考研數(shù)三03-11年(歷年真題答案詳解)

2003年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題................................................1

2003年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析................................................................4

2004年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題...............................................17

2004年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析...............................................................21

2005年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題...............................................35

2005年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析...............................................................38

2006年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題...............................................49

2006年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析...............................................................53

2007年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題................................................66

2007年考研數(shù)學(xué)（三）真題...................................................................69

2008年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題...............................................77

2008年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析...............................................................80

2009年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題...............................................90

2009年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試...........................................................93

2010年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題..............................................106

2010年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三.試題詳解..........................................111

2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題..............................................106

2011年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三.試題詳解111

2003年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）

A1升Y土A

（1）設(shè)/Xx）=XCOSjfXKU,其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則幾的取值范圍是,

n若x=0,

（2）已知曲線＞6與x軸相切，則/可以通過(guò)a表示為/=.

⑶設(shè)a>0,/(x)=g(x)=H[”而D表示全平面，則/二-x）dxdy=

D

（4）設(shè)n維向量a=（q,0,…,0卬）7,。＜0；E為n階單位矩陣，矩陣

A=E-',B=E+—aaT,

a

其中A的逆矩陣為B,則a=.

（5）設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9,若Z=X-0.4,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為.

（6）設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，…,X”為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則當(dāng)〃-8

1〃

依概率收斂于

二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求,

把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))

(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且/'(0)存在，則函數(shù)g(x)=」也

X

(A)在x=0處左極限不存在.(B)有跳躍間斷點(diǎn)x=0.

(C)在x=0處右極限不存在.(D)有可去間斷點(diǎn)x=0.[]

(2)設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(Xo/o)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是

(A)/(Xo，y)在歹=為處的導(dǎo)數(shù)等于零.(B)/。。，內(nèi)在卜=必)處的導(dǎo)數(shù)大于零.

(C)=必)處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D)/。。，內(nèi)在了=九處的導(dǎo)數(shù)不存在.

[]

(3)設(shè)夕“=%,q,“=1,2,…，則下列命題正確的是

；⑷n

(A)若￡%條件收斂，則￡>“與都收斂.

“=1n=\n=l

(B)若￡%絕對(duì)收斂，則￡乙與￡夕”都收斂

w=ln=\?=1

(c)若￡%條件收斂，則￡P(guān)n與￡夕“斂散性都不定.

〃=1〃=1M=1

008

(D)若￡明絕對(duì)收斂,

則Z。，，與斂散性都不定?[]

”=1M=1W=1

abb

(4)設(shè)三階矩陣/=bab,若A的伴隨矩陣的秩為1,則必有

bba

(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2bwO.

(C)aHb且a+2b=0.(D)aHb且a+2bH0.

(5)設(shè)電,a,均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是

(A)若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)A],42,…,％s，都有占%+%2a2+…+《OsH0，則

線性無(wú)關(guān).

(B)若%,％,…,見(jiàn)線性相關(guān)，則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)占此，…，右，都有

41al+k2a2H------hksas=0.

(C)%,。2,…,線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.

(D)%,a2,…,凡線性無(wú)關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān).]

(6)將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，引進(jìn)事件：4=｛擲第一次出現(xiàn)正面｝,4=｛擲第二次出現(xiàn)正面｝,4=｛正、

反面各出現(xiàn)一次｝,4=｛正面出現(xiàn)兩次｝,則事件

(A)4,出，4相互獨(dú)立.(B)42，工3，兒相互獨(dú)立?

(C)4,4兩兩獨(dú)立?(D)4,4,4兩兩獨(dú)立.[]

三、(本題滿分8分)

設(shè)

f（X）=---1-----------------,XG.[一,1）.

msinm乃（1一x）2

試補(bǔ)充定義f⑴使得f(x)在上連續(xù).

四、(本題滿分8分)

設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足+又g(XJ)=/［盯—,求

du2

e2ga2g

dx2dy2.

五、(本題滿分8分)

計(jì)算二重積分

I-+r-;r,sin(x2+y2)dxdy.

D

其中積分區(qū)域D=｛(x,j^)|x2+^2<萬(wàn)｝.

六、(本題滿分9分)

求基級(jí)數(shù)1+1(-1)"—(|x|<1)的和函數(shù)f(x)及其極值.

“=i2〃

七、(本題滿分9分)

設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(-8,+00)內(nèi)滿足以卜條件：

/'(x)=g(x),g\x)=f(x),且f(0)=0,/(x)+g(x)=2ex.

(1)求F(x)所滿足的一階微分方程；

(2)求出F(x)的表達(dá)式.

八、(本題滿分8分)

設(shè)函數(shù)f(x)在［0,3］上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f⑴+f⑵=3,f⑶=1.試證必存在Je(0,3),使

/'⑹=0.

九、(本題滿分13分)

已知齊次線性方程組

⑷+b)xt+a2x2+a3x3H---Fanxn=0,

a{x}+(<7,+b)x2+473X3H---Fanxn=0,

<《Xi+a2x2+(%+b)x3H---Fanxn=0,

a1%!+a2x2+a3x3H---h(a“+b)xn=0,

其中H0.試討論q,生,…,a”和b滿足何種關(guān)系時(shí)，

/=i

⑴方程組僅有零解；

(2)方程組有非零解.在有非零解時(shí);求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

十、(本題滿分13分)

設(shè)二次型

f(xt,x2,x3)=X'AX=aXf+2xj-2x；+2bxtx3(b>0),

中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12.

(1)求a,b的值；

(2)利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣.

十一、(本題滿分13分)

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

，若xe[1,8],

/(%)=

其他；

F(x)是X的分布函數(shù).求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù).

十二、(本題滿分13分)

設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，其中X的概率分布為

(0.30.7；

而Y的概率密度為f(y),求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u).

2003年考研數(shù)學(xué)(三)真題解析

一、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

(1)設(shè)/(》)=</COS?0，其導(dǎo)函數(shù)在x=o處連續(xù)，則幾的取值范圍是；2.

。若x=0,-----

【分析】當(dāng)xwo可直接按公式求導(dǎo)，當(dāng)x=0時(shí)要求用定義求導(dǎo).

【詳解】當(dāng)彳>1時(shí)，有

、]疝"7cos’+x'"sinL若xw0,

/叫"，X若…,

顯然當(dāng)幾>2時(shí)，有l(wèi)im/'(x)=0=/'(0),即其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù).

xf0

(2)已知曲線丁=——3。2》+6與x軸相切，則/可以通過(guò)a表示為/=荷.

【分析】曲線在切點(diǎn)的斜率為0,即了=0,由此可確定切點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件，再根據(jù)在切點(diǎn)處

縱坐標(biāo)為零，即可找到從與a的關(guān)系.

【詳解】由題設(shè)，在切點(diǎn)處有

y'=3x2-3<a2-0,有x?=a2.

又在此點(diǎn)y坐標(biāo)為0,于是有

2

0=-3<7x0+/>=0,

故b2=x^(3tz2-)2=a2-4a4=4a6.

【評(píng)注】有關(guān)切線問(wèn)題應(yīng)注意斜率所滿足的條件，同時(shí)切點(diǎn)還應(yīng)滿足曲線方程.

"'若篇:"而D表示全平面，則I=J“(x)g(y-x)dxdy=Q.

(3)設(shè)a>0,/(x)=g(x)=，

.0,他，0

【分析】本題積分區(qū)域?yàn)槿矫?，但只有?dāng)04x41,04y-X41時(shí)，被積函數(shù)才不為零，因此實(shí)

際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.

【詳解】/=[|7(x)g(y-x)dxdy=JJa2dxdy

D0<X<1.0<J-X<1

=a~4=/][(x+])_工心=q?.

【評(píng)注】若被積函數(shù)只在某區(qū)域內(nèi)不為零，則二重積分的計(jì)算只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零的

區(qū)域的公共部分上積分即可.

(4)設(shè)n維向量a=(a,0,…,0,。)',。<0；E為n階單位矩陣，矩陣

A=E-aa',B=E+—aaT,

a

其中A的逆矩陣為B,則a=-1.

【分析】這里aa，為n階矩陣，而為數(shù)，直接通過(guò)/B=E進(jìn)行計(jì)算并注意利用乘法的

結(jié)合律即可.

【詳解】由題設(shè)，有

AB={E-aaT\E+-aaT}

a

廠rIriTT

=E-aa+—aa——aaaa

aa

=E-aaT+—aaT--a(aTa)aT

aa

=E-aaT+—aaT-2aaaT

a

T

=E+(-1-2(7+—)aa=Et

a

于是有一1一2。+,=0,即2a2+a-l=0,解得a=-,a=-l,由于A<0,故a=-l.

a2

(5)設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9,若Z=X-0.4,則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為0.9.

【分析】利用相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式即可.

【詳解】因?yàn)?/p>

cov(y,z)=cov(y,x-0,4)=￡[(y(x-0.4)]-E(Y)E(X-0.4)

=E{XY)-0.4E(y)-E(Y)E(X)+0.4E(y)

=E(XY)-E(X)E(Y)=cov(X,Y),

且。Z=DX.

cov(y,z)cov(x,y)_

于是有

COV(，TDYTDZ-TDXTDY~PXY=0.9.

【評(píng)注】注意以下運(yùn)算公式：D(X+a)=DX,cov(X,Y+a)=cov(X,Y).

(6)設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X「X2,…,X,,為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則當(dāng)〃foo

1〃

依概率收斂于-.

2

【分析】本題考查大數(shù)定律：一組相互獨(dú)立且具有有限期望與方差的隨機(jī)變量X,X2,…，x,，當(dāng)方

差一致有界時(shí)，其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值：

]〃p1n

—￡Xj—>—ZEX"—>00).

【詳解】這里…，X：滿足大數(shù)定律的條件，且EX：=DY+(EX)2=_L+(_L)2=_1,因

此根據(jù)大數(shù)定律有

1?1?

Y?=-YX^依概率收斂于工之EX；

〃,=1〃,=i2

二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求,

把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))

(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且/'(0)存在，則函數(shù)g(x)=/

x

(A)在x=0處左極限不存在.(B)有跳躍間斷點(diǎn)x=0.

(C)在x=0處右極限不存在.(D)有可去間斷點(diǎn)x=0.[D]

【分析】由題設(shè)，可推出f(0)=0,再利用在點(diǎn)x=0處的導(dǎo)數(shù)定義進(jìn)行討論即可.

【詳解】顯然x=0為g(x)的間斷點(diǎn)，且由f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)知，f(0)=0.

于是有l(wèi)img(x)=lim△也=lim，㈤一"°)=/'(())存在，故x=0為可去間斷點(diǎn).

XTOXTOxxf°x—0

【評(píng)注1】本題也可用反例排除，例如颯=5則此時(shí)8(刈—=[1'*"°'可排除四,伯),(0三項(xiàng)，故

xIO,x=0,

應(yīng)選(D).

【評(píng)注2】若f(x)在x=x0處連續(xù)，則lim/^?=/o/(Xo)=0,/(Xo)=4.

?f0X-XQ

(2)設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(/J。)取得極小值，則下列結(jié)論正確的是

（A）/。。，內(nèi)在丁=必）處的導(dǎo)數(shù)等于零.（B）/（工0））在歹=必,處的導(dǎo)數(shù)大于零.

（C）/（工0,）在丁=%處的導(dǎo)數(shù)小于零.（D）/。。，用在丁二九處的導(dǎo)數(shù)不存在.

[A]

【分析】可微必有偏導(dǎo)數(shù)存在，再根據(jù)取極值的必要條件即可得結(jié)論.

【詳解】可微函數(shù)f（x,y）在點(diǎn)（/J。）取得極小值，根據(jù)取極值的必要條件知/：00，九）=0,即

/（%,了）在>=為處的導(dǎo)數(shù)等于零，故應(yīng)選伊）.

【評(píng)注】本題考查了偏導(dǎo)數(shù)的定義，/（工,歹）在丁=為處的導(dǎo)數(shù)即而/（工,必））在丫=

10/：（x（）Jo）;x0

處的導(dǎo)數(shù)即￡'（x。/。）.

【評(píng)注2】本題也可用排除法分析，取/（xJ）=x2+y2,在9,0）處可微且取得極小值，并且有

/（0,y）=/,可排除（B）,（C）,（D）,故正確選項(xiàng)為（A）.

（3）設(shè)p,=葉?,qn=包;同,n=1,2,…，則下列命題正確的是

（A）若條件收斂，則fp“與￡>”都收斂.

〃=1n=\n=l

8PCCO

（B）若z%絕對(duì)收斂，則“與"都收斂.

〃=1n=\?=1

（c）若條件收斂，則“與￡/斂散性都不定.

〃=1"=1M=1

①）若￡%絕對(duì)收斂，則￡p“與￡心斂散性都不定.[B]

”=ln=\n=l

【分析】根據(jù)絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系以及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可找出答案.

888a+1^7I

【詳解】若絕對(duì)收斂，即zi%|收斂，當(dāng)然也有級(jí)數(shù)z/收斂，再根據(jù)p〃="

?=1?=1n=\2

q"=""一同」及收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知,fp“與"都收斂，故應(yīng)選（B）.

2"=1n=i

ahb

（4）設(shè)三階矩陣/=bab,若A的伴隨矩陣的秩為1,則必有

bba

(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b=0.

(C)a#b且a+2b=0.(D)a#b且a+2bA0.C]

【分析】A的伴隨矩陣的秩為1,說(shuō)明A的秩為2,由此可確定a,b應(yīng)滿足的條件.

【詳解】根據(jù)A與其伴隨矩陣A*秩之間的關(guān)系知，秩(A)=2,故有

abb

bab=(a+2b)(a-b)2=0,即有q+26=0或2=1).

bba

但當(dāng)a=b時(shí),顯然秩(A)w2,故必有aHb且a+2b=0.應(yīng)選(C).

【評(píng)注】n(nN2)階矩陣A與其伴隨矩陣A*的秩之間有下列關(guān)系：

n,r(J)=n,

r(A*)=<1,r(A)=n-1,

0,r(J)<n—1.

(5)設(shè)內(nèi),。2,…,凡均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是

若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)占，左，左,，都有占四+左則%,%,???"$

(A)2,…2a2T—+ksas0,

線性無(wú)關(guān).

(B)若%見(jiàn)線性相關(guān)，則對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)勺也，…人，都有

kla]+k2alH-------hkxas=0.

(C)%,%，…,a,線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.

(D)/,a2,…線性無(wú)關(guān)的必要條件是其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān).[B]

【分析】本題涉及到線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)概念的理解，以及線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的等價(jià)表現(xiàn)形式.應(yīng)

注意是尋找不正確的命題.

【詳解】若對(duì)于任意一組不全為零的數(shù)%都有則

(A)：],%2,kxay+k2a2+???+ksas0,

名,。2,《必線性無(wú)關(guān)，因?yàn)槿?,a,線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)々，七，…,右，使得

矛盾.可見(jiàn)成立.

kta}+k2a2+???+ksas=0,(A)

(B)：若%,%，…,a,線性相關(guān)，則存在一組，而不是對(duì)任意一組不全為零的數(shù)々，七，…，右，都有

卜不成立.

11%+k2a24------ksas=0.(B)

(C)《線性無(wú)關(guān)，則此向量組的秩為s；反過(guò)來(lái)，若向量組電,&的秩為s,則

四,a2,4線性無(wú)關(guān)，因此(C)成立.

(D)4,a?,…線性無(wú)關(guān),則其任一部分組線性無(wú)關(guān)，當(dāng)然其中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，可見(jiàn)(D)也成

立.

綜上所述，應(yīng)選(B).

【評(píng)注】原命題與其逆否命題是等價(jià)的.例如，原命題：若存在?組不全為零的數(shù)占,右，…,左,，使

得匕%+左2a2+…+心見(jiàn)=0成立，則%,見(jiàn)，…，/線性相關(guān)?其逆否命題為:若對(duì)于任意一組不全為

零的數(shù)占，左2,…，左s，都有匕%+k2a2+…+ksas*0,則4線性無(wú)關(guān).在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,

應(yīng)經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等價(jià)性.

（6）將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，引進(jìn)事件：4=｛擲第一次出現(xiàn)正面｝,4=｛擲第二次出現(xiàn)正面｝,4=｛正、

反面各出現(xiàn)一次｝,4=｛正面出現(xiàn)兩次｝,則事件

（A）4,4，4相互獨(dú)立.⑻4，4,4相互獨(dú)立.

（C）4,出,4兩兩獨(dú)立.①）4,4,4,兩兩獨(dú)立.[c]

【分析】按照相互獨(dú)立與兩兩獨(dú)立的定義進(jìn)行驗(yàn)算即可，注意應(yīng)先檢查兩兩獨(dú)立，若成立，再檢驗(yàn)是

否相互獨(dú)立.

【詳解】因?yàn)?/p>

p（4）=；,P（4）=g,P（4）=g，2（4）=；，

且尸（

44）=；，244）=；，244）=；，P（A2A4）=^P（A,A2A3）=O,

可見(jiàn)有

尸（44）=P（4）P（4），P（44）=P（4）P⑷，P（，4）=P⑷P⑷，

P（444）*P（4）P⑷P（a），尸（-4）HP⑷尸（4）?

故4,“2,4兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立；42,4,4不兩兩獨(dú)立更不相互獨(dú)立，應(yīng)選（c）.

【評(píng)注】本題嚴(yán)格地說(shuō)應(yīng)假定硬幣是均勻的，否則結(jié)論不一定成立.

三、（本題滿分8分）

設(shè)

/（X）=1-----------------------,XG[—,1）.

msin^r4（l-x）2

試補(bǔ)充定義f⑴使得f（x）在上連續(xù).

【分析】只需求出極限lim/（x）,然后定義f⑴為此極限值即可.

x^r

【詳解】因?yàn)?/p>

limf（x）=lim[—+----------------]

x->rmsin辦乃（1-x）

=—+—hm-------乙------------

7i九"xf（l-x）sinOT

11-一兀一兀COS兀X

——十——lim——；---------------------------

71兀一sinTZX+(1-x)7tcosm

11,.兀2sinm

=—I—lim------------------------------------

7t兀XT廠-7icosm-7Tcos公一(1一x)兀sinm

=J_

71

由于f(x)在［；,1)上連續(xù)，因此定義

/⑴,，

7C

使f(x)在上連續(xù).

【評(píng)注】本題實(shí)質(zhì)上是-求極限問(wèn)題，但以這種形式表現(xiàn)出來(lái)，還考查了連續(xù)的概念.在計(jì)算過(guò)程中，

也可先作變量代換y=l-x,轉(zhuǎn)化為求y-0+的極限，可以適當(dāng)簡(jiǎn)化.

四、(本題滿分8分)

設(shè)他,V)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足且(+嗎=1,又g(x))=/［盯」(一一/升，求

dudv~2

失?02g

dx2dy2'

【分析】本題是典型的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問(wèn)題：g=/(〃,v),〃=孫,v=一J?),直接利用復(fù)

合函數(shù)求偏導(dǎo)公式即可，注意利用?工=0工.

dudvdvdu

【詳解】—=y—+x-,

dxdudv

運(yùn)川箜-y箋.

dydudv

故空嚀噸+2v亞+爐也+更

dx~du~dudvdv2dv9

d2gd2f.52f2

―v=2-——+y~三￡_更

dy~dwdvdudv2dv'

a2g

+§—(/+"(+(/+y2匹

所以;1

dydudv

=x2+y2.

【評(píng)注】本題考查半抽象復(fù)合函數(shù)求二階偏導(dǎo).

五、(本題滿分8分)

計(jì)算二重積分

?+/_")sin(/+y2岫力.

其中積分區(qū)域其{(x,y),2+y2<n}.

【分析】從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出，應(yīng)該利用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】作極坐標(biāo)變換：x=rcos。/=rsind,有

I=e"sin(x2+y2)dxdy

D

二/re~rsinr2dr.

令f=/,則

{

I=Tie兀￡e~sin以1.

記力=je1sintdt,則

costde

=-[e-/cost+￡e-/sintdt]

=e"+1—4

因此A=-(l+e^),

2

Tie

/=《-(l+e")=”+").

【評(píng)注】本題屬常規(guī)題型，明顯地應(yīng)該選用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，在將二重積分化為定積分后，再通過(guò)

換元與分步積分(均為最基礎(chǔ)的要求)，即可得出結(jié)果，綜合考查了二重積分、換元積分與分步積分等多

個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn).

六、(本題滿分9分)

8丫2〃

求帚級(jí)數(shù)I+Z(-D"—(|x|<1)的和函數(shù)f(x)及其極值.

n=l2/7

【分析】先通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)后求和，再積分即可得和函數(shù)，注意當(dāng)x=0時(shí)和為1.求出和函數(shù)后，再按

通常方法求極值.

【詳解】

8X

1+X

上式兩邊從。到X積分，得

/(x)-/(())=-，]+?dt--—ln(l+x2).

由f(0)=l,得

/(x)=l-1ln(l+x2),(|x|<l).

令/'(x)=0,求得唯一駐點(diǎn)x=0.由于

,r(o)=-i<o,

可見(jiàn)f(x)在x=0處取得極大值，且極大值為

f(O)=l.

【評(píng)注】求和函數(shù)一般都是先通過(guò)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等轉(zhuǎn)化為可直接求和的幾何級(jí)數(shù)情形，然后

再通過(guò)逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)求導(dǎo)等逆運(yùn)算最終確定和函數(shù).

七、(本題滿分9分)

設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)《)/岡在(-8,+00)內(nèi)滿足以下條件：

f'(x)=g(x)，g'(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2ex.

(3)求F(x)所滿足的一階微分方程；

(4)求出F(x)的表達(dá)式.

【分析】F(x)所滿足的微分方程自然應(yīng)含有其導(dǎo)函數(shù)，提示應(yīng)先對(duì)F(x)求導(dǎo)，并將其余部分轉(zhuǎn)化為用

F(x)表示，導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程.

【詳解】⑴由

尸(X)=/'(x)g(x)+f(x)g'(x)

=g2(X)+/2(X)

="(X)+g(x)]2-2/(x)g(x)

=(2/)2-2F(x),

可見(jiàn)F(x)所滿足的一階微分方程為

F'(x)+2F(x)=4e2x.

(2)F(x)-e^ix[^4e2x-e^^dx+C]

=e-2x[j，4e4't&+C]

=e2x+Ce-2x.

將F(O)=f(O)g(O)=O代入上式，得

C=-l.

于是

F(x)=e2x-e-2x.

【評(píng)注】本題沒(méi)有直接告知微分方程，要求先通過(guò)求導(dǎo)以及恒等變形引出微分方程的形式，從題型

來(lái)說(shuō)比較新穎，但具體到微分方程的求解則并不復(fù)雜，仍然是基本要求的范圍.

八、(本題滿分8分)

設(shè)函數(shù)f(x)在[0,3]上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f⑴+f⑵=3,f⑶=1.試證必存在自€(0,3),使

/W=0.

【分析】根據(jù)羅爾定理，只需再證明存在一點(diǎn)ce[0,3),使得/(c)=1=/(3),然后在[c,3)上應(yīng)用羅

爾定理即可.條件f(0)+f(l)+f(2)=3等價(jià)于/(°)+,，+”2)=1,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為1介于f(x)的最值之間，最

終用介值定理可以達(dá)到目的.

【詳解】因?yàn)閒(x)在［0,3］上連續(xù)，所以f(x)在［0,2］上連續(xù)，且在［0,2］上必有最大值M和最小值m,

于是

m</(0)<M,

m</(I)<M,

m</(2)<A/.

故

3

由介值定理知，至少存在一點(diǎn)ce［0,2］,使

/⑶」(°)+/⑴+/2)—1

3

因?yàn)閒(c)=l=^3)，且f(x)在［c,3］上連續(xù)，在(c,3)內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理知，必存在Je(c,3)u(0,3),

使/'C)=0.

【評(píng)注】介值定理、微分中值定理與積分中值定理都是?？贾R(shí)點(diǎn)，且一般是兩兩結(jié)合起來(lái)考.本題

是典型的結(jié)合介值定理與微分中值定理的情形.

九、(本題滿分13分)

已知齊次線性方程組

(q+b)xt+a2x2+a3x3H---Fanxn=0,

alxi+(<?2+h］x2+a3x3H---Fanxn=0,

■a］x］+a2x2+(a3+b)x3H---1-anxn=0,

atxt+a2x2+a3x34----F(an+b)xn=0,

其中之。尸0.試討論…，％和b滿足何種關(guān)系時(shí)，

/=1

⑴方程組僅有零解；

⑵方程組有非零解.在有非零解時(shí).，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

【分析】方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零，而系數(shù)行列式的計(jì)

算具有明顯的特征：所有列對(duì)應(yīng)元素相加后相等.可先將所有列對(duì)應(yīng)元素相加，然后提出公因式，再將第

一行的(-1)倍加到其余各行，即可計(jì)算出行列式的值.

【詳解】方程組的系數(shù)行列式

at+b%??an

%%+6%--a,,

閡=%%a3+b-,an

a\%a3■-%+b

"(6+/,).

/=1

(1)當(dāng)6Ho時(shí)且6+*0時(shí)，秩(A)=n,方程組僅有零解.

（2）當(dāng)b=0時(shí)，原方程組的同解方程組為

XaX

axXx+a22+…+nn=0。

由可知，4&=1,2/-,〃）不全為零.不妨設(shè)得原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為

?=1

。］二（---%=（-----------------------^",0,1，…,0）7，…,%=（----\0,0,…,1）7.

67）%

當(dāng)6=-次/時(shí)，有“。,原方程組的系數(shù)矩陣可化為

/=1

a\~^ai%%a?

i=\

a\a2-Xa'%-??a?

/=1

n

%?2-??a?

i=\

qa2%-??

-i=l-

」一倍）

（將第1行的?1倍加到其余各行，再?gòu)牡?行到第n行同乘以-n

1=1

〃

0%,,-an

<=i

-110--?0

—

-101???0

-100…1

（將第n行-凡倍到第2行的倍加到第1行，再將第1行移到最后一行）

--110…0'

-101???0

-100…1

000???0

由此得原方程組的同解方程組為

x2=X[,x3=X],?x“=X|.

原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為

【評(píng)注】本題的難點(diǎn)在6=時(shí)的討論，事實(shí)上也可這樣分析：此時(shí)系數(shù)矩陣的秩為n-1(存在

/=1

n；階子式不為零)，且顯然a=(1,1,…J)7■為方程組的一個(gè)非零解，即可作為基礎(chǔ)解系.

十、(本題滿分13分)

設(shè)二次型

/(修，4，"3)=X’AX=ax；+2x2~2后+2bxtx3(b>0),

中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12.

(3)求a,b的值；

(4)利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所用的正交變換和對(duì)應(yīng)的正交矩陣.

【分析】特征值之和為A的主對(duì)角線上元素之和，特征值之積為A的行列式，由此可求出a,b的值;

進(jìn)一步求出A的特征值和特征向量，并將相同特征值的特征向量正交化(若有必要)，然后將特征向量單

位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣.

【詳解】(1)二次型f的矩陣為

'a0b"

4=020.

0-2

設(shè)A的特征值為％(i=1,2,3).由題設(shè)，有

4+4,+4；=。+2+(—2)=1,

a0b

4丸2丸3=020=-4a—2b~=—12.

b0-2

解得a=l,b=-2.

(2)由矩陣A的特征多項(xiàng)式

2-10-2

|A￡-A\=0A-20=(2-2)2(2+3),

-202+2

得A的特征值4=%=2,4=-3.

對(duì)于4=%=2,解齊次線性方程組(2E-A)x=0,得其基礎(chǔ)解系

(2,0,1)"乙=(0，1，0)。

對(duì)于4=-3,解齊次線性方程組(-3E-A)x=Q,得基礎(chǔ)解系

-=(1,0,-2)1

由于。,芻已是正交向量組，為了得到規(guī)范正交向量組，只需將。,務(wù)，芻單位化，由此得

212

T

后

-宣^=(/_L

?2X忖O,-

令

矩陣

一21

3O3

2一00

-^I-

L7122J12

O

一

飛

石

一

則Q為正交矩陣.在正交變換X=QY下，有

200

QTAQ^020,

00-3

且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為

/=2>；+2