中國(guó)古代數(shù)學(xué)與西方數(shù)學(xué)有什么不同

中國(guó)古代數(shù)學(xué)與西方數(shù)學(xué)有什么不同？

中國(guó)古代對(duì)于世界的認(rèn)識(shí)是循環(huán)閉合的體系，千變?nèi)f化的現(xiàn)象背后存在著某種聯(lián)系，它們相互依賴(lài)；而西方對(duì)于世界的認(rèn)識(shí)是基于直鏈單向的因果，從一般的抽象化的概念與產(chǎn)生的衍生來(lái)解釋特殊的現(xiàn)象。這兩種思考導(dǎo)致了基本性的區(qū)別，那就是中國(guó)古代注重對(duì)于事物的理解，利用一個(gè)現(xiàn)象去解釋另一個(gè)現(xiàn)象，開(kāi)掘內(nèi)在關(guān)聯(lián)；而西方更注重于邏輯，建立一般理論將所有的現(xiàn)象統(tǒng)一于理論之下。進(jìn)而我們能理解，為何西方可以誕生近代公理化，高度抽象化的數(shù)學(xué)體系，而中國(guó)數(shù)學(xué)那么不成體系，以原始形態(tài)呈現(xiàn)在數(shù)學(xué)家面前。

基于以上理解，我們不難理解，雖然中西方數(shù)學(xué)的起源非常類(lèi)似，都是基于對(duì)于生活實(shí)踐中遇到的問(wèn)題進(jìn)行歸納和理性的處理，然而中國(guó)數(shù)學(xué)的開(kāi)展一直在延續(xù)前人的研究傳統(tǒng)，即以直觀現(xiàn)象或?qū)嵗秊楦祝⒓右赃\(yùn)用。

需要指出的是，西方近現(xiàn)代數(shù)學(xué)開(kāi)展〔從16世紀(jì)開(kāi)始〕，與西方現(xiàn)代科學(xué)開(kāi)展的傳統(tǒng)，并非是直接繼承從古希臘時(shí)期開(kāi)始，由幾何原本奠定下的公理化研究辦法。事實(shí)上當(dāng)我們考察無(wú)論是近代數(shù)學(xué)還是物理學(xué)的開(kāi)展之初，都基于對(duì)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的依賴(lài)和大膽的猜想與想象。從這一點(diǎn)上，中西方差別在于，西方率先使用一般的，抽象的方式來(lái)解釋特殊問(wèn)題，堅(jiān)信世界所有的現(xiàn)象可以被統(tǒng)一在數(shù)中。不僅如此，他們善于從復(fù)雜的現(xiàn)象中歸納出“優(yōu)美的性質(zhì)〞，并且堅(jiān)信優(yōu)美，簡(jiǎn)單的理論是世界的終極解釋。所以16世紀(jì)初，數(shù)學(xué)與科學(xué)的蓬勃開(kāi)展中，無(wú)不透露出對(duì)于這種樸素哲學(xué)觀的貫徹。比方開(kāi)普勒，早期的天文學(xué)，數(shù)學(xué)的探索者，在其重要著作?世界的和諧》中指出，將天文學(xué)與音樂(lè)完美結(jié)合在一起的可能性，并且被看作是世界的和諧。而這種樸素認(rèn)識(shí)論正是西方近現(xiàn)代科學(xué)的開(kāi)端。

第二個(gè)重要問(wèn)題是數(shù)學(xué)體系的建立和推演。必須成認(rèn)的一點(diǎn)是，在體系的建立和推演上，中西方數(shù)學(xué)早早地分道揚(yáng)鑣。以?九章算術(shù)》為例，從內(nèi)容上，中國(guó)古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的核心在于對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解釋和再利用，故而卷分類(lèi)以“方田〞，“粟米〞，“衰分〞“少?gòu)V〞，“商功〞等等實(shí)際生活場(chǎng)景進(jìn)行分類(lèi)。但是從數(shù)學(xué)內(nèi)容上，九章算術(shù)不僅處理了大量復(fù)雜問(wèn)題，而且包含了重要的哲學(xué)思想〔如極限，分割，組合等〕。最為流傳的例子即“祖暅原理〞，即判斷兩個(gè)物體的體積相同，可用“冪勢(shì)既同，那么積不容異〞這一原那么進(jìn)行判斷，并且利用這個(gè)原理求出“牟合方蓋〞體積〔所謂“牟合方蓋〞是指相同的兩個(gè)圓柱正交圍出的立體形〕而這個(gè)立體形的體積求解是無(wú)法用初等數(shù)學(xué)解決，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)應(yīng)使用微積分才能完全解決。而從其論述中，我們能看到樸素的積分思想，也展現(xiàn)了古代數(shù)學(xué)家杰出的數(shù)學(xué)直覺(jué)。同時(shí)，在研究的領(lǐng)域上有極大的彈性，從初等代數(shù)，初等數(shù)論到初等幾何學(xué)〔基于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)〕中的各個(gè)問(wèn)題都有涉獵，并且給出了認(rèn)識(shí)解決問(wèn)題的重要思考。如卷八方程篇的開(kāi)篇問(wèn)題，即利用方程組思想解決問(wèn)題，而以西方數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看，所利用的正是高斯消元法。再如廣為樂(lè)道的中國(guó)殘余定理，以及勾股定理，波及到了初等數(shù)學(xué)中大量重要核心命題。但是，從推導(dǎo)上，我們所給出的表達(dá)性解釋為主，而并非推導(dǎo)和計(jì)算。事實(shí)上，在?九章算術(shù)》中，只有遇到實(shí)際例子和少數(shù)公式上會(huì)進(jìn)行計(jì)算，而原理性?xún)?nèi)容作為理解出現(xiàn)。在這種情況下，數(shù)學(xué)的開(kāi)展僅僅依靠極少數(shù)數(shù)學(xué)家不加證明的洞察給出進(jìn)步，對(duì)于體系的開(kāi)展本身是致命的。

而在西方，數(shù)學(xué)的開(kāi)展在初期也是大膽而富有想象力的，不過(guò)他們并沒(méi)有停留于理解，而是用相對(duì)細(xì)致的邏輯鏈組織成數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述出來(lái)。數(shù)學(xué)的活力最早是在藝術(shù)家的手上復(fù)活，無(wú)論是繪畫(huà)〔透視畫(huà)法對(duì)射影幾何的影響〕，音樂(lè)理論開(kāi)展，激發(fā)了人們的思維。16,17世紀(jì)數(shù)學(xué)家的工作時(shí)常是不嚴(yán)謹(jǐn)，甚至也沒(méi)有任何數(shù)學(xué)公理根底的保證，如歐拉關(guān)于很多無(wú)窮級(jí)數(shù)的處理，都是基于一些樸素的認(rèn)識(shí)，從形式上獲得靈感便不加證明的使用。這個(gè)階段的數(shù)學(xué)，思想上的推動(dòng)力其實(shí)與中國(guó)古代數(shù)學(xué)家一樣，依賴(lài)于數(shù)學(xué)家的直覺(jué)進(jìn)行研究。但是，之所以西方數(shù)學(xué)在經(jīng)歷相似時(shí)期之后有爆炸性開(kāi)展，原因有二。其一，使用抽象符號(hào)對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行描述，使得數(shù)學(xué)從實(shí)際問(wèn)題中解放出來(lái)，可以自由地組合，用簡(jiǎn)單方式刻畫(huà)復(fù)雜事物，發(fā)揮想象力，不再受制于具象。其二，相對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)，西方數(shù)學(xué)家更重視邏輯鏈的建立，所以從因到果的過(guò)程更細(xì)致，為之后的研究打下堅(jiān)實(shí)鋪墊。而我們津津樂(lè)道的數(shù)學(xué)公理化與抽象化的工作都不是在早期完成，而是在18世紀(jì)開(kāi)始被越來(lái)越多數(shù)學(xué)家重視。分析學(xué)的誕生事實(shí)上就是數(shù)學(xué)家對(duì)于精細(xì)邏輯鏈的探索，為微積分打下堅(jiān)實(shí)理論根底，同時(shí)揭示了大量顯然命題正確性的由來(lái)，使得人們對(duì)微積分體系認(rèn)識(shí)更為深刻。與此同時(shí)物理學(xué)的蓬勃開(kāi)展推動(dòng)了大量計(jì)算技術(shù)的開(kāi)展，將微積分應(yīng)用至實(shí)際研究中去變成了一種共識(shí)。進(jìn)入19世紀(jì)后，一方面微積分席卷了幾乎原來(lái)所有的初等數(shù)學(xué)分支，另一方面近代代數(shù)學(xué)的開(kāi)展提供了抽象工具，如群論，用以解釋方程解而誕生的理論，所以接下來(lái)開(kāi)展的數(shù)學(xué)分支變成了群論，復(fù)變函數(shù)論，幾何學(xué)也煥發(fā)新的光輝。進(jìn)入20世紀(jì)后，無(wú)論是公理化還是抽象化的工作都到達(dá)了高峰，數(shù)學(xué)家意識(shí)到各個(gè)數(shù)學(xué)分支間是有緊密聯(lián)系的，拓?fù)鋵W(xué)，匯合論，抽象代數(shù)的開(kāi)展將零碎的研究和數(shù)學(xué)分支網(wǎng)羅在相互聯(lián)系的，統(tǒng)一的架構(gòu)中，真正成為一套體系。從這一點(diǎn)上，中國(guó)古代數(shù)學(xué)傳統(tǒng)是不可能演化出這樣的體系的，其原因不僅僅在于認(rèn)識(shí)論的不同，而是一個(gè)更深刻的問(wèn)題。

在?世界的重新發(fā)明》一文中提出，由于中國(guó)文化并未有真正的文化移植而導(dǎo)致中國(guó)科學(xué)的開(kāi)展注定是不夠好的論點(diǎn)，我是完全支持的。其一，截然不同的文化交流和碰撞會(huì)給兩個(gè)文明都帶來(lái)新的啟示。其二，西方的文字系統(tǒng)更適合抽象性思維，而漢語(yǔ)由于其強(qiáng)大的組合能力和良好的直觀性導(dǎo)致并未產(chǎn)生新的符號(hào)系統(tǒng)對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行描述，故而也很難進(jìn)行復(fù)雜抽象的計(jì)算與推導(dǎo)。但是筆者認(rèn)為，關(guān)鍵問(wèn)題在于，為何中國(guó)古代數(shù)學(xué)與西方數(shù)學(xué)體系為何沒(méi)有發(fā)生碰撞。從歷史時(shí)期上來(lái)說(shuō)，中國(guó)數(shù)學(xué)開(kāi)展和西方數(shù)學(xué)開(kāi)展存在一個(gè)大的時(shí)間差。中國(guó)數(shù)學(xué)的研究發(fā)源早，公元三世紀(jì)就已經(jīng)有杰出的數(shù)學(xué)成果〔九章算術(shù)最早成書(shū)亦是此時(shí)，由劉徽編纂成書(shū)〕。而古希臘數(shù)學(xué)雖然亦有杰出成就，但是明顯影響覆蓋的范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)不到東亞，最多至兩河流域，再傳入印度境內(nèi)，而那已經(jīng)時(shí)至公元八世紀(jì)。唐宋數(shù)學(xué)高度興旺，并且九章算術(shù)逐漸演變?yōu)闁|亞的最重要的數(shù)學(xué)教科書(shū)。而在同時(shí)期的歐洲卻在經(jīng)歷中世紀(jì)，以教會(huì)對(duì)世界解釋權(quán)的壟斷為主。一直到十三十四世紀(jì)時(shí)，經(jīng)由印度，阿拉伯地區(qū)將數(shù)學(xué)原籍傳回西歐社會(huì)，西方數(shù)學(xué)才開(kāi)始開(kāi)展，然而此時(shí)的中國(guó)是由蒙古人所統(tǒng)治的時(shí)期，數(shù)學(xué)開(kāi)展明顯受阻。進(jìn)入十五世紀(jì)后，數(shù)學(xué)在歐洲開(kāi)始復(fù)興，進(jìn)入蓬勃開(kāi)展期，但中國(guó)數(shù)學(xué)卻仍不溫不火，并且越來(lái)越具有偏向性，在這一時(shí)期決定了中西方數(shù)學(xué)的差距?？v觀來(lái)看，中西方數(shù)學(xué)開(kāi)展的斷檔期對(duì)于雙方的交流有很強(qiáng)的妨礙，沒(méi)能在同一時(shí)期站在大致相似的高度上形成交流。從政治上來(lái)說(shuō)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)的存在意義實(shí)那么是為政治效勞，所以研究注重實(shí)用性，偏向性，對(duì)于實(shí)際問(wèn)題的解決很有一套，但是對(duì)建立系統(tǒng)性理論沒(méi)有太大的熱情。相較于西方對(duì)數(shù)學(xué)形而上的認(rèn)識(shí)，中國(guó)的數(shù)學(xué)“合為時(shí)而用〞，是可以“貨與帝王家〞的才能，如果沒(méi)有政治支持，則數(shù)學(xué)就沒(méi)有開(kāi)展土壤。也正因如此，中國(guó)的數(shù)學(xué)家也少之又少，數(shù)學(xué)文化的傳播也并不是隨心所欲。重要的，高級(jí)的計(jì)算技巧是不可能流入民間，自然也不可能催生中國(guó)整體上的數(shù)學(xué)開(kāi)展。同時(shí)，即使在一局部重要的文獻(xiàn)如論語(yǔ)，老子，周易等先后傳入西方世界，然而東方的數(shù)學(xué)智慧卻未曾到歐洲傳播。而從研究方式和工具上，中國(guó)數(shù)學(xué)重視計(jì)算，重視實(shí)際結(jié)果。比方歷法上的成就，所依托的正是極高的計(jì)算技巧。而這些技巧所依托的符號(hào)系統(tǒng)，相較于任何古代數(shù)學(xué)文明都是先進(jìn)的。因?yàn)楹?jiǎn)易，而且是組合式的，再通過(guò)歸納，簡(jiǎn)寫(xiě)〔比方百，千，萬(wàn)，億的概念產(chǎn)生，再比方百萬(wàn)，千萬(wàn)，億萬(wàn)這樣的組合概念的產(chǎn)生〕，我們可以方便直觀的表示極多數(shù)字，這對(duì)計(jì)算技巧的研究很有幫忙。所以即使西方的符號(hào)體系，數(shù)字體系傳入中國(guó)，但是在計(jì)算上的優(yōu)越性必然導(dǎo)致這些不能取代千年沉淀的文字。

而今有很多比照中西方科學(xué)開(kāi)展的探討，很多的目的在于給中國(guó)古代科技科學(xué)正名，提振民族自信心，這一點(diǎn)無(wú)可厚非，但是我們應(yīng)本著客觀公道的態(tài)度探討。如果將核心觀點(diǎn)始終立足于兩套文化系統(tǒng)的不同上，進(jìn)而找到一個(gè)平等的平衡點(diǎn)，筆者認(rèn)為大可不必。無(wú)論是以前提出的“倘假設(shè)假以時(shí)日中國(guó)也能開(kāi)展到西方同樣程度的科學(xué)〞，還是現(xiàn)在提出的“中國(guó)的科學(xué)廣義上是格致學(xué)，生命博物學(xué)〞，其實(shí)都是在避重就輕地談問(wèn)題。且不管西方列強(qiáng)以武力伎倆翻開(kāi)中國(guó)的大門(mén)是否是導(dǎo)致中國(guó)外鄉(xiāng)科學(xué)流產(chǎn)的原因，就算是在雙方互不干預(yù)的前提下，科學(xué)的根底學(xué)科數(shù)學(xué)的開(kāi)展速度就不在一個(gè)層次上。中國(guó)的數(shù)學(xué)開(kāi)展是累積式的，線(xiàn)性的，是穩(wěn)步開(kāi)展的，但是西方數(shù)學(xué)的開(kāi)展是爆炸式的，好比指數(shù)函數(shù)，只會(huì)開(kāi)展的越來(lái)越快，這就是巨大差距。再有從廣義科學(xué)角度上切入的觀點(diǎn)，根本是回升至哲學(xué)層面的認(rèn)識(shí)，不能僅僅停留于探討不同的思路和想法就長(zhǎng)舒一口氣，認(rèn)為找到了平等就可以安心一些。對(duì)于現(xiàn)在的學(xué)習(xí)科學(xué)，研究科學(xué)的中國(guó)人來(lái)說(shuō)，如何汲取古代智慧是非常重要的。這絕不是要拋棄科學(xué)的辦法論，而是用不同于西方機(jī)械唯心論的角