半角模型綜合應(yīng)用（能力提升）

專題06半角模型綜合應(yīng)用（能力提升）如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CD，BC上，且∠EAF＝45°，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，連接BD交AF于點(diǎn)M，DE＝2，BF＝3，則GM＝．【答案】2【解答】解：連接GE交AF于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABF＝∠ADE＝∠C＝90°，AB＝AD＝BC＝DC，AD∥BC，∵∠EAF＝45°，∴∠BAF+∠DAE＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，由旋轉(zhuǎn)得：AE＝AG，∠ABF＝∠ADE＝90°，BG＝DE＝2，∠BAG＝∠DAE，∴∠BAG+∠BAF＝45°，∴∠GAF＝∠EAF＝45°，∵∠ABF＝∠ABG＝90°，∴∠GBC＝∠ABG+∠ABF＝180°，∴點(diǎn)G、B、F三點(diǎn)在同一條直線上，∵BF＝3，∴FG＝BG+BF＝2+3＝5，∴△GAF≌△EAF（SAS），∴FG＝FE＝5，設(shè)正方形ABCD的邊長為x，∴CF＝x﹣3，CE＝x﹣2，在Rt△ECF中，F(xiàn)C2+EC2＝EF2，∴（x﹣3）2+（x﹣2）2＝52，∴x＝6或x＝﹣1（舍去），∴正方形ABCD的邊長為6，在Rt△ABF中，AF＝＝＝3，∵AD∥BC，∴∠DAM＝∠MFB，∠ADM＝∠MBF，∴△ADM∽△FBM，∴＝＝＝2，∴AM＝AF＝2，在Rt△ADE中，AE＝＝＝2，∵AG＝AE，F(xiàn)G＝FE，∴AF是EG的垂直平分線，∴∠AOE＝90°，∵∠EAF＝45°，∴AE＝AO，∴AO＝2，∴點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，∴EG＝2GM，在Rt△ECG中，EC＝DC﹣DE＝6﹣2＝4，GC＝BC+GB＝6+2＝8，∴EG＝＝＝4，∴GM＝2，故答案為：2．2．如圖：已知正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)M、N分別在DC、BC上，且滿足∠MAN＝45°，△CMN的周長為2，則△CMN面積的最大值是．【答案】3﹣2【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，CD＝CB；如圖，將△ABN繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ADE，∴AE＝AN，DE＝BN，∠DAE＝∠BAN；∴∠MAE＝∠MAD+∠BAN，∵∠MAN＝45°，∴∠MAD+∠BAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAE＝∠MAN；在△MAE與△MAN中，，∴△MAE≌△MAN（SAS），∴ME＝MN，∴MD+BN＝MN；∴△MCN的周長＝CM+CN+MN＝CM+ME+CN＝CM+DM+CN+BN＝CD+CB＝2，而CD＝CB，∴CD＝CB＝1；設(shè)DM＝x，BN＝y(tǒng)，△CMN的面積為s，則S＝＝，整理得：x+y﹣xy＝1﹣2S①；由勾股定理得：MN2＝CM2+CN2，即（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2，整理得：x+y+xy＝1②，聯(lián)立①②得：xy＝s，x+y＝1﹣s，∴x、y為方程z2﹣（1﹣s）z+s＝0的兩個(gè)根，∴△≥0，即[﹣（1﹣s）]2﹣4s≥0，解得：s或s（不合題意，舍去），故答案為3﹣2．3．旋轉(zhuǎn)變換是解決數(shù)學(xué)問題中一種重要的思想方法，通過旋轉(zhuǎn)變換可以將分散的條件集中到一起，從而方便解決問題．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)D、E在邊BC上，且．（1）如圖a，當(dāng)α＝60°時(shí)，將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AFB的位置，連結(jié)DF．①∠DAF＝；②求證：DF＝DE；（2）如圖b，當(dāng)α＝90°時(shí)，猜想BD、DE、CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】（1）①解：由旋轉(zhuǎn)知，AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，∠EAF＝60°，∵∠DAE＝α，∠BAC＝α＝60°，∴∠DAE＝×60°＝30°，∴∠CAE+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝30°，∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝∠BAD+∠CAE＝30°，故答案為：30°；②證明：由①知，AF＝AE，∠DAF＝∠DAE＝30°，∵AB＝AC，∴△DAF≌△DAE（SAS），∴DF＝DE；（2）解：DE2＝BD2+CE2，理由如下：如圖，將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AFB的位置，連結(jié)DF，∴AF＝AE，∠EAF＝90°＝∠BAC，∴∠BAF＝∠CAE，∴△BAF≌△CAE（SAS），∴BF＝CE，∠ABF＝∠ACE，在Rt△ABC中，∠C＝∠ABC＝45°，∴∠ABF＝45°，∴∠DBF＝90°，根據(jù)勾股定理得，DF2＝BD2+BF2，∴DF2＝BD2+CE2，同（1）②的方法得，DF＝DE，∴DE2＝BD2+CE2．4．已知∠MBN＝60°，等邊△BEF與∠MBN頂點(diǎn)B重合，將等邊△BEF繞頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊EF所在直線與∠MBN的BN邊相交于點(diǎn)C，并在BM邊上截取AB＝BC，連接AE．（1）將等邊△BEF旋轉(zhuǎn)至如圖①所示位置時(shí)，求證：CE＝BE+AE；（2）將等邊△BEF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖②、圖③位置時(shí)，請(qǐng)分別直接寫出AE，BE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；（3）在（1）和（2）的條件下，若BF＝4，AE＝1，則CE＝．【解答】（1）證明：∵△BEF為等邊三角形，∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，∴∠EBA+∠ABF＝60°，∵∠MBN＝60°，∴∠CBF+∠ABF＝60°，∴∠EBA＝∠CBF，在△ABE與△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∵CE＝EF+CF，∴CE＝BE+AE；（2）解：圖②結(jié)論為CE＝BE﹣AE，圖③結(jié)論為CE＝AE﹣BE，圖②的理由如下：∵△BEF為等邊三角形，∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，∴∠EBA+∠ABF＝60°，∵∠MBN＝60°，∴∠CBF+∠ABF＝60°，∴∠EBA＝∠CBF，在△ABE與△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∵CE＝EF﹣CF，∴CE＝BE﹣AE，圖③的利用如下：∵△BEF為等邊三角形，∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°，∴∠EBA+∠ABF＝60°，∵∠MBN＝60°，∴∠CBF+∠ABF＝60°，∴∠EBA＝∠CBF，在△ABE與△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴AE＝CF，∵CE＝CF﹣EF，∴CE＝AE﹣BE；（3）解：在（1）條件下，CE＝BE+AE＝BF+AE＝4+1＝5；在（2）條件下，CE＝BE﹣AE＝BF﹣AE＝4﹣1＝3，綜上所述，CE＝3或5，故答案為：3或5．5．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊長分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，NH＝3，求AH的長．【解答】解：（1）如圖①AH＝AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，在△ABM與△ADN中，，∴△ABM≌△ADN，∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵AH⊥MN，∴∠MAH＝MAN＝22.5°，∵∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠BAM＝22.5°，在△ABM與△AHM中，，∴△ABM≌△AHM，∴AB＝AH；故答案為：AH＝AB；（2）數(shù)量關(guān)系成立．如圖②，延長CB至E，使BE＝DN．∵ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，在Rt△AEB和Rt△AND中，，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM，∴S△AEM＝S△ANM，EM＝MN，∵AB、AH是△AEM和△ANM對(duì)應(yīng)邊上的高，∴AB＝AH；（3）如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，分別延長BM和DN交于點(diǎn)C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD，設(shè)AH＝x，則MC＝x﹣2，NC＝x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，∴52＝（x﹣2）2+（x﹣3）2，解得x1＝6，x2＝﹣1（不符合題意，舍去）∴AH＝6．6．問題提出：如圖1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，點(diǎn)O為△ABC的外心，則△ABC的外接圓半徑是．問題探究：如圖2，正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD兩邊上點(diǎn)且∠EAF＝45°，請(qǐng)問線段BE、DF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．問題解決：如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，點(diǎn)E、F分別是射線CB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，并且∠EAF＝∠C＝60°，試問△AEF的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值．若不存在，請(qǐng)說明理由．【解答】解：（1）如圖1，作出△ABC的外接圓⊙O，∵∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BC＝10，∴OB＝sin45°×BC＝，故答案為：5．（2）EF＝BE+DF，理由如下：如圖2，延長EB，使BG＝DF，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠GAE＝45°，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝GE＝DF+BE，（3）存在最小值，如圖3，延長CB，使BG＝DF，∵∠ABC＝45°，∴∠ABG＝135°，∴∠ABG＝∠ADF，又∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，∵∠ABC＝45°，∠D＝135°，∠C＝60°，∴∠BAD＝120°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝60°，∴∠GAE＝60°，∴△GAE≌△FAE（SAS），在△AEF中，∵∠EAF＝60°，AH＝4，∴EF邊上的高AK＝4，畫△AEF的外接圓⊙O，作OM⊥EF于M，∵∠EAF＝60°，∴∠EOM＝60°，設(shè)OM＝x，EM＝，OE＝2x，EF＝2，∵OM+OA≥AK，∴x+2x≥4，∴x≥，∴EF的最小值為2×，∴S△AEF的最小值為．7．如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45度．則有結(jié)論EF＝BE+FD成立；（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF是∠BAD的一半，那么結(jié)論EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)說明理由．（2）若將（1）中的條件改為：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延長BC到點(diǎn)E，延長CD到點(diǎn)F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，則結(jié)論EF＝BE+FD是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．【解答】解：（1）延長CB到G，使BG＝FD，連接AG，∵∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAE，∴△AEF≌△AEG，∴EF＝EG＝EB+BG＝EB+DF．（2）結(jié)論不成立，應(yīng)為EF＝BE﹣DF，證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．8．已知，四邊形ABCD是正方形，∠MAN＝45°，它的兩邊AM、AN分別交CB、DC與點(diǎn)M、N，連接MN，作AH⊥MN，垂足為點(diǎn)H（1）如圖1，猜想AH與AB有什么數(shù)量關(guān)系？并證明；（2）如圖2，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，且BD＝2，CD＝3，求AD的長；小萍同學(xué)通過觀察圖①發(fā)現(xiàn)，△ABM和△AHM關(guān)于AM對(duì)稱，△AHN和△ADN關(guān)于AN對(duì)稱，于是她巧妙運(yùn)用這個(gè)發(fā)現(xiàn)，將圖形如圖③進(jìn)行翻折變換，解答了此題．你能根據(jù)小萍同學(xué)的思路解決這個(gè)問題嗎？【解答】（1）答：AB＝AH，證明：延長CB至E使BE＝DN，連接AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°又∵AB＝AD，∵在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴∠1＝∠2，AE＝AN，∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠2+∠3＝90°﹣∠MAN＝45°，∴∠1+∠3＝45°，即∠EAM＝45°，∵在△EAM和△NAM中，，∴△EAM≌△NAM（SAS），又∵EM和NM是對(duì)應(yīng)邊，∴AB＝AH（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等）；（2）作△ABD關(guān)于直線AB的對(duì)稱△ABE，作△ACD關(guān)于直線AC的對(duì)稱△ACF，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°∴∠E＝∠F＝90°，又∵∠BAC＝45°∴∠EAF＝90°延長EB、FC交于點(diǎn)G，則四邊形AEGF是矩形，又∵AE＝AD＝AF∴四邊形AEGF是正方形，由（1）、（2）知：EB＝DB＝2，F(xiàn)C＝DC＝3，設(shè)AD＝x，則EG＝AE＝AD＝FG＝x，∴BG＝x﹣2；CG＝x﹣3；BC＝2+3＝5，在Rt△BGC中，（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52解得x1＝6，x2＝﹣1，故AD的長為6．9.已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N．（1）如圖1，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，有BM+DN＝MN．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，如圖2，請(qǐng)問圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明，如果不成立，請(qǐng)說明理由；（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并證明．【解答】解：（1）圖1中的結(jié)論仍然成立，即BM+DN＝MN，理由為：如圖2，在MB的延長線上截取BE＝DN，連接AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠DAB＝∠ABC＝∠ABE＝90°，∵在△ABE和△ADN中，∴△ABE≌△ADN（SAS）．∴AE＝AN；∠EAB＝∠NAD，∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝∠BAM+∠EAB＝45°＝∠MAN，∵在△AEM和△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，∴MN＝ME＝BE+BM＝DN+BM，即DN+BM＝MN；（2）猜想：線段BM，DN和MN之間的等量關(guān)系為：DN﹣BM＝MN．證明：如圖3，在DN上截取DE＝MB，連接AE，∵由（1）知：AD＝AB，∠D＝∠ABM＝90°，BM＝DE，∴△ABM≌△ADE（SAS）．∴AM＝AE；∠MAB＝∠EAD，∵∠MAN＝45°＝∠MAB+∠BAN，∴∠DAE+∠BAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°＝∠MAN，∵在△AMN和△AEN中，∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN＝EN，∵DN﹣DE＝EN，∴DN﹣BM＝MN．10．已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與A重合，將此三角板繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩邊分別交直線BC、CD于M、N．（1）當(dāng)M、N分別在邊BC、CD上時(shí)（如圖1），求證