章末綜合測評(四)　指數函數與對數函數

章末綜合測評(四)指數函數與對數函數(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．若a<eq\f(1,2)，則化簡eq\r(4,2a－12)的結果是()A.eq\r(2a－1) B．－eq\r(2a－1)C.eq\r(1－2a) D．－eq\r(1－2a)C[∵a<eq\f(1,2)，∴2a－1<0.于是，原式＝eq\r(4,1－2a2)＝eq\r(1－2a).]2．計算：log225·log52eq\r(2)＝()A．3 B．4C．5 D．6A[log225·log52eq\r(2)＝eq\f(lg25,lg2)·eq\f(lg2\r(2),lg5)＝eq\f(2lg5·lg2eq\s\up5(\f(3,2)),lg2·lg5)＝2×eq\f(3,2)＝3.]3．函數y＝eq\r(x－1)·ln(2－x)的定義域為()A．(1,2) B．[1,2)C．(1,2] D．[1,2]B[要使解析式有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,2－x>0，))解得1≤x<2，所以所求函數的定義域為[1,2)．]4．下列冪函數中過點(0,0)，(1,1)的偶函數是()A．y＝xeq\s\up5(\f(1,2)) B．y＝x4C．y＝x－2 D．y＝xeq\s\up5(\f(1,3))B[對A，y＝xeq\s\up5(\f(1,2))的定義域為[0，＋∞)，不是偶函數；C中，y＝x－2不過(0,0)點，D中，y＝xeq\s\up5(\f(1,3))是奇函數，B中，y＝x4滿足條件．]5．函數f(x)＝xeq\s\up5(\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的零點個數為()A．0 B．1C．2 D．3B[令f(x)＝0，可得xeq\s\up5(\f(1,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，在同一平面直角坐標系中分別畫出冪函數y＝xeq\s\up5(\f(1,2))和指數函數y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象，如圖所示，可得交點只有一個，所以函數f(x)的零點只有一個．]6．若loga3＝m，loga5＝n，則a2m＋n的值是()A．15 B．75C．45 D．225C[由loga3＝m，得am＝3，由loga5＝n，得an＝5，∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.]7．函數f(x)＝eq\f(4x＋1,2x)的圖象()A．關于原點對稱 B．關于直線y＝x對稱C．關于x軸對稱 D．關于y軸對稱D[易知f(x)的定義域為R，關于原點對稱．∵f(－x)＝eq\f(4－x＋1,2－x)＝eq\f(1＋4x,2x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數，其圖象關于y軸對稱．]8．若loga(a2＋1)<loga2a<0，則a的取值范圍是()A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D．(0,1)∪(1，＋∞)C[由題意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a.又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，同時2a>1，∴a>eq\f(1,2)，綜上，a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).]9．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))log30.3，則()A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>a>bC[c＝5eq\s\up15(log3eq\f(10,3))，只需比較log23.4，log43.6，log3eq\f(10,3)的大小，又0<log43.6<1，log23.4>log33.4>log3eq\f(10,3)>1，所以a>c>b.]10．函數f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域為[1，＋∞)，則f(－4)與f(1)的關系是()A．f(－4)＝f(1) B．f(－4)>f(1)C．f(－4)<f(1) D．不能確定B[因為函數f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域為[1，＋∞)，所以a>1，又函數f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的圖象關于直線x＝－1對稱，所以f(－4)>f(1)．]11．已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2x，x≥2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1，x<2))滿足對任意的實數x1≠x2都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0成立，則實數a的取值范圍為()A．(－∞，2) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,8)))C．(－∞，2] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,8)，2))B[由題意知函數f(x)是R上的減函數，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,a－2×2≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－1，))由此解得a≤eq\f(13,8)，即實數a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,8)))，選B.]12．函數f(x)＝ax5－bx＋1，若f(lg(log510))＝5，則f(lg(lg5))的值為()A．－3 B．5C．－5 D．－9A[lg(log510)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lg5)))＝－lg(lg5)，設t＝lg(lg5)，則f(lg(log510))＝f(－t)＝5.因為f(x)＝ax5－bx＋1，所以f(－t)＝－at5＋bt＋1＝5，則f(t)＝at5－bt＋1，兩式相加得f(t)＋5＝2，則f(t)＝2－5＝－3，即f(lg(lg5)的值為－3.]二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．函數f(x)＝ax－1＋3的圖象一定過定點P，則P點的坐標是________．(1,4)[由于函數y＝ax恒過(0,1)，而y＝ax－1＋3的圖象可看作由y＝ax的圖象向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到的，則P點坐標為(1,4)．]14．將進貨單價為8元的商品按10元一個銷售，每天可賣出100個．若每個漲價1元，則日銷售量減少10個．為獲得最大利潤，則此商品日銷售價應定為每個________元．14[設每個漲價x元，則實際銷售價為10＋x元，銷售的個數為100－10x，則利潤為y＝(10＋x)(100－10x)－8(100－10x)＝－10(x－4)2＋360(0≤x<10，x∈N)．因此，當x＝4，即售價定為每個14元時，利潤最大．]15．若f(x)＝eq\f(a·2x＋2a－1,2x＋1)為R上的奇函數，則實數a的值為________．eq\f(1,3)[因為f(x)＝eq\f(a·2x＋2a－1,2x＋1)為R上的奇函數，所以f(0)＝0，即eq\f(a·20＋2a－1,20＋1)＝0，所以a＝eq\f(1,3).]16．已知125x＝12.5y＝1000，則eq\f(y－x,xy)＝________.eq\f(1,3)[因為125x＝12.5y＝1000，所以x＝log1251000，y＝log12.51000，eq\f(y－x,xy)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝log1000125－log100012.5＝log1000eq\f(125,12.5)＝log100010＝eq\f(1,3).]三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)求值：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up5(\f(1,2))－(－9.6)0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))eq\s\up15(－\f(2,3))＋(1.5)－2；(2)log25eq\f(1,2)·log45－logeq\f(1,3)3－log24＋5log52.[解](1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up5(\f(1,2))－(－9.6)0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))eq\s\up15(－\f(2,3))＋(1.5)－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))eq\s\up5(\f(1,2))－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up15(－\f(2,3))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－2＝eq\f(3,2)－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(3,2)－1－eq\f(4,9)＋eq\f(4,9)＝eq\f(1,2).(2)log25eq\f(1,2)·log45－logeq\s\up-3(\f(1,3))3－log24＋5log52＝－eq\f(1,4)＋1－2＋2＝eq\f(3,4).18．(本小題滿分12分)已知指數函數f(x)＝ax(a>0，且a≠1)過點(－2,9)．(1)求函數f(x)的解析式；(2)若f(2m－1)－f(m＋3)<0，求實數m的取值范圍．[解](1)將點(－2,9)代入f(x)＝ax(a>0，a≠1)得a－2＝9，解得a＝eq\f(1,3)，∴f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x.(2)∵f(2m－1)－f(m＋3)<0，∴f(2m－1)<f(m＋3)．∵f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x為減函數，∴2m－1>m＋3，解得m>4，∴實數m的取值范圍為(4，＋∞)．19．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,3x，x≤0，))且關于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，求實數a的取值范圍．[解]如圖，在同一坐標系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線在y軸上的截距，由圖可知，當a＞1時，直線y＝－x＋a與y＝log2x只有一個交點．所以實數a的取值范圍是(1，＋∞)．20．(本小題滿分12分)已知1≤x≤4，求函數f(x)＝log2eq\f(x,4)·log2eq\f(x,2)的最大值與最小值．[解]∵f(x)＝log2eq\f(x,4)·log2eq\f(x,2)＝(log2x－2)(log2x－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2x－\f(3,2)))2－eq\f(1,4)，又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，∴當log2x＝eq\f(3,2)，即x＝2eq\s\up5(\f(3,2))＝2eq\r(2)時，f(x)有最小值－eq\f(1,4).當log2x＝0時，f(x)有最大值2，此時x＝1.即函數f(x)的最大值是2，最小值是－eq\f(1,4).21．(本小題滿分12分)某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當銷售利潤不超過15萬元時，按銷售利潤的10%進行獎勵；當銷售利潤超過15萬元時，若超過部分為A萬元，則超出部分按2log5(A＋1)進行獎勵，沒超出部分仍按銷售利潤的10%進行獎勵．記獎金總額為y(單位：萬元)，銷售利潤為x(單位：萬元)．(1)寫出該公司激勵銷售人員的獎勵方案的函數表達式；(2)如果業(yè)務員老張獲得5.5萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少萬元？[解](1)由題意，得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.1x，0<x≤15，,1.5＋2log5x－14，x>15.))(2)∵當x∈(0,15]時，0.1x≤1.5，又y＝5.5>1.5，∴x>15，∴1.5＋2log5(x－14)＝5.5，解得x＝39.答：老張的銷售利潤是39萬元．22．(本小題滿分12分)已知函數f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x))).(1)求證：f(x)是奇函數；(2)求證：f(x)＋f(y)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,1＋xy)))；(3)若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,1＋ab)))＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,1－ab)))＝2，求f(a)，f(b)的值．[