-高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)9定積分的概念含解析新人教A版選修2-

PAGEPAGE5定積分的概念(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．下列結(jié)論中成立的個(gè)數(shù)是()①eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n)；②eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\o(lim,\s\do6(n→∞))eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))eq\f(i－13,n3)·eq\f(1,n)；③eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\o(lim,\s\do6(n→∞))eq\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n).A．0 B．1C．2 D．3C[由定積分的概念可知②③正確，①錯(cuò)誤，故選C.]2．關(guān)于定積分a＝eq\i\in(－1,2,)(－2)dx的敘述正確的是()A．被積函數(shù)為y＝2，a＝6B．被積函數(shù)為y＝－2，a＝6C．被積函數(shù)為y＝－2，a＝－6D．被積函數(shù)為y＝2，a＝－6C[由定積分的概念可知，被積函數(shù)為y＝－2，由定積分的幾何意義可知a＝－6.故選C.]3．變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度為v(t)≥0，初始t＝0時(shí)所在位置為s0，則當(dāng)t1秒末它所在的位置為()A．eq\i\in(0,t1,)v(t)dt B．s0＋eq\i\in(0,t1,)v(t)dtC．eq\i\in(0,t1,)v(t)dt－s0 D．s0－eq\i\in(0,t1,)v(t)dtB[由位移是速度的定積分，同時(shí)不可忽視t＝0時(shí)物體所在的位置，故當(dāng)t1秒末它所在的位置為s0＋eq\i\in(0,t1,)v(t)dt.]4．若eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝1，eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝－3，則eq\i\in(a,b,)[2f(x)＋g(x)]dx＝()A．2 B．－3C．－1 D．4C[eq\i\in(a,b,)[2f(x)＋g(x)]dx＝2eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝2×1－3＝－1.]5．若f(x)為偶函數(shù)，且eq\i\in(0,6,)f(x)dx＝8，則eq\i\in(-6,6,)f(x)dx等于()A．0 B．4C．8 D．16D[∵被積函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴在y軸兩側(cè)的函數(shù)圖象對稱，從而對應(yīng)的曲邊梯形面積相等．]二、填空題6．若eq\i\in(a,b,)[f(x)＋g(x)]dx＝3，eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx＝1，則eq\i\in(a,b,)[2g(x)]dx＝________.2[eq\i\in(a,b,)[2g(x)]dx＝eq\i\in(a,b,)[(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]dx＝eq\i\in(a,b,)[f(x)＋g(x)]dx－eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx＝3－1＝2.]7．曲線y＝eq\f(1,x)與直線y＝x，x＝2所圍成的圖形面積用定積分可表示為________．eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))dx[如圖所示，陰影部分的面積可表示為eq\i\in(1,2,)xdx－eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝eq\i\in(1,2,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))dx.]8．物體運(yùn)動(dòng)的速度和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為v(t)＝2t(t的單位：h，v的單位：km/h)，近似計(jì)算在區(qū)間[2,8]內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的路程時(shí)，把區(qū)間6等分，則過剩近似值(每個(gè)ξi均取值為小區(qū)間的右端點(diǎn))為__________km.66[以小區(qū)間右端點(diǎn)時(shí)的速度作為小區(qū)間的平均速度，可得過剩近似值為s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．]三、解答題9．已知eq\i\in(0,e,)xdx＝eq\f(e2,2)，eq\i\in(0,e,)x2dx＝eq\f(e3,3)，求下列定積分的值．(1)eq\i\in(0,e,)(2x＋x2)dx；(2)eq\i\in(0,e,)(2x2－x＋1)dx.[解](1)eq\i\in(0,e,)(2x＋x2)dx＝2eq\i\in(0,e,)xdx＋eq\i\in(0,e,)x2dx＝2×eq\f(e2,2)＋eq\f(e3,3)＝e2＋eq\f(e3,3).(2)eq\i\in(0,e,)(2x2－x＋1)dx＝2eq\i\in(0,e,)x2dx－eq\i\in(0,e,)xdx＋eq\i\in(0,e,)1dx，因?yàn)橐阎猠q\i\in(0,e,)xdx＝eq\f(e2,2)，eq\i\in(0,e,)x2dx＝eq\f(e3,3)，又由定積分的幾何意義知：eq\i\in(0,e,)1dx等于直線x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所圍成的圖形的面積，所以eq\i\in(0,e,)1dx＝1×e＝e，故eq\i\in(0,e,)(2x2－x＋1)dx＝2×eq\f(e3,3)－eq\f(e2,2)＋e＝eq\f(2,3)e3－eq\f(1,2)e2＋e.10．利用定積分的幾何意義求下列定積分．(1)eq\i\in(－3,3,)eq\r(9－x2)dx；(2)eq\i\in(0,3,)(2x＋1)dx；(3)eq\i\in(－1,1,)(x3＋3x)dx.[解](1)曲線y＝eq\r(9－x2)表示的幾何圖形為以原點(diǎn)為圓心以3為半徑的上半圓如圖①所示．其面積為S＝eq\f(1,2)·π·32＝eq\f(9,2)π.由定積分的幾何意義知eq\i\in(－3,3,)eq\r(9－x2)dx＝eq\f(9,2)π.(2)曲線f(x)＝2x＋1為一條直線.eq\i\in(0,3,)(2x＋1)dx表示直線f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3圍成的直角梯形OABC的面積，如圖②.其面積為S＝eq\f(1,2)(1＋7)×3＝12.根據(jù)定積分的幾何意義知eq\i\in(0,3,)(2x＋1)dx＝12.(3)∵y＝x3＋3x在區(qū)間[－1,1]上為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴曲邊梯形在x軸上方部分面積與x軸下方部分面積相等．由定積分的幾何意義知eq\i\in(－1,1,)(x3＋3x)dx＝0.1．已知f(x)＝x3－x＋sinx，則eq\i\in(－2,2,)f(x)dx的值為()A．等于0 B．大于0C．小于0 D．不確定A[由題意知f(x)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)有eq\i\in(－2,0,)f(x)dx＝－eq\i\in(0,2,)f(x)dx，而eq\i\in(－2,2,)f(x)dx＝eq\i\in(－2,0,)f(x)dx＋eq\i\in(0,2,)f(x)dx＝0.]2．與定積分eq\i\in(0,\f(3π,2),)|sinx|dx相等的是()A．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\i\in(0,\f(3π,2),)sinxdx))B．eq\i\in(0,\f(3π,2),)sinxdxC．eq\i\in(0,π,)sinxdx－eq\i\in(π,\f(3π,2),)sinxdxD．eq\i\in(0,\f(π,2),)sinxdx＋eq\i\in(\f(π,2),eq\f(3,2)π,)sinxdxC[當(dāng)x∈(0，π]時(shí)，sinx≥0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))時(shí)，sinx＜0.∴由定積分的性質(zhì)可得eq\i\in(0,\f(3π,2),)|sinx|dx＝eq\i\in(0,π,)|sinx|dx＋eq\i\in(π,\f(3π,2),)|sinx|dx＝eq\i\in(0,π,)sinxdx＋eq\i\in(π,\f(3π,2),)(－sinx)dx＝eq\i\in(0,π,)sinxdx－eq\i\in(π,\f(3π,2),)sinxdx.]3．定積分eq\i\in(0,1,)eq\r(x2－x)dx的值為________．eq\f(π,4)[因?yàn)閥＝eq\r(x2－x)，所以(x－1)2＋y2＝1，它表示以(1,0)為圓心，1為半徑的圓．定積分eq\i\in(0,1,)eq\r(x2－x)dx就是該圓的面積的四分之一，所以定積分eq\i\in(0,1,)eq\r(x2－x)dx＝eq\f(π,4).]4．汽車以v＝(3t＋2)m/s做變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，第1s到第2s間的1s內(nèi)經(jīng)過的路程是________m.6.5[由題意知，所求路程為直線x＝1，x＝2，y＝0與y＝3x＋2所圍成的直角梯形的面積，故s＝eq\f(1,2)×(5＋8)×1＝6.5(m)．]5．如圖所示，拋物線y＝eq\f(1,2)x2將圓x2＋y2≤8分成兩部分，現(xiàn)在向圓上均勻投點(diǎn)，這些點(diǎn)落在圓中陰影部分的概率為eq\f(1,4)＋eq\f(1,6π)，求eq\i\in(0,2,)(eq\r(8－x2)－eq\f(1,2)x2)dx.[解]解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝8，,y＝\f(1,2)x2，))得x＝±2.∴陰影部分的面積為eq\i\in(－2,2,)(eq\r(8－x2)－eq\f(1,2)x2)dx.∵