考研網(wǎng)校線代強化講義-章

第一章行列式

線性代數(shù)的特點是這些內(nèi)容聯(lián)系非常緊密。不但后面的知識用到前面的知識，而且有時前面

的知識也用到后面的一些結(jié)論。因此，把它們串在一起學習，同學們會發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)是1

條主線，2種運算，3個工具。即：--條主線是方程組；二種運算是求行列式和求矩陣的初

等行（列）變換：三個工具是行列式，矩陣，向量（組）。

行列式的核心考點是掌握計算行列式的方法，計算行列式的主要方法是降階法，用按行、

按列展開公式將行列式降階。但在展開之前往往先用行列式的性質(zhì)對行列式進行恒等變形，

化簡之后再展開。另外，用簡單的遞推公式求行列式的方法也應掌握。

【大綱內(nèi)容】行列式的概念和基本性質(zhì)；行列式按行（列）展開定理。

【大綱要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)。會應用行列式的性質(zhì)和行列式按

行（列）展開定理計算行列式。

【考點分析】考研試題中關(guān)于行列式的題型主要是填空題,純粹考行列式的題目很少，

但行列式是線性代數(shù)中必不可少的工具，它在處理以下問題中都有重:要應用：

1.判定方陣是否可逆以及應用公式M求逆矩陣;

2.判定n個n維向量的線性相關(guān)性；

3.計算矩陣的秩；

4.討論系數(shù)矩陣為方陣的線性方程組的解的情況并利用克萊姆法則求方程組的解；

5.求方陣的特征值；

6.判定二次型及實對稱矩陣的正定性。

同時，上述內(nèi)容也可與行列式知識相結(jié)合構(gòu)造新的關(guān)于行列式的題型。在復習過程中,

清大家注意及時歸納總結(jié)。

相應知識點精講

一、行列式的定義

1.行列式的形式：％”個數(shù)排列成n行、n歹U,組裝成一個正方形，兩邊畫兩根豎線，即

形如：%1%?I%,稱為一個門階行列式。其中數(shù)即稱為行列式的元素，橫排的一行

元素沏，如,…,如稱為行列式的第i行，自上而下計序，共有n行。豎排的一列元素

的,'"2/=\"下稱為行列式的第j歹U，自左向右計序，共有n歹（1。自左上角到右下角傾斜的

一列元素，】'與2,…，氏*稱為行列式的主對角線，自右上角到左下角傾斜的一列元素

%*，出.1，…,％1稱為行列式的次對角線或副對角線。

2.行列式的值：行列式的數(shù)學屬性是一個數(shù)，稱為該行列式的值。當一個行列式的元素

給定后，該行列式的值可通過特定的運算，從其元素計算得到。例如：

一階行列式離」的值規(guī)定即為其元素由本身，即。

（1）i|an|=，L

allalla12

（2）二階行列式的1，即二階行列式螞1的？的值等于其主對

角線元素的乘積減去次對角線元素的乘積。我們常常稱之為二階行列式的對角線法則。

13

57

【例1】計算下列行列式的值：J?

［答疑編號：2120noi針對該題提問］

13

=1x7—3x5=7-15=—8

【解】57

3.行列式的定義：

獻

=工（一1嚴

尸I，尸2…后

即：非2個數(shù)構(gòu)成的n階行列式等于所有取自不同行與不同列元素乘枳的代數(shù)和。一共

有刈項，一半帶負號，一半帶正號。其中小42,為任意一個n級排列，皿必,…％）

為n級排列為，小，…外的逆序數(shù)。我們知道n級排列一共有加種。

4.五個特殊行列式的值

下面介紹五個特殊行列式的值。

（1）如果一個行列式中有一行或一列的元素全為0,則此行列式的值為0。

（2）如果一個行列式中有兩行（兩列）所有對應元素都成比例，則該行列式等于0.特

別地，如果一個行列式中有兩行（兩列）相同，則該行列式等于0。

a”au…aln

°a11…%*

????????????

00a

（3）形如U1m的行列式稱為上三角形行列式，其特點是主對角線下面

的元素全為0。上三角形行列式的值等于其主對角線上所有元素的乘積，即：

00

0

(4)形如的行列式稱為F三角形行列式，其特點是主對角線上面

的元素全為0o下三角形行列式的值也等于其主對角線上所有元素的乘積，即:

0o

0

ax2

00

00

00

(5)形如的行列式稱為對角形行列式，其特點是主對角線上面和

下面的元素全為0。對角形行列式的值也等于其主對角線上所有元素的乘積，即:

ail00

0a220

=alla22'"am

00

【例2】計算下列行列式的值:

3406

78010

59013

1112014

(1)

［答疑編號:21201102針對該題提問］

4567

01-23

0028

0005

(2)

［答疑編號:21201103針對該題提問］

710820930670

111222333888

710820930670

1234

(3)

［答疑編號:2120no4針對該題提問］

3406

78010

59013

1112014

解：⑴=0

4567

01-23

0028

0005

(2)=40

710820930670

111222333888

710820930670

1234

(3)

二、行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1.轉(zhuǎn)置性質(zhì)：行列式的行和列互換，其值不變。

這個性質(zhì)說明行列式中行和列的地位是相當?shù)模瑢ΨQ的。通常，人們把?個行列式的第

i行元素依次寫成第j列d=L2,3,…/）的元素，所得的新的行列式稱為原行列式的轉(zhuǎn)置

行列式。如果原行列式記作D,則其轉(zhuǎn)置行列式記作少丁。由性質(zhì)1知，。

4567

01-23

D==412-5=40

0028

000

例如：設(shè)行列式5,則其轉(zhuǎn)置行列式

4000

5100

=4125=40

6-220

7385，顯然外匕

性質(zhì)2.互換性質(zhì)：行列式的兩行（兩列）互換，其值變號.也就是說，交換行列式兩行

（兩列）的所有對應位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反數(shù)。

13

D==1-7-35=7-15=-8

5

例如已知7

57

A==5-3-71=15-7=8

3?D]=

1,顯然,-D

性質(zhì)3.數(shù)乘性質(zhì)：若行列式的某行（某列）有公因子k,則可把公因子k提到行列式外

11%12

?ka-m=k%

a

面。即：以畜1?Axnl以龍2若把上述等式反過來看，即:

電%?11出…%

???

=

k61%%也為燦2…k

???

%%%

,也可認為：數(shù)k與一個行列式的乘積等于

在該行列式的某一行或某一列中各元素乘以ko

性質(zhì)4.倍加性質(zhì)：把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，力口到另行（另一列）的

相應元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值。

2141

3—121

1232

5062

【例3】計算下列行列式的值:

［答疑編號:21201105針對該題提問］

解：本題可分成三步進行計算。

2141

3—121

1232

5062

第一步：利用性質(zhì)4可知，將原行列式的第2列的所有元素的-1倍，加

到第四列的相應元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即

21412141-12140

3—1213—121+13—122

12321232-21230

50625062-05062

2140

3-122

1230

5062

第二步：再將新行列式的第2行的所有元素的-1倍，加到第四行的相應

元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即

214021402140

3-1223-1223-122

1230=12301230

50625-30+16-22-22140

2140

3-122

1230

第三步：將新行列式2140

的第1行的所有元素的-1倍，加到第四行的相應元

素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即

214021402140

3-1223—1223—122

=0

123012301230

21402-21-14-40-00000

（因為，如果一個行列式中有一行或一列的元素全為0,則此行列式的值為0）

2141

3—121o

1232

綜上所述，原行列式5062

性質(zhì)5.加法性質(zhì)：如果行列式有某行（列）的所有元素均可寫成兩個加數(shù)的和，即該行

（列）有兩個分行（分列），則這個行列式等于兩個行列式的利，而這兩個行列式分別以這

兩個分行（分列）為該行（列），其他行（列）與原行列式相同。

1+2

2+3

3+4

q+@',02+03=|q，Q2,嘲+q’,0：2，的

2201-1

32928

【例4】計算下列行列式的值：一1一"一5。

［答疑編號：21201106針對該題提問］

【解】分析發(fā)現(xiàn)，第二列元素均為三位數(shù)，但均接近于百位整數(shù)。所以利用性質(zhì)5計算

比較方便。

2201-112200+1-1

32928=3300-88

-1-95-5-1-100+5-5

2200-121-1

33008+3-88

-1-100—5-15-5

2200-1

=33008=0+0=0

—1-100—5

典型例題剖析

【考點一】行列式按行、按列展開公式為:

D=+。2&■**"。辰4=+。2上4心^axkAik(尢=1,2??■M)

a60???00

0ab00

00df???00

000???ab

【例51n階行列式b00???0a

［答疑編號:21201107針對該題提問］

解：

按第一列展開可得0=白百1+風1=1+小(-1)""加0=。"+(-1)1+"8"

【考點二】

形如X1的行列式稱為范德蒙行列式。范德蒙行列式的特點是:

1YJ爐-1-r

其每列元素Lx"再‘…‘不按石的升塞排列，構(gòu)成一個等比數(shù)列，第二行的元素

為，孫…，、

分別為每列元素的公比，且第一行元素為1.范德蒙行列式的值為

（電-西）"3--電）…（勺一再）（4-X2）-（X?-/_1）

1111

231T

D=

49116

【例6］計算四階行列式8271一64

［答疑編號：21201108針對該題提問］

解：根據(jù)范德蒙行列式得：

1111

231Y

D=

49116

8271-64

=(3-2)(1-2)(1-3)(-4-2)(-4-3)(-4-1)=-420

al

a急

D=右

*。2M*

【例7】計算四階行列式（其中勺，叼，“3，〃4均不為0）

［答疑編號:2120no9針對該題提問］

解：把第一列提出彳，第二列提出不

第三列提出為，第四列提出

,1曳1

的aA

㈤21M

IM1%,

鼠M

D=

、3

D=2a3a4)

4總號卷）

【考點三】形如''?的行列式稱為三對角形（三斜線形）行列式。三對角

形行列式的特點是沿主對角線方向三列元素不為零，其余元素均為零。對于這類三對角形行

列式通?？捎眠f推法。

43000

14300

&=01430

00143

［例8］五階行列式的值為

［答疑編號：2120nl0針對該題提問］

4300o

1430o

2=0143o=44i+i-Ai

00143

00014

3000

1430

=4￡)4+(-1)1+2

0143

0014

.Q=4為-3D3

遞推公式R=4J—3D3,移項得

2一&=3(口4一口3)=3x3(D3-D2)

3

=3<D2-D1)

43

D==16-3=13

214

D1=|4|=4

D2f=13-4=9=32

-Z)=33D-D)325

可得：P54(2l=3x3=3

.Q；=4+36=3$+34+獎+13=364

【考點四】形如：,e的行列式稱為箭形、爪形或扇形行列式，其特點是行

列式中主對角線上的元素和第行、第一列上的元素不為零，其余元素均為零。對于箭形、

爪形或扇形行列式，可用主對角線上的元素化其為上（下）三角形行列式進行計算。

011...1

12000

4=10300

:000

【例9】計算n階行列式1°°°”

［答疑編號：21201201針對該題提問］

011—11…1

12000

02000

10300

10300

000

:00???0

1000?

1000?

解：第二列乘以加到第一列上得

第三列乘以（一9加到第一列上得:

_1_

11-12~311—1

2

0200002000

=

1030000300

000000

000^1000?

2~3~

02000

00300

00,-.0

最后一列乘以加到第一列上得0000?

【考點五】計算含子塊的四分塊的分塊矩陣的行列式：掌握簡化行列式運算的兩個重要

公式：設(shè)A是m階方陣，B是n階方陣，則

AOAc

B=OD

OA_CA

⑵8C=B0=(-1)叫4團

丐00a

o。2如0

0%0

【例10】四階行列式,00心的值等于（）

（A）口述2a3a4一4她久

（B）2a3a4+可出它也

（c）3遮2一瓦與）（a3a4一13&）

00

a400

0a2出

0電

□=(?？?-g)(a2a3-與加)

正確答案：D

【考點六】若行列式中含有變量X,則該行列式展開后成為關(guān)于x的多項式，可考查該

多項式的次數(shù)、零點等問題。

【例11】設(shè)多項式

an+xa124-xa13+x/+x

々21+X以北+X以23+X+工

p(x)=

以31+無?32+X%3+Xa%+X

以41+XAz+x%+x即+工

則P（X）的次數(shù)至多是（）o

(A)I

(B)2

(C)3

(D)4

［答疑編號：21201203針對該題提問］

解：

知+X%+x演+X,4+x

%1+x%+x%+x

%]+x%+x%+x

a33+x

a+x

%1+X刖+x0+x?

%+x

a13+x以M+才

叼1一%a22一%723—%一，4

如一對々32—a12?33一以13%一，4

知一a42~a12々43一々13以44-，4

正確答案：A

【考點七】計算代數(shù)余子式線性組合的值:

1.行列式元素的余子式和代數(shù)余子式：在行列式即1%■"%*伽22)中,

取元素囹，其中為.表示位于該行列式中第i行、第j列的一個元素，我們?nèi)サ簟懊诘牡?/p>

i行和第j列的所有元素，把剩余的伽一個元素按其原來的位置關(guān)系組裝成一個新的n-1

階行列式，記作％并稱其為原行列式中元素%.的余子式。因為在該行列式中一共有忽

個元素，每個元素都有一個余子式，所以這個n階行列式?共有/個余子式.如果在元素“乖

的余子4“之前加上符號，則稱其為元素%的代數(shù)余子式，記作4幽L將

4=㈠產(chǎn)叫?―兩邊都乘以(-1產(chǎn)得

(-嚴4=(-14一產(chǎn)M=K-1產(chǎn)=峋,因此,=(一嚴4。

2.行列式元素的代數(shù)余子式的性質(zhì)和特點：

a.???a、.???a、

11yVlx

?????????■?????

D=41囹…%

????????????■■■

…&，?…axx5之2)

設(shè)行列式K1跖ftfl

（1）4和%的大小無關(guān);

⑵沏4+%4+…+陽4（稱為行列式按第i行展開）。

%4++…+與4=z（稱為行列式按第j列展開）G，/=L2…％）代數(shù)余

子式的這個性質(zhì)稱為行列式的按行按列展開定理或行列式的按行按列展開公式.顯然，行列

式可按任何一行展開，也可按任何一列展開。

（3）+???+%/=04*J）。這表示行列式一行的元素分別與另一行

相應元素的代數(shù)余子式的乘積之和為0。

（4）利用行列式按行按列展開公式計算代數(shù)余子式的代數(shù)和如虹+…+B4*

的方法：替換法。所謂替換法實質(zhì)上就是將行列式按行按列展開公式反過來使用，我們?nèi)サ?/p>

代數(shù)余子式…，4所在的第i行的所有元素，換成代數(shù)余子式4],當2,…，4前面

的系數(shù)“‘與，…，4，其余元素不變,

按其原來的位置關(guān)系組裝成一個新的n階行列式，即

以11ai2…aij…a]x

??????????????????

瓦4I+242+…+44=員瓦-%-4

??■?■■■■■■■■■■■■■■

%2…%…ajtxO

123

005

【例12】計算行列式014中第一行各元素的余子式峪I“％'/13和代數(shù)余子式

O

[答疑編號：21201204針對該題提問]

050500

=-5=0她3==0

Ma11=14M["2=0401

，，

1+2

內(nèi)1=(-1)1+1%1=-5X12=(-l)M12=043=(T)"3購3=0

1234

2341

3412

［例13］設(shè)4階行列式2222,求41+42+43+44。

［答疑編號：21201205針對"該題提問］

1111

2341

3412

4+&+&+&=2222=0

【例14】已知5階行列式

^11&123a14勺5

22211

%=肛1432a33N34電527

11122

町1a52&53a54&55,求：41+&+43+44+a5

［答疑編號：21201206針對該題提問］

解：把第四行展開得：31+1幽2+1&3+2&4+2幽5=27

由此可得方程：

(41+&2+&3)+2(，+/)=27①

2幽］+2幽2+2幽3+^44+45=。

2(&］+&2+43)+(44+45)=0②

①和②組成方程組根據(jù)消元方可算出：

第①個方程左右兩端乘以2倍

2(441+42+43)+4(A44+&5)=54

然后①一②得

3(444+45)=54

.44+&5=18

&］+血2+血3=_9

.4］+AH2+&3+44+^45=9

【例15］設(shè)A是三階可逆矩陣，S'的特征值為1,2,3,求的代數(shù)余子式之和:

41+4+4?

［答疑編號：21201207針對該題提問］

解：

?；A為可逆矩陣

.\A\^0

本題用到定理：

設(shè)A有特征值為，為則①國=&為…4

②對1+吻+…+―=&+42+…為

》特征值為1,2,3,不的行列式=lx2x3=6

同"T=忸|=1

Ml]

a\\an頃3

A=。21勾2勾3

設(shè)a31生2a33

大

伴隨矩陣A

AA=|A|E

‘A”A2IA31、

火

A==A12A22A32

<A13A23A33/

A*=|A|A-1=

A*=1A-1

6

設(shè)A-'a=4a,*0

a=-JCla=—a

：.66

123

大一,一,一

???A特征值為666

【考點八】計算抽象矩陣的行列式：主要利用矩陣行列式的性質(zhì)。

設(shè)A為n階矩陣，則有

(1)

\AB\=\A\\B\,\Ak\=\Af

(2)

|川=國w+/卜⑷叼=,+叫

(3)

kl1

(4)設(shè)A為n階可逆矩陣，則

(5)利用行列式加法運算的性質(zhì)：

設(shè)應為n維列向量，量，則

生聞+|%生聞=|%生色+4|

【例16］設(shè)A為3x3矩陣，博把A按列分塊為的，，其中4。=123)

是A的第j列，則%-MM，%卜—。

［答疑編號：21201208針對該題提問］

解：根據(jù)考點八第五條性質(zhì)得

|馬,342,可|+卜24,342，4|=-3|4，42,a|=-3|川=6

［例17］設(shè)n階矩陣』=(%生,3=(%+弓，電+%，,其中

用，電,…，&為n維列向量。已知行列式同°),求行列式網(wǎng)的值。

［答疑編號：21201209針對該題提問］

解：&=|/+。2，的+的，…,%_1+%，/+/］

根據(jù)行列式加法的性質(zhì)得：

4心+43」“,%-1+%，%+叫+

儀2，戊2+%%-1+%，%+1

=|4|+|/，的產(chǎn),，出，國|

=a+(-1尸|/,0：2|

葉a+(-l)f

【例18］若A是n階方陣，且網(wǎng)=T,證明M+E卜°。

［答疑編號:21201210針對該題提問］

解：

|月+￡卜卜+月尸］

=,(￡+47)卜|力葉￡丁+月丁

=—=—忸+4

.2\A+E\={},\A+E\=0

【例19】設(shè)A、B均為n階矩陣，冷2,|卻=-3,則"B1|=

［答疑編號:21201211針對該題提問］

VH=2.|5|=-3

.2月*礦1=2"小卜T

22M-1

3

第二章矩陣

矩陣主要是研究解矩陣方程，如

AX=B

X=A~XB

矩陣是線性代數(shù)的主要研究對象，有著廣泛的應用。學習線性代數(shù)的目標之一，就是要

學會利用矩陣這一工具去刻畫你所面對的問題，并能利用矩陣的運算和性質(zhì)去解決問題。矩

陣考試的重點是：矩陣的乘法運算，逆矩陣，伴隨矩陣，初等矩陣，矩陣的秩。以計算題為

主，技巧性強。

【大綱內(nèi)容】矩陣的概念；矩陣的線性運算；矩陣的乘法；方陣的暴；方陣乘積的行列

式；矩陣的轉(zhuǎn)置；逆矩陣的概念和性質(zhì)；矩陣可逆的充分必要條件；伴隨矩陣；矩陣的初等

變換；初等矩陣；矩陣的等價；矩陣的秩；初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法；分塊矩陣

及其運算；掌握矩陣的秩。

【大綱要求】掌握矩陣的概念和矩陣的各種運算，特別是矩陣的乘法、矩陣的轉(zhuǎn)置、逆

矩陣、方陣的行列式等。要掌握它們的運算規(guī)律、逆矩陣的性質(zhì)及矩陣可逆的充分必要條件,

會用各種方法求出矩陣的逆矩陣，矩陣的初等變換是研究矩陣各種性質(zhì)和應用矩陣解決各種

問題的重要方法，因此必須掌握矩陣的初等變換，會用初等變換解決有關(guān)問題。掌握矩陣的

秩。

相應知識點精講

一、矩陣的定義

1.矩陣的概念：矩陣就是一張長方形的數(shù)表。和行列式類似地把數(shù)表中橫的稱為行、豎

的稱為列.我們把mxn個數(shù)排列成m行、n歹!J,組裝成一個長方形，兩邊畫兩根弧線，即

形如

（aUaU

aa

以2122…2x

■■■■?■■■■???

‘?ian…

我們稱I%1外2…%?人共是一個m行、n列的矩陣.

其中數(shù)與稱為矩陣的元素，橫排的一行元素的‘%，…，%稱為矩陣的第i行，自上而

下計序，共有m行。豎排的一列元素，，'生⑺…內(nèi)咫稱為矩陣的第j歹IJ,自左向右計序，共

有n列。

2.矩陣的相等：兩個矩陣的行數(shù)相等且列數(shù)也相等，則稱它們是同型矩陣，對于兩個

同型矩陣

a

‘%i2…‘％%???

a???%%???%

A=2l以22B=

????????????????????????

???1%???

Mx?.MxM

如果其相同位置上的元素均相等，即％=%（i=l,2,m,j=l,2,n）則稱

矩陣A=Bo

3.常見的特殊矩陣：

’00-0、

00—0

A=

■■■?■■■■■■■■

（1）所有元素均全為0的矩陣1000人混稱為零矩陣，記做A=O。

（2）僅有一行的矩陣稱為?個行矩陣或n維行向量。僅有一列的矩陣

/

/

f可可

■

與與

：：

。

形式

尸的

，…，這

囪也

寫成

也常

，

向量

維列

陣或n

列矩

一個

稱為

a