新教材高中數(shù)學(xué)第二章等式與不等式2.4.1基本不等式學(xué)案新人教B版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE7均值不等式及其應(yīng)用掌握基本不等式ab≤a+b2(a新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性知識(shí)點(diǎn)一數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式1．?dāng)?shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式一般地，如果A(a)，B(b)，則線段AB的長(zhǎng)為____________．2．中點(diǎn)坐標(biāo)公式如果線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為x.若a＜b，如圖所示，則M為____________．知識(shí)點(diǎn)二基本不等式(1)重要不等式：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，都有a2＋b2________2ab，當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)，等號(hào)成立．(2)基本不等式：ab________a+b2(a＞0，b＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)________時(shí)，等號(hào)成立．其中a+b2和ab分別叫做正數(shù)a，狀元隨筆基本不等式ab≤a+b2(a，b∈(1)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a＞0，b＞0，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤M2a＝b時(shí)等號(hào)成立．即：a＋b＝M，M為定值時(shí)，(ab)max＝M2(2)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a＞0，b＞0，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立．基礎(chǔ)自測(cè)1.已知a，b∈R，且ab＞0，則下列結(jié)論恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2＞2abB．a(chǎn)＋b≥2abC．1a+1b＞2ab2．若a＞1，則a＋1a-1A．2B．a(chǎn)C．2a3．(多選)下列不等式中，不正確的是()A．a(chǎn)＋4a≥4B．a(chǎn)2＋b2≥4C．a(chǎn)b≥a+b2D．x2＋4．已知x，y都是正數(shù)．(1)如果xy＝15，則x＋y的最小值是________．(2)如果x＋y＝15，則xy的最大值是________．第1課時(shí)基本不等式課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1對(duì)基本不等式的理解[經(jīng)典例題]例1(1)下列不等式中，不正確的是()1．舉反例、基本不等式?逐個(gè)判斷．2．明確基本不等式成立的條件?逐個(gè)判斷．A.a2＋b2≥2|a||b|B．a(chǎn)2b≥2a－b(C．a(chǎn)b2≥D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2(2)給出下列命題：基本不等式的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)正數(shù)：指式子中的a，b均為正數(shù)，(2)相等：即“＝”成立的條件．①若x∈R，則x＋1x②若a＜0，b＜0，則ab＋1ab③不等式y(tǒng)x+xy≥2成立的條件是

跟蹤訓(xùn)練1設(shè)0＜a＜b，則下列不等式中正確的是()利用基本不等式時(shí)先要確定成立的條件，有的要適當(dāng)變形處理． A.a＜b＜ab＜a+bB．a(chǎn)＜ab＜a+b2＜C．a(chǎn)＜ab＜b＜a+bD．a(chǎn)b＜a＜a+b2＜題型2利用基本不等式求最值[教材P70例1]例2已知x＞0，求y＝x＋1x的最小值，并說(shuō)明x為何值時(shí)y【解析】因?yàn)閤＞0，所以根據(jù)均值不等式有x＋1x≥2x·其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x＝1x，即x2＝1，解得x＝1或x因此x＝1時(shí)，y取得最小值2.教材反思1．利用基本不等式求最值的策略2．通過(guò)消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解．有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問(wèn)題，解決方法是消元后利用基本不等式求解．特別提醒：利用基本不等式求函數(shù)最值，千萬(wàn)不要忽視等號(hào)成立的條件．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，則(1＋x)(1＋y)的最大值為()A．16B．25C．9D．36(2)若正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋2y＋2xy－8＝0，則x＋2y的最小值()A．3B．4C．92D．狀元隨筆1．展開(1＋x)(1＋y)?將x＋y＝8代入?用基本不等式求最值．2．利用基本不等式得x＋2y＋x+2y22－8≥0易錯(cuò)點(diǎn)利用基本不等式求最值例若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是()A．245B．C．5D．6錯(cuò)誤的根本原因是忽視了兩次使用基本不等式，等號(hào)成立的條件必須一致．【錯(cuò)解】由x＋3y＝5xy?5xy≥23xy，因?yàn)閤＞0，y＞0，所以25x2y2≥12xy，即xy≥1225所以3x＋4y≥212xy≥212·1225＝當(dāng)且僅當(dāng)3x＝4y時(shí)取等號(hào)，故3x＋4y的最小值是245【正解】由x＋3y＝5xy可得15y+35x＝1，所以3x＋4y＝(3x＋4y)15y+3當(dāng)且僅當(dāng)x＝1，y＝12故3x＋4y的最小值是5.【答案】C2．2.4均值不等式及其應(yīng)用新知初探·自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一1．AB＝|a－b|2．x＝a+b知識(shí)點(diǎn)二(1)≥a＝b(2)≤a＝b算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：對(duì)于A，當(dāng)a＝b時(shí)，a2＋b2＝2ab，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，雖然ab>0，只能說(shuō)明a，b同號(hào)，當(dāng)a，b都小于0時(shí)，B，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閍b>0，所以ba>0，ab>0，所以ba+a答案：D2．解析：a>1，所以a－1>0，所以a＋1a-1＝a－1＋1a-1＋1≥2當(dāng)且僅當(dāng)a－1＝1a-1即a答案：D3．解析：a<0，則a＋4a≥4不成立，故A錯(cuò)；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B錯(cuò)，a＝4，b＝16，則ab<a+b答案：ABC4．解析：(1)x＋y≥2xy＝215，即x＋y的最小值是215；當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝15時(shí)取最小值．(2)xy≤x+y22＝152即xy的最大值是2254當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝152時(shí)xy答案：(1)215(2)225第1課時(shí)基本不等式課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)A中，a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|，所以A正確．由a2＋b2≥2ab，得a2≥2ab－b2.B中，當(dāng)b<0時(shí)，a2b≤2a－b，所以B不正確．C中，b≠0，則ab2≥2ab－1，所以C正確．D中，由a2＋b2≥2ab，得2(a2＋b2)≥a2＋(2)只有當(dāng)x>0時(shí)，才能由基本不等式得到x＋1x≥2x·1x＝2，故①錯(cuò)誤；當(dāng)a<0，b<0時(shí)，ab>0，由基本不等式可得ab＋1ab≥2ab·1ab＝2，故②正確；由基本不等式可知，當(dāng)yx>0，xy>0時(shí)，有【答案】(1)B(2)②跟蹤訓(xùn)練1解析：0<a<b?a2<ab<b2?a<ab<b，0<a<b?2a<a＋b<2b?a<a+b2<b，又ab<a+b2，所以a<ab<a+b2答案：B跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)因?yàn)閤>0，y>0，且x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9＋x+y22＝9＋4因此當(dāng)且