同濟(jì)第七版高等數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

同濟(jì)第七版高等數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一頁，共118頁。1可分離變量的微分方程分離變量法2齊次方程2第二頁，共118頁。3第三頁，共118頁。3一階線性微分方程4第四頁，共118頁。高階微分方程1、可降階的高階微分方程的解法型接連積分n次，得通解．型代入原方程,得5第五頁，共118頁。型代入原方程,得6第六頁，共118頁。2、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1）二階齊次線性方程解的結(jié)構(gòu):（2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):7第七頁，共118頁。解的疊加原理8第八頁，共118頁。特征方程為3、二階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)齊次線性方程9第九頁，共118頁。特征方程為推廣：

階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)10第十頁，共118頁。4、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程解法

待定系數(shù)法.11第十一頁，共118頁。12第十二頁，共118頁。向量的分解式：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)：1、向量的坐標(biāo)表示法（一）向量代數(shù)第八章空間解析幾何與向量代數(shù)13第十三頁，共118頁。向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標(biāo)表達(dá)式14第十四頁，共118頁。向量模長的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式15第十五頁，共118頁。它們距離為兩點(diǎn)間距離公式:16第十六頁，共118頁。2、數(shù)量積(點(diǎn)積、內(nèi)積)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式17第十七頁，共118頁。3、向量積(叉積、外積)向量積的坐標(biāo)表達(dá)式18第十八頁，共118頁。方程特點(diǎn):1.旋轉(zhuǎn)曲面（二）空間解析幾何19第十九頁，共118頁。旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面20第二十頁，共118頁。xyz旋轉(zhuǎn)拋物面oyzx21第二十一頁，共118頁。旋轉(zhuǎn)橢球面ozyx22第二十二頁，共118頁。（2）圓錐面（1）球面（3）旋轉(zhuǎn)雙曲面23第二十三頁，共118頁。2.柱面定義：平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱之.這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.24第二十四頁，共118頁。從柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：（其他類推）實(shí)例橢圓柱面母線//軸雙曲柱面母線//軸拋物柱面母線//軸25第二十五頁，共118頁。拋物柱面xyzxyz橢圓柱面雙曲柱面xyz26第二十六頁，共118頁。3.二次曲面定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1）橢球面（2）橢圓拋物面27第二十七頁，共118頁。特殊地：當(dāng)時(shí)，方程變?yōu)樾D(zhuǎn)拋物面（由面上的拋物線繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）28第二十八頁，共118頁。（3）馬鞍面（4）單葉雙曲面（5）圓錐面29第二十九頁，共118頁。4.空間曲線[1]空間曲線的一般方程[2]空間曲線的參數(shù)方程30第三十頁，共118頁。CCC關(guān)于的投影柱面C在上的投影曲線Oxzy設(shè)曲線則C關(guān)于xoy面的投影柱面方程應(yīng)為消z后的方程：所以C在xoy面上的投影曲線的方程為：[3]空間曲線在坐標(biāo)面上的投影31第三十一頁，共118頁。5.平面[1]平面的點(diǎn)法式方程[2]平面的一般方程[3]平面的截距式方程32第三十二頁，共118頁。[4]平面的夾角[5]兩平面位置特征：//重合33第三十三頁，共118頁。6.空間直線[1]空間直線的一般方程34第三十四頁，共118頁。[3]空間直線的參數(shù)方程[2]空間直線的對(duì)稱式方程35第三十五頁，共118頁。直線直線^兩直線的夾角公式[4]兩直線的夾角36第三十六頁，共118頁。[5]兩直線的位置關(guān)系：//[6]直線與平面的夾角//37第三十七頁，共118頁。直線與平面的夾角公式[7]直線與平面的位置關(guān)系//38第三十八頁，共118頁。[8]點(diǎn)到平面距離公式比較中學(xué)所學(xué)的點(diǎn)到直線的距離公式:39第三十九頁，共118頁。6.平面束定義:通過兩相交平面交線的所有平面稱為由這兩個(gè)平面確定的平面束.設(shè)平面40第四十頁，共118頁。1、偏導(dǎo)數(shù)概念第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用41第四十一頁，共118頁。42第四十二頁，共118頁。2、全微分公式用定義證明可微與不可微的方法可微不可微43第四十三頁，共118頁。多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)有極限3、關(guān)系44第四十四頁，共118頁。4、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理1

若函數(shù)在點(diǎn)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌t中間變量均為一元函數(shù)的情形在點(diǎn)t處可導(dǎo)，公式的記憶方法：連線相乘，分線相加.45第四十五頁，共118頁。5、全微分形式不變性無論是自變量的函數(shù)或中間變量的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.46第四十六頁，共118頁。定理1設(shè)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)則方程在點(diǎn)6、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則47第四十七頁，共118頁。定理2的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),滿足①在點(diǎn)若函數(shù)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確48第四十八頁，共118頁。定理3的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)按直接法求解.①在點(diǎn)②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:在點(diǎn)49第四十九頁，共118頁。7、微分法在幾何上的應(yīng)用切線方程為法平面方程為(1)空間曲線的切線與法平面(關(guān)鍵:抓住切向量)50第五十頁，共118頁。1）空間曲線方程為法平面方程為特殊地：(取為參數(shù))51第五十一頁，共118頁。2）空間曲線方程為(取為參數(shù))切線方程為法平面方程為52第五十二頁，共118頁。(２)曲面的切平面與法線

切平面方程為法線方程為(關(guān)鍵:抓住法向量)53第五十三頁，共118頁。曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令則（特殊情形）54第五十四頁，共118頁。8、方向?qū)?shù)記為（1）方向?qū)?shù)的定義及存在的充分條件55第五十五頁，共118頁。三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義方向?qū)?shù)的存在性及其計(jì)算方法:定理那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向的方向?qū)?shù)存在,且有56第五十六頁，共118頁。說明:可微沿任一方向的方向?qū)?shù)存在.反之不一定成立.(2)梯度的概念記為

57第五十七頁，共118頁。梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系58第五十八頁，共118頁。則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的(極小值).定義:若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有（1)二元函數(shù)極值的定義點(diǎn)稱為極值點(diǎn).9、多元函數(shù)的極值59第五十九頁，共118頁。定理1

(必要條件)偏導(dǎo)數(shù),且在該點(diǎn)取得極值,則有（2）多元函數(shù)取得極值的條件函數(shù)在點(diǎn)存在說明:駐點(diǎn)極值點(diǎn)(可導(dǎo)函數(shù))注意：使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).

1.駐點(diǎn)2.偏導(dǎo)中至少有一個(gè)不存在的點(diǎn).所以,可疑極值點(diǎn)是:60第六十頁，共118頁。時(shí),具有極值定理2(充分條件)一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:(1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.(2)當(dāng)(3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有(按極值定義來判定)61第六十一頁，共118頁。第四步求出極值.62第六十二頁，共118頁。(3)多元函數(shù)的最值a.最值的存在性：如函數(shù)b.有界閉區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)的最值的求法與步驟：（1）找最值可疑點(diǎn)D內(nèi)的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)邊界上的可能極值點(diǎn)（2）比較以上各點(diǎn)處的函數(shù)值，最大（?。┱呒礊樗蟮淖畲螅ㄐ。┲?（假定函數(shù)在D有有限個(gè)可疑點(diǎn)）定理：若f(P)在有界閉域D上連續(xù),則在D上可取得最大值M及最小值m.63第六十三頁，共118頁。特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)

求二元函數(shù)在閉區(qū)域D上的最值,往往比較復(fù)雜.但如果根據(jù)問題的實(shí)際意義,知道函數(shù)在D內(nèi)存在最值,又知函數(shù)在D內(nèi)可微,且只有唯一駐點(diǎn),則該點(diǎn)處的函數(shù)值就是所求的最值.★函數(shù)的最值應(yīng)用問題的解題步驟：第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)64第六十四頁，共118頁。（4）條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值．65第六十五頁，共118頁。則（）處連續(xù)；例設(shè)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，(3)66第六十六頁，共118頁。２、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．當(dāng)被積函數(shù)有正有負(fù)時(shí)，二重積分是柱體體積的代數(shù)和.1、二重積分的定義第十章67第六十七頁，共118頁。3、二重積分的計(jì)算［X－型］

X-型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).（１）直角坐標(biāo)系下68第六十八頁，共118頁。

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).［Y－型］69第六十九頁，共118頁。求二重積分的方法步驟:1.作圖求交點(diǎn)；2.選擇積分次序；4.計(jì)算.(先內(nèi)積分后外積分;計(jì)算內(nèi)積分時(shí)把在累次積分不易積或不能積時(shí),應(yīng)考慮交換積分次序.(把D寫成不等式形式)；外積分變量看成常數(shù))3.確定積分限70第七十頁，共118頁。1、選擇積分次序(1)首先被積函數(shù)要易積分，能積分；(2)積分區(qū)域D盡量少分塊.2、確定積分限計(jì)算二重積分的兩個(gè)關(guān)鍵：內(nèi)限—平行線穿越法.外限—投影法；71第七十一頁，共118頁。（2）極坐標(biāo)系下72第七十二頁，共118頁。2、定限方法內(nèi)限（的限）——射線穿越法.外限（的限）——看夾在那兩條射線之間；利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分應(yīng)注意：積分次序——先ρ后1、何時(shí)用極坐標(biāo)？1、當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A域或其一部分時(shí)；2、被積函數(shù)中含有或時(shí).3、用直角坐標(biāo)求不出的積分.73第七十三頁，共118頁。4、二重積分的應(yīng)用(1)體積設(shè)S曲面的方程為：曲面S的面積為(2)曲面積設(shè)上連續(xù)，曲頂柱體頂——被積函數(shù)；底——積分區(qū)域.(3)求質(zhì)量74第七十四頁，共118頁。6、三重積分的幾何意義7、三重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)．5、三重積分的定義75第七十五頁，共118頁。8、三重積分的計(jì)算(１)直角坐標(biāo)（截面法）（先一后二法）76第七十六頁，共118頁。(２)柱面坐標(biāo)77第七十七頁，共118頁。積分次序：定限方法內(nèi)限—平行線穿越法；外積分區(qū)域—投影法.（可用極坐標(biāo)計(jì)算時(shí)的定限法）78第七十八頁，共118頁。9、三重積分的應(yīng)用(3)質(zhì)心(1)求體積(2)求質(zhì)量79第七十九頁，共118頁?；∥⒎衷O(shè)L：（1）對(duì)弧長（第一類）1.曲線積分的計(jì)算——化為定積分計(jì)算第十一章曲線、曲面積分80第八十頁，共118頁。（2）對(duì)坐標(biāo)（第二類）設(shè)L：有方向81第八十一頁，共118頁。2．曲面積分的計(jì)算（化為二重積分）若（1）對(duì)面積（第一類）的曲面積分向xoy面的投影為則投影投影82第八十二頁，共118頁。（2）對(duì)坐標(biāo)（第二類）的曲面積分若上側(cè)，則若下側(cè)，則有方向83第八十三頁，共118頁。3.格林公式----平面上曲線積分與二重積分的關(guān)系4.曲線積分與路徑無關(guān)的條件L取正向.以及等價(jià)關(guān)系.設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成,84第八十四頁，共118頁。5.高斯公式——曲面積分與三重積分的關(guān)系85第八十五頁，共118頁。6.兩類積分之間的關(guān)系：的法向量L的切向量曲線:曲面:86第八十六頁，共118頁。三.兩類曲線(曲面)積分的典型問題一般曲線積分化成定積分計(jì)算，一般曲面積分化成二重積分計(jì)算，封閉曲線的積分利用格林公式化為二重積分.封閉曲面的積分利用高斯公式化為三重積分.87第八十七頁，共118頁。第一類曲線積分的求法1.基本方法：由積分曲線的表達(dá)式求出弧微分元素，定積分定限：下限小于上限.將積分曲線代入被積函數(shù)，88第八十八頁，共118頁。2.利用積分性質(zhì):解3.計(jì)算中注意利用對(duì)稱性:奇偶性、輪換性89第八十九頁，共118頁。因?yàn)榉e分曲線L關(guān)于y軸對(duì)稱，函數(shù)2xcosy是例設(shè)L為橢圓其周長為a，求解原式=x的奇函數(shù)，因此有而所以90第九十頁，共118頁。第二類曲線積分的求法1.基本方法：由積分曲線的表達(dá)式確定定積分的積分變量，將積分曲線代入被積表達(dá)式，定積分定限：起點(diǎn)對(duì)應(yīng)下限，終點(diǎn)對(duì)應(yīng)上限.91第九十一頁，共118頁。2.利用格林公式(1)積分曲線為封閉曲線,直接化為二重積分（滿足定理?xiàng)l件）(2)積分曲線為非封閉曲線,添加曲線(較簡單)使之成為封閉曲線,原曲線積分化為一個(gè)二重積分減去在添加曲線上的曲線積分.92第九十二頁，共118頁。記L所圍的區(qū)域?yàn)镈，易知D是邊長為的正方形區(qū)域.例1設(shè)L為的反時(shí)針方向，則(A)0；(B)2；(C)4；(D)1．解由已知，則由格林公式，得B93第九十三頁，共118頁。解

為用格林公式,它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,

則原式添加輔助線段94第九十四頁，共118頁。原式95第九十五頁，共118頁。3.利用曲線積分與路徑無關(guān)的條件(1)改變?cè)e分路徑，使得原積分簡化.(2)已知是某函數(shù)的全微分，求出該函數(shù)，即96第九十六頁，共118頁。97第九十七頁，共118頁。4.有奇點(diǎn)的曲線積分例4設(shè)取逆時(shí)針方向，求解取構(gòu)造l：順時(shí)針已知98第九十八頁，共118頁。于是，由格林公式99第九十九頁，共118頁。第一類曲面積分的求法由積分曲面表達(dá)式確定曲面向一坐標(biāo)面投影，將積分曲面代入被積函數(shù)，求出曲面面積元素向xoy面投影：1.基本方法：100第一百頁，共118頁。2.計(jì)算中注意利用對(duì)稱性:奇偶性、輪換性關(guān)于xoy面對(duì)稱，被積函數(shù)是z的偶