圓柱坐標系和球坐標系

1.8柱坐標系與球坐標系1.8.1柱坐標系=常數(shù)（平面=常數(shù)（平面）這三個坐標面交匯于P點，且在P點處相互正交。為反映這一特征，在P點處分別沿三（1）建立圓柱坐標系空間任一點P的位置由坐標（P，。，z）確定，如圖（〃）所示。其中:P是P點到z軸的距離，即位置矢量r在xoy平面上的投影；。是正x軸轉到半平面oABC的方位角（0W。W2丸）；z是位置矢量r在z軸上的投影，即P點到xoy平面的距離。這三個坐標確定之后，就確定了三個坐標面：以z為軸、P為半徑的圓柱面；正xoz半平面繞z軸逆時鐘旋轉。角度所得半平面;距xoy平面為z的平行平面。=常數(shù)（平面）p=常數(shù)（圓柱面）(1.8.1)個坐標增加的方向各取一個單位矢量ep、e^和e(1.8.1)①三個單位矢量相互正交，且滿足右手關系epxe0=ezXez=%ezXep=

②除與是常矢外，％和門的方向都有可能隨尸點的不同而變化，它們是坐標函數(shù):TOC\o"1-5"\h\ze-cos(|)e+sin(|)e

PXye=-sin(|)e+cos(|)e%、勺對坐標p、奴z求偏導\o"CurrentDocument"dededep_=0,p=g”p_=0dp5(|)。dzdetdeider=0,=—e,=0>dp6(|)pdz坦-o也-o￡S-o

dp5(pdz矢量F(P、。、Z)在圓柱坐標系下的表示式(1.8.2)A=Ae+Ae+Ae

ppeezz(1.8.2)線元矢量、面元和體積元當點的位置發(fā)生微小變化導致了微分位移，用線元矢量血表示(1.8.3)dl-dpe+pd(|)ei+dzeP9z(1.8.3)三個坐標微分增量dp、d(p>dz所形成的體積元dUdV=pdpd(|)dz(1.8.4)兩坐標變量的微小變化將形成三個典型面元，它們的正方向分別沿坐標P、奴z的正方向

dS=pd。dzdS；=dpdZ|(1.8.5)dS=pdpd虬圓柱坐標系中的三度表達式TOC\o"1-5"\h\z對于連續(xù)、可微的標量場f(P、。、z),按多元函數(shù)的全微分鏈式法則表示微增量

df切dfdf=dp+二d。+dzdpdz作改寫dfdfdfdf=__dp+二d。+dz-Cp&+pd。&。+dz&）dp莎dz'df1dfdf'=,ap七+6莎?。+無&z/對照梯度定義式df=W--Cp&+pd。&。+dz&）W=f&p+器&誠&z（p豐0）（1.8.6）f1dFz-"+&fdf1dFz-"+&fdFp-坦]+&13d。dzJ。[dzdpJzpdp（pF。）-d。dFpp&p&。dddp莎FppF。p1fdpF/&z友&'0）（1-）按V與F（p,如z）的運算還可以得出散度和旋度的表達式：V-F（p,如z）=1:（pF）+1奪+*（p壬0）（1.8.8）pdppp6。dzVxF（p,。,z）1pezddzFz進而可得標量場的拉普拉斯表達式V2f(p,。,z)=V?W(P,Sz)(1.8.10)1d(df)1d2fd2f/c、=P^〔p制學而+布g0)(1.8.10)例1-6已知F(P,z)=p七—ze^，試就z=1平面上半徑為2的圓形回路及其所圍區(qū)域，驗證斯托克斯定理。解：在給定圓形回路上，若回路循行方向取得與e$的方向相同，在z=1的平面上有F=2e廣edl=2dee,F?dl=4dejF?dl=j2兀4d。=4,2兀二8冗i00又因為VxF=仁哇-竺^e+(坦一巴e+1R(p勺一電e*pd,dzjp\dzdpJ^p|_Qp，d,_|z=-X(-z)-g(p)]e+「0-二(_z)]e+!\-L(p2)_o]e_pd,dz_|p|_dp_|,p|_dp_|z=2ez在指定的圓面上，有VxF=2e/dS=dSze=pdpd,e，貝ij(VxF)?dS=2pdpd,得證j(VxF)?dS=j22p(j2兀d,)dp=2兀j22pdp=2兀(p2)2=8兀

s0000得證1.8.2球坐標系x(1)建立球坐標系x空間任一點P的位置由坐標(尸，°，,)確定，其中：①r是尸點到坐標原點的距離，即位置矢量r的模；°表示位置矢量r與正z軸之間的夾角；,是正x軸與位置矢量r在xoy平面投影之間的夾角（0W?W2兀）。這三個坐標確定之后，就確定了三個坐標面：以°為球心、r為半徑的球面；以°為頂點、9為半頂角的正圓錐面；正xoz半平面繞z軸逆時鐘旋轉。角度所得半平面。這三個坐標面交匯于P點，且相互正交。為反映這一特征，在P點處分別沿三個坐標增加的方向各取一單位矢量與、%和門。三單位矢量有以下特點：①三個單位矢量相互正交，且滿足右手關系，即erX勺=°。；時I*,；%②er、e和門的方向都有可能隨P點的不同而變化，即它們是球坐標函數(shù)。在球坐標系下，矢量A（r，9，。）可表示為A=Ae+Ae+Aerr99。。式中的Ar、A。、A。分別是A在其所在點的各單位矢量方向上的分量。（2）線元矢量、面元和體積元(1.8.12)由于坐標變量取微增量dr、d。、d。所形成的線元矢量dZ、體積元AV及三個面元dSr、dS9、dS。，具體表達式如下dI=dre+rd9e。+rsin9d。e。dV=r2sin9drd9d。(1.8.13)(1.8.14)rsin9d。ds,。IIEddrsin9d。/^^^T、ds(a)(b)dS=r2sin0d0d。dS0=rsin0drd。＞dS。=rdrd0(1.8.15)(3)球坐標系中的三度表達式設標量場f(r^)是連續(xù)、可微的，根據(jù)多元函數(shù)的全微分鏈式法則，有dfdfdf,df=_dr+二dO+二d。\o"CurrentDocument"dr笛莎df1df1df=匕dr+(rdO)+_(rsinOd。)drrdOrsinOd。_zdf1df1dfC=(er奄+eorao+e。rsno萍)'?e+rdOeo+rsin0d。％)對照梯度定義式df=W-dl和dl表達式，得b_df1df1dff=der+raoeo+rsno弛e。(r?)且▽ed+e1d+e1drdr0rdO。rsinOd。(1.8.16)(1.8.17)用V算符分別對F(r,0,。)進行點乘、叉乘運算以及對Vf進行點乘運算，得V-F=1=(r2F)+_1g(sin0%)+」輿(r豐0)(1.8.18)r2drrrsinOdO0rsinOd。VxF=e1-(sinOF)-%|+e1二?％-￡(rF)rrsinOdO。d。IOrsi