高中物理競賽萬有引力與天體運動

高中物理競賽萬有引力與天體運動第一頁，共二十三頁，2022年，8月28日兩體問題

僅有兩個質(zhì)點組成的孤立系統(tǒng)，兩個質(zhì)點的質(zhì)量為m1、m1，相互作用力大小為f，從m1至m2的矢徑為.對m2，由牛頓第二定律有將（1）代入（2）：則有

（3）式表明，若取m1為參照系（一般不是慣性系，在此系中牛頓第二定律不成立），則在此參照系中m2的運動完全相同于質(zhì)量為μ的質(zhì)點在中心力的作用下按牛頓第二定律所形成的運動，而無須考慮慣性力的作用.取二者的質(zhì)心C為參照系（慣性系）.設(shè)C到m1的矢徑為.有第二頁，共二十三頁，2022年，8月28日“衛(wèi)星怪象”問題

衛(wèi)星（質(zhì)量為m）與地球（質(zhì)量為M）系統(tǒng)的總能量為即于是可知對兩端的變化量有即第三頁，共二十三頁，2022年，8月28日一、對宇宙中復雜的天體受力運動的簡化（1）天體通常相距很遠，故可將天體處理為質(zhì)點.（2）很多時候，某天體的所受其他諸天體引力中僅有一個是主要的：a、可將該兩天體作為二體問題處理.b、施力天體由于某些原因（如質(zhì)量相對很大）在某慣性系中可認為幾乎不動，這時問題很簡單（我們通常討論的就是這種情況）.二、引力問題的基本動力學方程如圖，行星m在太陽M的有心引力作用下運動.行星的橫向加速度等于零.有徑向動力學方程解題知識與方法研究在太陽慣性參照系中，由牛頓運動定律和引力定律第四頁，共二十三頁，2022年，8月28日此式變化后即得開普勒第二定律：表明：開普勒第二定律是角動量守恒定律的特殊表現(xiàn).開普勒第二定律不僅適用于行星的橢圓運動也將適用于有心引力作用下的任何行星軌道運動.

又因萬有引力為保守力，故“太陽+行星”系統(tǒng)的機械能守恒當然，此方程也不限于行星做橢圓軌道運動！

因為引力為有心力，故行星對太陽參考軸角動量守恒第五頁，共二十三頁，2022年，8月28日三、天體繞日運動的軌道與能量

根據(jù)萬有引力定律和其他牛頓力學定律（角動量守恒、機械能守恒等）可導出在如圖的極坐標下的繞日運動的天體的軌道方程：軌道方程為一圓錐曲線方程：（1）

（即開普勒第一定律）；總能量為：（2）總能量為：第六頁，共二十三頁，2022年，8月28日（3）總能量為：第七頁，共二十三頁，2022年，8月28日

例1（天體軌道的判定）如圖，太陽系中星體A做半徑為R1的圓運動，星體B作拋物線運動.B在近日點處與太陽的相距為R2=2R1，且兩軌道在同一平面上，兩星體運動方向也相同.設(shè)B運動到近日點時，A恰好運動到B與太陽連線上.A、B隨即發(fā)生某種強烈的相互作用而迅速合并成一個新的星體.其間的質(zhì)量損失可忽略.試證明新星體繞太陽的運動軌道為橢圓.解計算新星體C的機械能.在徑向：可認為在A、B靠攏過程中質(zhì)心未動.所以C到太陽的距離為在切向：A、B合并過程中動量也守恒，②則有研究②式中的vA、vB：因A作圓運動，例題解答①第八頁，共二十三頁，2022年，8月28日所以利用①③，C星體的機械能為因此，新星體C的軌道為橢圓.EA<0，EB=0，EA+EB=？EC與(EA+EB)誰大誰小？C的軌道是什么？

將vA、vB代入②得③B作拋物線運動，機械能為零.因而有①思考

本題能不能直接判斷？第九頁，共二十三頁，2022年，8月28日

例2（利用引力作用下的質(zhì)點運動求橢圓曲率半徑）行星繞太陽作橢圓運動，已知軌道半長軸為A，半短軸為B，太陽質(zhì)量記為MS.試用物理方法求橢圓各定點處的曲率半徑.解行星運動情況如圖.由頂點1、2、3處的機械能守恒和面積速度相等可得由圖可知代入②式得③由①③解得據(jù)①②第十頁，共二十三頁，2022年，8月28日

求頂點1處的曲率半徑ρ1：將前面得到的v1代入，

求頂點3處的曲率半徑ρ3：將前面得到的v3代入，

題后小結(jié)與思考橢圓上其他點曲率半徑能不能用此方法得到？求拋物線任意點的曲率半徑、正弦曲線頂點的曲率半徑.即得即得第十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日

例3（衛(wèi)星怪象問題）

質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在繞地球（質(zhì)量為Me）的飛行過程中，由于受到微弱的摩擦阻力f（常量），不能嚴格按圓周軌道運動，而是緩慢地沿一螺旋形軌道接近地球.因f很小，軌道半徑變化十分緩慢，每一周均可近似處理為半徑為r的圓周軌道，但r將逐周縮短.試求在r軌道上旋轉(zhuǎn)一周，r的改變量及衛(wèi)星動能EK的改變量.解衛(wèi)星的動能、勢能、總機械能為在運行中萬有引力作為向心力將此代入EK、E的表達式，可得到衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周摩擦力做功為第十二頁，共二十三頁，2022年，8月28日所以衛(wèi)星每旋轉(zhuǎn)一周，r的改變量為動能的改變量為

由功能關(guān)系，當衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周時，有即第十三頁，共二十三頁，2022年，8月28日

例4（星體運動的阻力）一個質(zhì)量為M、半徑為R的星球以速度V通過質(zhì)量密度為的非常稀薄的氣體,由于它的引力場，此星球?qū)⑽娼咏牧Ｗ?，并俘獲撞在它表面上的所有的氣體分子.設(shè)相對于速度V，分子的熱運動速度可忽略.分子間的相互作用不計.求作用在星體上的阻力.解為方便研究問題取星球為參照系.氣體分子的運動及與星球的碰撞如圖所示.

在橫截面為的圓柱體內(nèi)的分子才能與星球相碰.

研究圓截面邊緣上的一個分子：設(shè)被俘獲前的瞬間（A點處）的速度為v.由角動量守恒得由機械能守恒得第十四頁，共二十三頁，2022年，8月28日

設(shè)氣體受到的阻力為f（等于星球所受阻力），使氣體的動量改變?yōu)橛蓜恿慷ɡ碇乔蛟讦時間內(nèi)得到第十五頁，共二十三頁，2022年，8月28日

例5（飛船著陸問題）一質(zhì)量為m=12×103kg的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上運動，其高度h=100km.為使飛船落到月球表面，噴氣發(fā)動機在圖中P點作一短時間發(fā)動.從噴口噴出的熱氣流相對飛船的速度為u=10km/s，月球半徑為R=170km，月球表面的落體加速度g=1.7m/s2.飛船可用兩種不同方式到達月球（如圖所示）：

（1）向前噴射氣流，使飛船到達月球背面的A點（與P點相對），并相切.

（2）向外噴射氣流，使飛船得到一指向月球中心的動量，飛船軌道與月球表面B點相切.

試計算上述兩種情況下所需要的燃料量.解噴氣后，飛船軌道由圓變成了的橢圓的一部分（如圖）.

設(shè)飛船噴氣前的速度v0，月球質(zhì)量為M，月球表面的重力加速度為代入上式，便得（1）（2）則有求出噴氣前、后飛船的速度問題即可解決！第十六頁，共二十三頁，2022年，8月28日（1）設(shè)飛船在P點向前方噴氣后速度減為v1.到達A處速度為vA.聯(lián)立此兩式消去vA解得

對噴氣前后的短暫過程，由動量守恒有解得（2）因沿圓半徑向外噴氣使飛船在向心方向獲的速度vr，從而飛船的速度變?yōu)橥瑯佑薪莿恿亢湍芰渴睾惴匠蹋?）（2）則由角動量守恒和能量守恒得

設(shè)噴出的氣體質(zhì)量為Δm1,第十七頁，共二十三頁，2022年，8月28日聯(lián)立此兩式消去vB解得

對噴氣前后的短暫過程，在沿原半徑方向上由動量守恒有解得顯然，所以選擇第一種方式登月較省燃料.

題后思考仔細研究如何計算噴出的氣體相對月球的速度?。?）（2）設(shè)噴出的氣體質(zhì)量為Δm2,第十八頁，共二十三頁，2022年，8月28日

例6

質(zhì)量為M的宇航站和已對接上的質(zhì)量為m的飛船沿圓形軌道繞地球運動著，其軌道半徑是地球半徑的n=1.25倍.某瞬間，飛船從宇航站沿運動方向射出后沿橢圓軌道運動，其最遠點到地心的距離為8nR.問飛船與宇航站的質(zhì)量比m/M為何值時，飛船繞地球運行一周后正好與宇航站相遇.解發(fā)射前后飛船、宇航站的運動情況如圖.記地球質(zhì)量為ME，發(fā)射前共同速度為u.由得記分離后的瞬間飛船速度為v，宇航站速度為V.由動量守恒有所求的比值為①進一步研究分離后飛船和宇航站的運動，求v、V：第十九頁，共二十三頁，2022年，8月28日研究分離后的飛船：

由開普勒第二定律及能量守恒定律有由此兩式解出②研究分離后的宇航站：

由開普勒第二定律及能量守恒定律有由此兩式解出③設(shè)遠地心點的速度為v′，設(shè)近地心點的速度為V′，距地心r.第二十頁，共二十三頁，2022年，8月28日研究分離后的相遇以求得r：

設(shè)飛船的周期為t，宇航站的周期為T.由開普勒第三定律有即確定t/T：因飛船運行一周恰好與宇航站相遇，所以代入上式，得④故應宇航站不能與地球相碰（只要近地點不碰，其它點便不會相碰）.將④代入，得第二十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日即所以由上述①②③④式求m/M：得可見k只能取兩個值：k=10，11.相應有

題后思考最后結(jié)果為何與u無關(guān)？若分離后v、V反向，結(jié)果又如何？④③②①第二十二頁，共二十三頁，2022年，8月28日

例7

一雙星系統(tǒng)，兩顆星的質(zhì)量分別為M和m（設(shè)M>m），距離為d，在引力作用下繞不動的質(zhì)心作圓周運動.設(shè)這兩顆星近似為質(zhì)點.在超新星爆炸中，質(zhì)