-新教材高中數(shù)學(xué)課時檢測21函數(shù)的奇偶性含解析北師大版必修第一冊

PAGEPAGE4函數(shù)的奇偶性[A級基礎(chǔ)鞏固]1．(多選)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有()A．f(x)g(x)是偶函數(shù)B．|f(x)|＋g(x)是偶函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)解析：選BC∵f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，∴|f(x)|是偶函數(shù)，|g(x)|是偶函數(shù)．根據(jù)一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)，可得f(x)g(x)為奇函數(shù)，f(x)|g(x)|為奇函數(shù)，所以|f(x)g(x)|為偶函數(shù)，故選項A、D錯誤，選項C正確；由兩個偶函數(shù)的和還是偶函數(shù)得選項B正確．故選B、C.2．已知一個奇函數(shù)的定義域為{－1，2，a，b}，則a＋b等于()A．－1 B．1C．0 D．2解析：選A因為該奇函數(shù)的定義域為{－1，2，a，b}，且奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，所以a與b中一個等于1，一個等于－2，所以a＋b＝1＋(－2)＝－1，故選A.3．已知f(x)為奇函數(shù)，在區(qū)間[3，6]上是增函數(shù)，且在此區(qū)間上的最大值為8，最小值為－1，則2f(－6)＋f(－3)＝()A．－15 B．－13C．－5 D．5解析：選A因為函數(shù)f(x)在[3，6]上是增函數(shù)，所以f(6)＝8，f(3)＝－1，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×8＋1＝－15，故選A.4．已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x(x－2)，則當(dāng)x＜0時，f(x)的表達式為()A．f(x)＝x(x－2) B．f(x)＝x(x＋2)C．f(x)＝－x(x－2) D．f(x)＝－x(x＋2)解析：選D∵函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．∵當(dāng)x≥0時，f(x)＝x(x－2)，∴當(dāng)x＜0，即－x＞0時，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)·(－x－2)]＝－x(x＋2)．故選D.5．設(shè)f(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)內(nèi)是增函數(shù)，f(－2)＝0，則xf(x)<0的解集為()A．(－1，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0，2)C．(－2，0)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(0，2)解析：選C根據(jù)題意，偶函數(shù)f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)，且f(－2)＝0，則函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，且f(－2)＝f(2)＝0，作出函數(shù)f(x)的草圖如圖所示，又由xf(x)<0，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,f（x）<0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,f（x）>0，))由圖可得－2<x<0或x>2，即不等式的解集為(－2，0)∪(2，＋∞)．故選C.6．能說明“若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)的圖象一定過原點”是假命題的一個函數(shù)是f(x)＝________．解析：舉出x＝0不在定義域內(nèi)的奇函數(shù)即可，如f(x)＝eq\f(1,x).答案：eq\f(1,x)(答案不唯一)7．已知f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)＝x2＋2x，則f(1)的值是________．解析：∵當(dāng)x<0時，f(x)＝x2＋2x，∴f(－1)＝－1，又f(x)是奇函數(shù)，故f(1)＝－f(－1)＝1.答案：18．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝1，若f(x＋a)≤1對x∈[－1，1]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：由題意，知f(x＋a)≤f(2)對x∈[－1，1]恒成立，即－2≤x＋a≤2對x∈[－1，1]恒成立，即－2－x≤a≤2－x對x∈[－1，1]恒成立．當(dāng)x∈[－1，1]時，(－2－x)max＝－2－(－1)＝－1，(2－x)min＝2－1＝1，所以－1≤a≤1，所以實數(shù)a的取值范圍是[－1，1]．答案：[－1，1]9．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.(1)王鵬同學(xué)認為，無論a取何值，f(x)都不可能是奇函數(shù)．你同意他的觀點嗎？請說明你的理由；(2)若f(x)是偶函數(shù)，求a的值；(3)在(2)的情況下，畫出y＝f(x)的圖象并指出其單調(diào)遞增區(qū)間．解：(1)我同意王鵬同學(xué)的觀點．理由如下：假設(shè)f(x)是奇函數(shù)，則由f(a)＝a2＋3，f(－a)＝a2－4|a|＋3，可得f(a)＋f(－a)＝0，即a2－2|a|＋3＝0，顯然a2－2|a|＋3＝0無解，∴f(x)不可能是奇函數(shù)．(2)若f(x)為偶函數(shù)，則有f(a)＝f(－a)，即a2＋3＝a2－4|a|＋3，解得a＝0.經(jīng)驗證，此時f(x)＝x2－2|x|＋3是偶函數(shù)．(3)由(2)知f(x)＝x2－2|x|＋3，其圖象如圖所示，由圖可得，其單調(diào)遞增區(qū)間是(－1，0)和(1，＋∞)．10．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(b＋1)x＋1是定義在[a－2，a]上的偶函數(shù)，g(x)＝f(x)＋|x－t|，其中a，b，t均為常數(shù)．(1)求實數(shù)a，b的值；(2)試討論函數(shù)g(x)的奇偶性；(3)若－eq\f(1,2)≤t≤eq\f(1,2)，求函數(shù)g(x)的最小值．解：(1)由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2＋a＝0，,b＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1.))(2)由(1)得g(x)＝x2＋|x－t|＋1，x∈[－1，1]．當(dāng)t＝0時，g(x)＝x2＋|x|＋1＝g(－x)，則函數(shù)g(x)為偶函數(shù)；當(dāng)t≠0時，g(x)為非奇非偶函數(shù)．(3)g(x)＝f(x)＋|x－t|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x－t＋1，t≤x≤1，,x2－x＋t＋1，－1≤x<t，))所以函數(shù)g(x)在[t，1]上單調(diào)遞增，則g(x)min＝g(t)＝t2＋1；函數(shù)g(x)在[－1，t]上單調(diào)遞減，則g(x)min＝g(t)＝t2＋1.綜上，函數(shù)g(x)的最小值為t2＋1.[B級綜合運用]11．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足對任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，則()A．f(x)是偶函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x)－1是偶函數(shù) D．f(x)－1是奇函數(shù)解析：選D法一：根據(jù)題意，對任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，令x1＝x2＝0，可得f(0)＝2f(0)－1，解得f(0)＝1.再令x1＝－x，x2＝x，則有f(0)＝f(x)＋f(－x)－1，整理可得f(x)＋f(－x)＝2，因此函數(shù)f(x)既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，A、B錯誤；對于f(x)＋f(－x)＝2，變形可得[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0，因此函數(shù)f(x)－1是奇函數(shù)，故C錯誤，D正確．法二：設(shè)F(x)＝f(x)－1，由f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，可得f(x1＋x2)－1＝f(x1)－1＋f(x2)－1，則F(x1＋x2)＝F(x1)＋F(x2)．令x1＝x2＝0，得F(0)＝0；令x1＝x，x2＝－x，得F(0)＝F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)＝f(x)－1是奇函數(shù)，故選D.12．(2021·安徽師大附中高一月考)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定義在(－1，1)上的奇函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2,5).(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)用定義證明f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)；(3)解關(guān)于實數(shù)t的不等式f(t－1)＋f(t)<0.解：(1)因為函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定義在(－1，1)上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，得b＝0.又知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2,5)，所以eq\f(\f(1,2)a,1＋\f(1,4))＝eq\f(2,5)，解得a＝1，所以f(x)＝eq\f(x,1＋x2).(2)證明：任取x1，x2∈(－1，1)，且x1<x2，則f(x2)－f(x1)＝eq\f(x2,1＋xeq\o\al(2,2))－eq\f(x1,1＋xeq\o\al(2,1))＝eq\f(（x2－x1）（1－x1x2）,（1＋xeq\o\al(2,1)）（1＋xeq\o\al(2,2)）)，由于－1<x1<x2<1，所以－1<x1x2<1，即1－x1x2>0，所以eq\f(（x2－x1）（1－x1x2）,（1＋xeq\o\al(2,1)）（1＋xeq\o\al(2,2)）)>0，即f(x2)－f(x1)>0，所以f(x)在(－1，1)上是增函數(shù)．(3)因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(t－1)＋f(t)<0等價于f(t－1)<－f(t