+(x+x)于疋'1 “2丿—x+Px ' 1 “2丿 x-x 1 2；12122 2(lnx—lnx) n 1 2 +(2——1)(x—x).—x+px x—x 2 1121211分P>a,2a<1,/.(2a—1)(x2—x/<0.要證：h'(ax1+Px2)<0，只需證：冇而