2019中考壓軸試題9

2019中考數(shù)學(xué)壓軸題

43.(2017山東省威海市，第24題，11分)如圖，四邊形ABCD為一個矩形紙片，AB=3,BC=2,動點

P自D點出發(fā)沿DC方向運動至C點后停止,4ADP以直線AP為軸翻折，點D落在點D1的位置,設(shè)DP=x,

(3)求出y與x的函數(shù)表達式.

x(O<x<2)

2V13-42V10-2>=口+4”八

------------------(2<x<3)

【答案】(1)3；(2)3.(3)I2%

【分析】(1)根據(jù)折疊得出AD=AD1=2,PD=PDl=x,ZD=ZAD1P=9O°,在Rt^ABC中，根據(jù)勾股定理

求出AC,在RtZ\PCDl中，根據(jù)勾股定理得出方程，求出即可；

(2)連接PE,求出BE=CE=1,在RtAABE中，根據(jù)勾股定理求出AE,求出AD1=AD=2,PD=PDl=x,D1E=&°

-2,PC=3-x,在RtZiPDIE和RtZ\PCE中，根據(jù)勾股定理得出方程，求出即可；

(3)分為兩種情況：當0VxW2時，y=x；當2VxW3時，點D1在矩形ABCD的外部，PD1交AB于F,

求出AF=PF,作PGJLAB于G,設(shè)PF=AF=a,在Rt^PFG中，由勾股定理得出方程(x-a)2+22=a2,求

出a即可.

【解析】(1)如圖1,?.,由題意得:AADP^AADIP,.\AD=AD1=2,PD=PDl=x,ZD=ZAD1P=9O°,;

直線AD1過C,APDllAC,在RtAABC中，AC=《*+寸=屈,CD1=^-2,在RtAPCDl中，

2岳-42舊-4

PC2=PD12+CD12,即(3-x)2=x2+(屈-2)2,解得：x=3，二當x=3時，直線AD1

過點C；

(2)如圖2,連接PE,'.任為BC的中點，，BE=CE=1,在RtaABE中,AE=NAB、BE?=W，?:AD1=AD=2,

PD=PDl=x,...DlE=W-2,PC=3-x,在RtaPDlE和RtZiPCE中，x2+(W-2)2=(3-x)2+12,

2M-22V10-2

解得：x=3，，當x=3時，直線ADI過BC的中點E；

D

(3)①如圖3,當0VxW2時，y=x；

②如圖4,當2VxW3時,點如在矩形ABCD的外部,PD1交AB于F,；AB〃CD,N1=N2,YNl=

N3(根據(jù)折疊)，，/2=/3,，AF=PF,作PGLAB于G,設(shè)PF=AF=a,由題意得：AG=DP=x,FG=x-a,

4+x21x2x4+%2*+4

在RtZkPFG中，由勾股定理得：(x-a)2+22=a2,解得：a=2x,所以y=，2x=2x.

x(0<x<2)

3=恒+4

(2<x<3)

綜合上述,,2x

圖4

點睛：本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算

是解此題的關(guān)鍵，用了分類推理思想.

考點：四邊形綜合題；動點型；分類討論；分段函數(shù)；壓軸題.

44.(2017德州，第23題，10分)如圖1,在矩形紙片ABCD中，AB=3cm,AD=5cm,折疊紙片使B點

落在邊AD上的E處，折痕為PQ,過點E作EF〃AB交PQ于F,連接BF.

(1)求證：四邊形BFEP為菱形；

(2)當點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動；

①當點Q與點C重合時(如圖2),求菱形BFEP的邊長；

②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，求出點E在邊AD上移動的最大距離.

5

【答案】（1）證明見解析；（2）①§；②2.

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得出PB=PE,BF=EF,NBPF=NEPF,由平行線的性質(zhì)得出/BPF=NEFP,證

出NEPF=NEFP,得出EP=EF,因此BP=BF=EF=EP,即可得出結(jié)論；

（2）①由矩形的性質(zhì)得出BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,NA=ND=90°,由對稱的性質(zhì)得出CE=BC=5cm,

在RtACDE中，由勾股定理求出DE=4cm,得出AE=AD-DE=lcm；在RtAAPE中，由勾股定理得出方程，

5

解方程得出EP=3cm即可；

②當點Q與點C重合時，點E離點A最近，由①知，此時AE=lcm；當點P與點A重合時，點E離點A

最遠，此時四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm,即可得出答案.

【解析】（1）證明：???折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ,.?.點B與點E關(guān)于PQ對稱，

，PB=PE,BF=EF,ZBPF=ZEPF,又YEFaAB,二NBPF=NEFP,，NEPF=/EFP,，EP=EF,，BP=BF=EF=EP,

...四邊形BFEP為菱形；

⑵解:①?.?四邊形ABCD是矩形,.,.BC=AD=5cm,CD=AB=3cm,ZA=ZD=90°,?點B與點E關(guān)于PQ

,22

對稱，..CE=BC=5cm,itRtACDEDE=vCE-C7）=4cm>>\AE=AD-DE=5cm-4cm=lcm；

5

在RtZ\APE中，AE=1,AP=3-PB=3-PE,/.EP2=12+（3-EP）2,解得：EP=§cm,二菱形BFEP的邊長

5

為3cm；

②當點Q與點C重合時，如圖2：

點E離點A最近，由①知，此時AE=lcm；

當點P與點A重合時，如圖3所示：

點E離點A最遠，此時四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm,.?.點E在邊AD上移動的最大距離為2cm.

點睛：本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定、平行線的性質(zhì)、等腰

三角形的判定、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度.

考點：翻折變換（折疊問題）；四邊形綜合題；動點型；最值問題；壓軸題.

45.（2017山東省淄博市，第23題，9分）如圖，將矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，頂點B恰好與CD

邊上的動點P重合（點P不與點C,D重合），折痕為MN,點M,N分別在邊AD,BC±,連接MB,MP,

BP,BP與MN相交于點F.

（1）求證：△BFNS/^BCP；

（2）①在圖2中，作出經(jīng)過M,D,P三點的（要求保留作圖痕跡，不寫做法）；

②設(shè)AB=4,隨著點P在CD上的運動，若①中的。0恰好與BM,BC同時相切，求此時DP的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）①作圖見解析；②3.

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，MN垂直平分線段BP,即NBFN=90°,由矩形的性質(zhì)可得出NC=90°=

ZBFN,結(jié)合公共角/FBN=NCBP,即可證出△BFNs^BCP；

（2）①在圖2中，作MD、DP的垂直平分線，交于點0,以0D為半徑作圓即可；

②設(shè)。0與BC的交點為E,連接OB、0E,由△MDP為直角三角形，可得出AP為的直徑，根據(jù)BM

與。0相切，可得出MPLBM,進而可得出ABMP為等腰直角三角形，根據(jù)同角的余角相等可得出NPMD=

ZMBA,結(jié)合NA=NPMD=90°、BM=MP,即可證出△ABMgADMP（AAS）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出

DM=AB=4、DP=AM,設(shè)DP=2a,根據(jù)勾股定理結(jié)合半徑為直徑的一半，即可得出關(guān)于a的方程，解之即

可得出a值，再將a代入0P=2a中求出DP的長度.

【解析】（1）證明：???將矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，頂點B恰好與CD邊上的動點P重合，...MN

垂直平分線段BP,.".ZBFN=90°.

?四邊形ABCD為矩形，.?.NC=90°.

ZFBN=ZCBP,ABFN^ABCP.

（2）解：①在圖2中，作MD、DP的垂直平分線，交于點0,以0D為半徑作圓即可.如圖所示.

②設(shè)。。與BC的交點為E,連接OB、0E,如圖3所示.

?.?△MDP為直角三角形，，AP為。。的直徑，:BM與。0相切，/.MP±BM.

?.?MB=MP,.'△BMP為等腰直角三角形.

VZAMB+ZPMD=180°-ZAMP=90°,ZMBA+ZAMB=90°,/.ZPMD=ZMBA.

在△ABM和4DMP中，VZMBA=ZPMD,ZA=ZPMD=90°,BM=MP,.,.△ABM^AOMP（AAS）,.\DM=AB=4,

DP=AM.

設(shè)DP=2a,則AM=2a,OEM-a,BM=〃/+A"=2"+/.

____3_

VBM=MP=20E,<2,4+/=2x(4-a),解得：a=5,，DP=2a=3.

點睛：本題考查了相似三角形的判定、矩形的性質(zhì)、角的計算、切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性

質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合翻折的性質(zhì)，找出NC=90°=NBFN；（2）

①利用尺規(guī)作圖，畫出。0；②根據(jù)全等三角形的判定定理AAS證出AABM絲△DMP.

考點：圓的綜合題；動點型；翻折變換（折疊問題）；壓軸題.

46.（2017山東省青島市，第24題，12分）已知：RtZSEFP和矩形ABCD如圖①擺放（點P與點B重

合），點F,B（P）,C在同一直線上，AB=EF=6cm,BC=FP=8cm,ZEFP=90°,如圖②，4EFP從圖①的

位置出發(fā)，沿BC方向勻速運動，速度為lcm/s,EP與AB交于點G；同時，點Q從點C出發(fā)，沿CD方

向勻速運動，速度為lcm/s.過點Q作QMLBD,垂足為H,交AD于點M,連接AF,FQ,當點Q停止運

動時，△EFQ也停止運動.設(shè)運動時間為t(s)(0<t<6),解答下列問題：

(1)當t為何值時，PQ〃BD?

(2)設(shè)五邊形AFPQM的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)在運動過程中，是否存在某一時刻t,使‘五邊形刖：S矩形皿=9:8?若存在，求出t的值；若不

存在，請說明理由.

(4)在運動過程中，是否存在某一時刻t,使點M在線段PG的垂直平分線上？若存在，求出t的值;

若不存在，請說明理由.

EA__________DEAyp

B(P)B

圖①圖②

24

【答案】(1)-7；(2)y(0<t<6)；(3)t=2s；(4)t=17s.

CPCQ8-r_t

【分析】(1)如圖1中，當PQ〃BD時，CB8,可得86,解方程即可；

(2)如圖2中，當0VtV6時，S五邊形AFPQM=S梯形AFCD-SADMQ-SAPQC,由此計算即可解決

問題；

(3)假設(shè)存在，根據(jù)題意列出方程即可解決問題；

(4)如圖3中，連接MG、MP,作MK_LBC于K.理由勾股定理，根據(jù)MG=MP,列出方程即可解決問題;

CPCQ8-ft竺24

【解析】(1)如圖1中，當PQ〃BD時，CBCD,86,7,7s時，PQ〃BD.

PA“D

(2)如圖2中，當0Vt<6時，y=S五邊形AFPQM=S梯形AFCD-SZ\DMQ-SaPQC

_L12

=2(8+8-t+8)*6-2?(6-t)*4(6-t)-2?(8-t)?t

15117

-t2--1-\----

822(0<t<6).

MD

圖2

—1~-----1H---------

(3)如圖2中，假設(shè)存在，則有(82248=9：8,解得t=2或18(舍棄)，，t=2s時，S

五邊形AFPQM：S矩形ABCD=9：8.

(4)存在.理由：如圖3中，連接MG、MP,作MKLBC于K.

222

易知：AG=6-4t.DQ=6-t,DM=KC=4(6-t),PK=8-t-4(6-t),MK=CD=6,,點M在PG的垂

33

*

直平分線上，.，.MG=MP,..AG2+AM2=PK2+MK2,(6-4t)2+[8-4(6-t)]2=62+[8-t-4(6-

3232

t）]2,解得t=F或0（舍棄），時，點M在線段PG的垂直平分線上.

點睛：本題考查四邊形綜合題、平行線分線段成比例定理、勾股定理、多邊形的面積等知識，解題的

關(guān)鍵是學(xué)會理由分割法求多邊形面積，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

考點：四邊形綜合題；動點型；存在型；壓軸題.

47.（2017南寧，第26題，10分）如圖，已知拋物線'="苫2-2氐與坐標軸交于人，B,C三點,

其中C（0,3）,NBAC的平分線AE交y軸于點D,交BC于點E,過點D的直線1與射線AC,AB分別

交于點M,N.

（1）直接寫出a的值、點A的坐標及拋物線的對稱軸；

（2）點P為拋物線的對稱軸上一動點，若4PAD為等腰三角形，求出點P的坐標；

11

---------1--------

（3）證明：當直線1繞點D旋轉(zhuǎn)時，AMAN均為定值，并求出該定值.

【答案】（1）a=3,A（-6，0）,拋物線的對稱軸為x=6；（2）點P的坐標為（百，0）或（6,

-4）；（3）2.

【分析】（1）由點C的坐標為（0,3）,可知-9a=3,故此可求得a的值，然后令y=0得到關(guān)于x的

方程，解關(guān)于X的方程可得到點A和點B的坐標，最后利用拋物線的對稱性可確定出拋物線的對稱軸;

（2）利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得NCA0=60°,依據(jù)AE為NBAC的角平分線可求得NDA0=30。，

然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得OD=1,則可得到點D的坐標.設(shè)點P的坐標為（6,a）.依據(jù)

兩點的距離公式可求得AD、AP、DP的長，然后分為AD=PA、AD=DP、AP=DP三種情況列方程求解即可;

（3）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+I,接下來求得點M和點N的橫坐標，于是可得到AN的長，然后利

用特殊銳角三角函數(shù)值可求得AM的長，最后將AM和AN的長代入化簡即可.

【解析】（1）VC（0,3）,-9a=3,解得：a=3.

令y=0得：奴-9a=0,?.?awo,.?.》2-2瓜-9=0,解得：x=-6或x=35...點A的坐

標為（-百，0）,B（3百，0）,.?.拋物線的對稱軸為x=6.

（2）,.,0A=6,OC=3,.,.tanZCAO=^,AZCA0=60°.

正

：AE為NBAC的平分線，.,.ZDA0=30°,.\D0=3AO=1,.,.點D的坐標為（0,1）.

設(shè)點P的坐標為（6,a）.

依據(jù)兩點間的距離公式可知:AD2=4,AP2=12+a2,DP2=3+（a-1）2.

當AD=PA時,4=12+a2,方程無解.

當AD=DP時，4=3+（a-1）2,解得a=0或a=2（舍去），，點P的坐標為（6,0）.

當AP=DP時,12+a2=3+（a-1）2,解得a=-4,.?.點P的坐標為（百，-4）.

綜上所述，點p的坐標為（6,0）或（G,-4）.

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=mx+3,將點A的坐標代入得：-&加+3=0,解得：?1=追，.?.直線AC

的解析式為丁=島+3.

設(shè)直線MN的解析式為y=kx+l.

_1_1一尿-1

把y=0代入y=kx+l得：kx+l=O,解得：x=左，.,.點N的坐標為（％,0）,.，.AN=k=k

22

將曠=瓜+3與丫=1?+1聯(lián)立解得：x=Z-G,...點M的橫坐標為"

二r+百

過點M作MGJ_x軸，垂足為G.貝I」AG=%-13

義+26

VZMAG=60°,ZAGM=90°,，AM=2AG=々一G=13,

11k-6]k3k瓜瓜-D6

+

：.~\M~\N=2^k-2辰-l=2y/3k-2=2(^-1)=~T

點睛：本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函

數(shù)的解析式，分類討論是解答問題(2)的關(guān)鍵，求得點M的坐標和點N的坐標是解答問題(3)的關(guān)

鍵.

考點：二次函數(shù)綜合題；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；定值問題；動點型；分類討論；壓軸題.

48.(2017廣西桂林市，第26題，12分)已知拋物線M+法-46/。)與x軸交于點A(-1,

0)和點B(4,0).

(1)求拋物線切的函數(shù)解析式；

(2)如圖①，將拋物線片沿x軸翻折得到拋物線為，拋物線必與y軸交于點。點D是線段BC上的

一個動點，過點D作DE〃y軸交拋物線/于點E,求線段DE的長度的最大值；

(2)在(2)的條件下，當線段DE處于長度最大值位置時，作線段BC的垂直平分線交DE于點F,垂

足為H,點P是拋物線為上一動點，OP與直線BC相切，且SG)P：SADFH=2n,求滿足條件的所有點

P的坐標.

VAy個

備用圖

【答案】(1)M=Y-3X-4；(2)9;(3)(2+&，_V6),(2-"，瓜),(2+0，4-72),(2—夜，

4+V2).

【分析】⑴將點A(-1,0)和點B(4,0)代入弘=加+辰一4即可得到結(jié)論；

(2)由對稱性可知，得到拋物線y2的函數(shù)解析式為＞2=—一+3%+4,求得直線BC的解析式為：y=

-x+4,設(shè)D(m,-m+4),E(m,m1-3m-A-),其中0WmW4,得至I」DE=-m+4-(m2-3/?-4)=一(旅一+9,

即可得到結(jié)論；

(3)由題意得到aBOC是等腰直角三角形，求得線段BC的垂直平分線為y=x,由(2)知，直線DE

的解析式為x=l,得到H(2,2),根據(jù)SOP：SADFH=2n,得到r=&,由于。P與直線BC相切，推

出點P在與直線BC平行且距離為近的直線上，于是列方程即可得到結(jié)論.

【解析】(1)將點A(-1,0)和點B(4,0)代入％=加+云-4得：a=i,b=-3,...拋物線yl的

函數(shù)解析式為：M=/—3X-4；

(2)由對稱性可知，拋物線y2的函數(shù)解析式為：必=-/+3》+4,"(0,4),設(shè)直線BC的解析

式為：y=kx+q,把B(4,0),C(0,4)代入得，k=-1,q=4,...直線BC的解析式為：y=-x+4,設(shè)

22

D(m,-m+4),E(m,3吁4),其中0WmW4,，DE=-m+4-(m-3m-4)=-(w-l)+9f70

WmW4,.?.當m=l時，DEmax=9；止匕時，D(1,3),E(1,-6)；

(3)由題意可知，ABOC是等腰直角三角形，...線段BC的垂直平分線為：y=x,由(2)知，直線DE

的解析式為:x=l,AF(b1),'.飛是BC的中點，；.H(2,2),；.DH=亞,FH=^,.,.SADFH=1,

設(shè)。P的半徑為r,?.?SOP：SADFH=2n,:.「=也,；OP與直線BC相切，.?.點P在與直線BC平行

且距離為&的直線上，.?.點P在直線y=-x+2或y=-x+6的直線上，?.?點P在拋物線%=一一+3%+4

上，，

22

-x+2=-x+3x+4,解得：xl=2+#,X2=2-V6>-x+6=-x+3x+4,解得:x3=2+x/2,X4=2-V2,

,符合條件的點P坐標有4個，分別是(2+而，-八)，(2-6，V6),(2+V2.4-V2),(2-V2,

點睛：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，折疊的性質(zhì)，二次函數(shù)的最大值問題，等腰直角三角

形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

考點：二次函數(shù)綜合題；翻折變換(折疊問題)；最值問題；二次函數(shù)的最值；動點型；分類討論；

壓軸題.

49.(2017廣西玉林崇左市，第26題，12分)如圖，一次函數(shù)丫=>+5(4<0)的圖象與坐標軸交

于A,B兩點，與反比例函數(shù),一"(網(wǎng)＞°)的圖象交于M,N兩點，過點M作MC_Ly軸于點C,已知

CM=1.

(1)求玲一占的值;

AM_1

(2)若俞一Z,求反比例函數(shù)的解析式；

(3)在(2)的條件下，設(shè)點P是x軸(除原點0外)上一點，將線段CP繞點P按順時針或逆時針

旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ,當點P滑動時，點Q能否在反比例函數(shù)的圖象上？如果能，求出所有的點Q

的坐標；如果不能，請說明理由.

【答案】(1)5；(2))*；(3)點Q的坐標為(2+2血，-2+28)或(2-2夜，-2-2亞)或

(-2,-2).

_匕

y-----

【分析】(1)根據(jù)點M的坐標代入反比例關(guān)系：.x中，可得結(jié)論；

AMCM

(2)根據(jù)△ACMs/\ADN,得病一加一)，由CM=1得DN=4,同理得N的坐標，代入反比例函數(shù)式中

可得k2的值；

(3)如圖2,點P在x軸的正半軸上時，繞P順時針旋轉(zhuǎn)到點Q,根據(jù)△COPgAPHQ,得CO=PH,OP=QH,

設(shè)P(x,0),表示Q(x+4,x),代入反比例函數(shù)的關(guān)系式中可得Q的兩個坐標；

如圖3,點P在x軸的負半軸上時；

如圖4,點P在x軸的正半軸上時，繞P逆時針旋轉(zhuǎn)到點Q,同理可得結(jié)論.

【解析】(1)如圖1,YMCLy軸于點C,且CM=L的橫坐標為1,當x=l時,y=kl+5,AM(1,

kl+5),在反比例函數(shù)的圖象上，IX(kl+5)=k2,.*.k2-kl=5；

AMCM

(2)如圖1,過N作ND_Ly軸于D,，CM〃DN,.?.△ACMs/\ADN,.A4V一/一月，DN=4,

當x=4時，y=4kl+5,AN(4,4kl+5),.*.4(4kl+5)=k2①，由(1)得:k2-kl=5,；.kl=k2-5②,

y=~4

把②代入①得：4(4k2-20+5)=k2,k2=4,.?.反比例函數(shù)的解析式：*；

(3)當點P滑動時，點Q能在反比例函數(shù)的圖象上；

如圖2,CP=PQ,ZCPQ=90°,過Q作QHJ_x軸于H,易得：ZlsCOP四△PHQ,.,.CO=PH,OP=QH,由(2)

y=—4

知：反比例函數(shù)的解析式：X;

當x=l時，y=4,AM(1,4),.*.0C=PH=4,設(shè)P(x,0),AQ(x+4,x),當點Q落在反比例函數(shù)的圖

象上時，x(x+4)=4,x2+4x+4=8,x=-2±2&,當x=-2+2后時，x+4=2+2&,如圖2,Q(2+2&,

-2+20)；

當x=-2-2&時，x+4=2-2及，如圖3,Q(2-2及，-2-272).

如圖4,CP=PQ,NCPQ=90°,設(shè)P(x,0),過P作GH〃y軸，過C作CGLGH,過Q作QHLGH,易得:

△CPG^APQH,.*.PG=QH=4,CG=PH=x,，Q(x-4,-x),同理得：-x(x-4)=4,解得：xl=x2=2,

.,.Q(-2,-2),綜上所述，點Q的坐標為(2+2&,-2+2&)或(2-20,-2-20)或(_

點睛：本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，考查了含字母系數(shù)的兩函數(shù)關(guān)系式的有關(guān)問題，與三

角形全等和相似相結(jié)合，列比例式或點的坐標在函數(shù)圖象上列等式可解決問題，第三問有難度，畫出

圖形是關(guān)鍵.

考點：反比例函數(shù)綜合題；存在型；動點型；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；壓軸題.

50.(2017江蘇省宿遷市，第26題，10分)如圖，在矩形紙片ABCD中，已知AB=1,BC=6,點E在

邊CD上移動，連接AE,將多邊形ABCE沿直線AE翻折，得到多邊形AB'C'E,點B、C的對應(yīng)點分

別為點夕、C'.

(1)當夕C'恰好經(jīng)過點D時(如圖1),求線段CE的長；

(2)若B'C分別交邊AD,CD于點F,G,且NDAE=22.5°(如圖2),求△DFG的面積；

(3)在點E從點C移動到點D的過程中，求點C'運動的路徑長.

f

BBf

2

【答案】（I）CE=&—71

-2；(2)2；(3)3

ADDB'

【分析】（1）如圖1中，設(shè)CE=EC'=x,則DE=l-x,由AADB''^ADEC,可得七。，列出方

程即可解決問題；

（2）如圖2中，首先證明aADB',△DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解決問題；

（3）如圖3中，點C的運動路徑的長為CC'的長，求出圓心角、半徑即可解決問題.

【解析】（1）如圖1中，設(shè)CE=EC'夕,貝ijDE=l-x,?「NZD5'+Z.EDC=90°,/B,AD+NADB'=90°,

"B'AD=』EDC',<3=NC'=90°,AB,=AB=\,AD=43,:.DB'=7^=1=0,—DB'

SAD七，二天窗...W，.”指-2,.6m-2.

(2)如圖2中，':4BAD=/B'=ZD=9Q0,ND4￡=22.5°，;./EAB=/EAB‘=67.5°,：.AB'AF=

乙B'￡4=45°，,ND尸G=4F3'=ZZ>GF=45°,：.DF=DG,在RtAH'尸中，4B'=FB'=1,

AJ^A/2.45'=ii/2,.,.DF=DG=5/3-V2).,.S^j)FG=—(^fi—y/2')*=^—y/6.

CD也

(3)如圖3中，點C的運動路徑的長為°C'的長，在RtZXADC中，?.,tanNDAC=A。3,.".ZDAC=30°,

60^x22

—TV

AC=2CD=2,'：ZCAD=ZDAC=30°,/.ZCAC*=60°,CC'的長=180=3

點睛：本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、弧長公式等知識,

解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會用構(gòu)建方程的思想思考問題.屬于中考壓軸題.

考點：四邊形綜合題；翻折變換（折疊問題）；動點型；壓軸題.

51.(2017江蘇省連云港市，第26題，12分)如圖，已知二次函數(shù)＞=ax2+"+3(a^0)的圖象經(jīng)過

點A(3,0),B(4,1),且與y軸交于點C,連接AB、AC、BC.

(1)求此二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)判斷AABC的形狀；若△ABC的外接圓記為。M,請直接寫出圓心M的坐標；

(3)若將拋物線沿射線BA方向平移，平移后點A、B、C的對應(yīng)點分別記為點Al、Bl、Cl,AA1B1C1

的外接圓記為。Ml,是否存在某個位置，使。Ml經(jīng)過原點？若存在，求出此時拋物線的關(guān)系式；若不

存在，請說明理由.

1,511+后、，17-4VH)

y=—x——x+3yz=—(x--------)~---------

【答案】(1).22；(2)直角三角形，M(2,2)；⑶228或

l-Vi0.217+4而

^廠一一L

【分析】(1)直接利用待定系數(shù)法求出a,b的值進而得出答案；

(2)首先得出N0AC=45°,進而得出AD=BD,求出N0AC=45°,即可得出答案；

(3)首先利用已知得出圓M平移的長度，進而得出拋物線的平移規(guī)律，即可得出答案.

1\a=—1

i2

\9a+3/?+3=05

【解析】(1)把點A(3,0),B(4,1)代入k++反+3中，得：卜6a+46+3=1,解得：/一5,,

15°

y=—x2——x+3

所以所求函數(shù)關(guān)系式為：.22；

(2)AABC是直角三角形，過點B作BD_Lx軸于點D,易知點C坐標為：(0,3),所以0A=0C,所以

Z0AC=45°,又?.?點B坐標為:(4,1),/.AD=BD,/.Z0AC=45°,/.ZBAC=180°-45°-45°=90°,

.'.△ABC是直角三角形，圓心M的坐標為：(2,2)；

(3)存在.取BC的中點M,過點M作ME_Ly軸于點E,=M的坐標為：(2,2),...MC=6+F=日,

0M=2V2,.-.ZM0A=45°,又?.?/BAD=45°,...OMaAB,...要使拋物線沿射線BA方向平移，且使。Ml

經(jīng)過原點，則平移的長度為：2夜-石或2&+石;

242-75_4-V10

???/BAD=45°,.?.拋物線的頂點向左、向下均分別平移F~個單位長度

亞亞="叵-合+3=售32」

或722個單位長度，222楞28,...平移后拋物線的關(guān)系式為:

l|_5+4LV101一業(yè)l|.Wi017-4癡

?2攝2282,即，2攝28

_嘴54+加214+7101霜1-M'17+4V10

y=—.fi---------------------------

或2攝2282即2攝28

綜上所述，存在一個位置,使。Ml經(jīng)過原點，此時拋物線的關(guān)系式為:

1-呵217+45/10

8

點睛：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及二次函數(shù)的平移、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，正確得出

圓M的平移距離是解題關(guān)鍵.

考點：二次函數(shù)綜合題；平移的性質(zhì)；動點型；存在型；壓軸題.

52.(2017浙江省紹興市，第24題，14分)如圖1,已知DABCD,AB〃x軸，AB=6,點A的坐標為(1,

-4),點D的坐標為(-3,4),點B在第四象限，點P是DABCD邊上一個動點.

(1)若點P在邊BC上，PD=CD,求點P的坐標.

(2)若點P在邊AB、AD上，點P關(guān)于坐標軸對稱的點Q，落在直線丁=1一1上，求點P的坐標.

(3)若點P在邊AB,AD,CD上，點G是AD與y軸的交點，如圖2,過點P作y軸的平行線PM,過

點G作x軸的平行線GM,它們相交于點M,將4PGM沿直線PG翻折，當點M的對應(yīng)點落在坐標軸上時,

求點P的坐標(直接寫出答案).

3

【答案】(1)P(3,4)；(2)(-3,4)或(-1,0)或(5,-4)或(3,-4)；(3)P(2,-4)或(-2,

述述

3)或(-5,4)或(5,4).

【分析】(1)點P在BC上，要使PD=CD,只有P與C重合；

(2)首先要分點P在邊AB,AD上時討論，根據(jù)“點P關(guān)于坐標軸對稱的點Q"，即還要細分“點P

關(guān)于x軸的對稱點Q和點P關(guān)于y軸的對稱點Q”討論，根據(jù)關(guān)于x軸、y軸對稱點的特征(關(guān)于x

軸對稱時，點的橫坐標不變，縱坐標變成相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱時，相反；)將得到的點Q的坐標代

入直線y=x-l,即可解答；

(3)在不同邊上，根據(jù)圖象，點M翻折后，點M'落在x軸還是y軸，可運用相似求解.

【解析】(1)?；CD=6,...點P與點C重合，.?.點P的坐標是(3,4).

(2)①當點P在邊AD上時，由已知得，直線AD的函數(shù)表達式為：丁=-2》-2,設(shè)pg,-2a-2),

且-3WaW1.

若點P關(guān)于x軸對稱點QI(a,2a+2)在直線y=xT上，...22+2=2-1,解得a=-3,此時P(-3,4).

若點P關(guān)于y軸對稱點Q2(-a,-2a-2)在直線y=x-l±,：.-2a-2=-a~l,解得a=-l,此時P(-1,0).

②當點P在邊AB上時，設(shè)P(a,-4),且lWaW7.

若點P關(guān)于x軸對稱點Q3(a,4)在直線y=x-l上，.Mua-l,解得a=5,此時P(5,-4).

若點P關(guān)于y軸對稱點Q4(-a,-4)在直線y=x-l上，.?.-4=-aT,解得a=3,此時P(3,-4).

綜上所述，點P的坐標為(-3,4)或(-1,0)或(5,-4)或(3,-4).

(3)因為直線AD為y=-2x-2,所以G(0,-2).

①如圖，當點P在CD邊上時，可設(shè)P(m,4),且-3Wm<3,則可得M'P=PM=4+2=6,M'G=GM=|m|,

OM'GM'即等—同

易證得△OGM'^AHMZP,則HP-M'P,在RtZ\OGM'中，由勾股

定理得，(刎，解得-竿或半，則P(一竿，4)或(竿，4)；

②如下圖，當點P在AD邊上時，設(shè)P(m,-2m-2),則PM'=PM=-2m|,GM'=MG=|m|,易證得△OGM'

OM'GM'OM'_\m\]

即卜2m-2|卜2時，則OM，=5回+2,在RQOGM，中，由勾股定理

/△HM'P,則HPM'P

(-|2//2+2|)2+22=m2--

1

得，2,整理得1n=-2,則p"2,3)；

如下圖，當點P在AB邊上時，設(shè)P（m,-4）,此時M'在y軸上，則四邊形PM'GM是正方形，所以

GM=PM=4-2=2,則P（2,-4）.

5述述

綜上所述，點P的坐標為（2,-4）或（-2,3）或（-5,4）或（5,4）.

點睛：本題考查一次函數(shù)綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、翻折變換、勾股定理、正方形的判定和性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

考點：一次函數(shù)綜合題；平行四邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）；動點型；分類討論；壓軸題.

53.（2017天門，第25題，12分）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD的邊AD在x軸上，點C

在y軸的負半軸上，直線BC〃AD,且BC=3,0D=2,將經(jīng)過A、B兩點的直線1：y=-2x-10向右平移，

平移后的直線與x軸交于點E,與直線BC交于點F,設(shè)AE的長為t（t20）.

（1）四邊形ABCD的面積為；

（2）設(shè)四邊形ABCD被直線1掃過的面積（陰影部分）為S,請直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)解析式；

（3）當t=2時，直線EF上有一動點，作PMJ_直線BC于點M,交x軸于點N,將APME沿直線EF折

疊得到APTF,探究：是否存在點P,使點T恰好落在坐標軸上？若存在，請求出點P的坐標；若不存

在，請說明理由.

4f(0<r<3)

1,9

S=］一一產(chǎn)+7f——(3<r<7)

2282

【答案】(1)20；(2)120(欄7)；⑶P(-6,6)或P(-§,-3).

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)解析式得到0A=5,求得AC=7,得到0C=4,于是得到結(jié)論；

(2)①當0<t<3時，根據(jù)已知條件得到四邊形ABFE是平行四邊形，于是得到S=AE?0C=4t；

②當3WtV7時，如圖1,求得直線CD的解析式為：y=2x-4,直線E'F'的解析式為：y=-2x+2t

-10,解方程組得到G的坐標，于是得到S=S四邊形ABCD-SaDE'G；

③當t27時，S=S四邊形ABCD=20；

(3)當t=2時，點E,F的坐標分別為(-3,0),(-1,-4),此時直線EF的解析式為：y=-2x-

6,設(shè)動點P的直線為(m,-2m-6),求得PM=|(-2m-6)-(-4)|=2|m+l|,PN=(-2m-6|=2

(m+3|,FM=|m-(-1)|=|m+l,分兩種情況討論：

①假設(shè)直線EF上存在點P,使點T恰好落在x軸上，如圖2,連接PT,FT；

②假設(shè)直線EF上存在點P,使點T恰好落在y軸上，如圖3,連接PT,FT,根據(jù)全等三角形的判定性

質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解析】(1)在y=-2x-10中，當y=0時，x=-5,AA(-5,0),.,.0A=5,/.AC=7,把x=-3代入

y=-2x-10得，y=-4,.\0C=4,四邊形ABCD的面積=5(3+7)X4=20；

故答案為：20；

(2)①當0WtW3時，VBC//AD,AB〃EF,，四邊形ABFE是平行四邊形，，S=AE?0C=4t；

②當3WtV7時，如圖1,VC(0,-4),D(2,0),.?.直線CD的解析式為：y=2x-4,VE,F'//

AB,BF'〃AE'

y=2x-4

<

...BF'=AE=t,(t-3,-4),直線E'F'的解析式為：y=-2x+2t-10,解3=一2%+2-10得,

t-3

x=---

2r-3112-9

_.r---——t+71—

y=i,：.G(2,t-7),...S=S四邊形ABCD-SZXDE'G=20-2義(7-t)X(7-t)=22,

③當t27時,S=S四邊形ABCD=20；

4z(0<r<3)

19

S=\r27+7r--(3</<7)

22

20(Z>7)

綜上所述：S關(guān)于t的函數(shù)解析式為:

(3)當t=2時，點E,F的坐標分別為(-3,0),(-1,-4),此時直線EF的解析式為：y=-2x-

6,設(shè)動點P的直線為(m,-2m-6),?.'PM，直線BC于M,交x軸于n,AM(m,-4),N(m,0),

APM=|(-2m-6)-(-4)|=2|m+l|,PN=(-2m-6|=2(m+3|,FM=|m-(-1)|=|m+l,分兩種

情況討論：

①假設(shè)直線EF上存在點P,使點T恰好落在x軸上，如圖2,連接PT,FT,則4PFM絲△PFT,，

-P-T-N-T-=-P--T

PT=PM=2|m+l|,FT=FM=|m+l|,FT=2,作FK±x軸于K,則KF=4,由△TKFs/^PNT得，KFTF=2,

；.NT=2KF=8,VPN2+NT2=PT2,A4(m+3)2+82=4(m+1)2,解得:m=-6,A-2m-6=-6,此時，P

(-6,6)；

②假設(shè)直線EF上存在點P,使點T恰好落在y軸上，如圖3,連接PT,FT,則APPM四△PFT,二

PTHTPT

PT=PM=21m+11,FT=FM=|m+11,FT=2,作PH_Ly軸于H,則PH=|m|,由△TFCsaPTH得，CFTF

8

=2,.\HT=2CF=2,'：HT2+PH2=PT2,即級+/=4加切，，解得：m=-3,m=0(不合題意，舍去),

81828

???m=-§時，-2m-6=-3,，P(-§,-3),綜上所述：直線EF上存在點P(-6,6)或P(-§,

2

-3）使點T恰好落在y軸上.

點睛：本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，

勾股定理，求函數(shù)的解析式，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

考點：一次函數(shù)綜合題；分段函數(shù)；動點型；分類討論；壓軸題.

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