一元二次方程的認(rèn)識(shí)及解法(含答案)

千里之行，始于足下。第2頁/共2頁精品文檔推薦一元二次方程的認(rèn)識(shí)及解法(含答案)一元二次方程的認(rèn)識(shí)及解法

一．挑選題（共26小題）

1．對(duì)于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，則（）

A．a(chǎn)≠±1B．a(chǎn)=1C．a(chǎn)=﹣1D．a(chǎn)=±1

2．下列方程是對(duì)于x的一元二次方程的是（）

A．x2+=1B．a(chǎn)x2+bx+c=0C．（x+1）（x+2）=1D．3x2﹣2xy﹣5y=0

3．下列方程中是一元二次方程的是（）

A．xy+2=1B．C．x2=0D．a(chǎn)x2+bx+c=0

4．對(duì)于x的方程x2+5x+m=0的一具根為﹣2，則m的值為（）

A．6B．3C．﹣3D．﹣6

5．若對(duì)于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，則2020+2a﹣b的值是（）

A．2016B．2018C．2020D．2022

6．利用平方根去根號(hào)能夠構(gòu)造一具整系數(shù)方程．例如：x=+1時(shí)，移項(xiàng)得x﹣1=，兩邊平方得（x﹣1）2=（）2，因此x2﹣2x+1=2，即x2﹣2x﹣1=0．仿照上述構(gòu)造辦法，當(dāng)x=時(shí)，能夠構(gòu)造出一具整系數(shù)方程是（）

A．4x2+4x+5=0B．4x2+4x﹣5=0C．x2+x+1=0D．x2+x﹣1=0

7．若方程（n﹣1）x2+x﹣1=0是對(duì)于x的一元二次方程，則（）

A．n≠1B．n≥0C．n≥0且n≠1D．n為任意實(shí)數(shù)

8．對(duì)于x的方程ax2﹣3x+1=2x2是一元二次方程，則a的取值范圍為（）

A．a(chǎn)≠0B．a(chǎn)＞0C．a(chǎn)≠2D．a(chǎn)＞2

9．下列方程是一元二次方程的是（）

A．a(chǎn)x2+bx+c=0B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0D．（x﹣1）2+1=0

10．方程2x2﹣6x=9的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分不為（）

A．6，2，9B．2，﹣6，9C．2，﹣6，﹣9D．﹣2，6，9

11．方程x2+6x﹣5=0的左邊配成徹底平方后所得方程為（）

A．（x+3）2=14B．（x﹣3）2=14C．（x+3）2=4D．（x﹣3）2=4

12．用配辦法解方程2x2+3x﹣1=0，則方程可變形為（）

A．（3x+1）2=1B．C．D．

13．別論x，y取何實(shí)數(shù)，代數(shù)式x2﹣4x+y2﹣6y+13總是（）

A．非負(fù)數(shù)B．正數(shù)C．負(fù)數(shù)D．非正數(shù)

14．一元二次方程（x﹣2018）2+2017=0的根的事情是（）

A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)別相等的實(shí)數(shù)根

C．惟獨(dú)一具實(shí)數(shù)根D．無實(shí)數(shù)根

15．一元二次方程x2+4=0的根的事情是（）

A．有兩個(gè)別相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C．無實(shí)數(shù)根D．無法確定

16．對(duì)于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）

A．m≥﹣1B．m＞﹣1C．m≤﹣1D．m＜﹣1

17．若對(duì)于x的一元二次方程mx2﹣x=有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A．m≥﹣1B．m≥﹣1且m≠0C．m＞﹣1且m≠0D．m≠0

18．對(duì)于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+6=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是（）

A．6B．7C．8D．9

19．若對(duì)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（）

A．k≥0B．k＞0C．k≥D．k＞

20．方程的根的事情是（）

A．有兩個(gè)別等的有理數(shù)根B．有兩個(gè)相等的有理數(shù)根

C．有兩個(gè)別等的無理數(shù)根D．有兩個(gè)相等的無理數(shù)根

21．對(duì)于x的方程|x2﹣x|﹣a=0，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有2個(gè)別同的實(shí)根；②存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有3個(gè)別同的實(shí)根；

③存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有4個(gè)別同的實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有6個(gè)別同的實(shí)根；

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4

22．已知a、b、c是△ABC的三邊長，且方程a（1+x2）+2bx﹣c（1﹣x2）=0的兩根相等，則△ABC為（）

A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．任意三角形

23．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列講法：

①若a+b+c=0，則b2﹣4ac＞0；

②若方程兩根為﹣1和2，則2a+c=0；

③若方程ax2+c=0有兩個(gè)別相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c=0必有兩個(gè)別相等的實(shí)根；

④若b=2a+c，則方程有兩個(gè)別相等的實(shí)根．其中正確的有（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④

24．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，其中真命題有（）

①若a+b+c=0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0兩根為﹣1和2，則2a+c=0；③若方程ax2+c=0有兩個(gè)別相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c=0必有兩個(gè)別相等的實(shí)根．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0個(gè)

25．若對(duì)于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0無實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)y=（n+1）x﹣n的圖象別通過（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

26．已知向來角三角形的三邊長為a，b，c，∠B=90°，這么對(duì)于x的方程a（x2﹣1）﹣2x+b（x2+1）=0的根的事情為（）

A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)別相等的實(shí)數(shù)根

C．沒有實(shí)數(shù)根D．無法確定

二．填空題（共1小題）

27．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=，x1=，x2=．

三．解答題（共13小題）

28．解下列方程

（1）（x﹣3）2﹣16=0；（2）（x+1）（x+3）=6x+4．

29．解方程4（x﹣1）2=9

30．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運(yùn)算“△”，其規(guī)則為：a△b=a2﹣b2，依照那個(gè)規(guī)則：

（1）求4△3的值；

（2）求（x+2）△5=0中x的值．

31．解方程：4（x﹣1）2﹣81=0．32．解方程：（2x﹣3）2﹣25=0．

33．解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．

34．用適當(dāng)?shù)霓k法解下面的方程：

（1）（x﹣5）2﹣9=0（2）3x2﹣1=6x．

35．已知對(duì)于x的一元二次方程（a+3）x2﹣ax+1=0有相等的實(shí)數(shù)根．

（1）求a的值；

（2）求方程的根．

36．對(duì)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0

（1）若x=﹣1是方程的一具根，求m的值及另一具根．

（2）當(dāng)m為何值時(shí)方程有兩個(gè)別同的實(shí)數(shù)根．

37．已知對(duì)于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）=0，其中a、b、c分不為△ABC三邊的長．（1）假如x=﹣1是方程的根，試推斷△ABC的形狀，并講明理由；

（2）假如方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試推斷△ABC的形狀，并講明理由；

（3）假如△ABC是等邊三角形，試求那個(gè)一元二次方程的根．

38．已知對(duì)于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2=0．

（1）當(dāng)m取何值時(shí)，方程有兩個(gè)別相等的實(shí)數(shù)根；

（2）為m選取一具合適的整數(shù)，使方程有兩個(gè)別相等的實(shí)數(shù)根，并求這兩個(gè)根．

39．甲、乙兩同學(xué)投擲一枚骰子，用字母p、q分不表示兩人各投擲一次的點(diǎn)數(shù)．

（1）求滿腳對(duì)于x的方程x2+px+q=0有實(shí)數(shù)解的概率；

（2）求（1）中方程有兩個(gè)相同實(shí)數(shù)解的概率．

40．已知一元二次方程（m﹣3）x2+2mx+m+1=0有兩個(gè)別相等的實(shí)數(shù)根，同時(shí)這兩個(gè)根又別互為相反數(shù)．

（1）求m的取值范圍；

（2）當(dāng)m在取值范圍內(nèi)取最小正偶數(shù)時(shí)，求方程的根．

一．挑選題（共26小題）

1．對(duì)于x的方程（a﹣1）x|a|+1﹣3x+2=0是一元二次方程，則（C）

A．a(chǎn)≠±1B．a(chǎn)=1C．a(chǎn)=﹣1D．a(chǎn)=±1

2．下列方程是對(duì)于x的一元二次方程的是（C）

A．x2+=1B．a(chǎn)x2+bx+c=0C．（x+1）（x+2）=1D．3x2﹣2xy﹣5y=0

3．下列方程中是一元二次方程的是（C）

A．xy+2=1B．C．x2=0D．a(chǎn)x2+bx+c=0

4．對(duì)于x的方程x2+5x+m=0的一具根為﹣2，則m的值為（A）

A．6B．3C．﹣3D．﹣6

5．若對(duì)于x的一元二次方程ax2﹣bx+4=0的解是x=2，則2020+2a﹣b的值是（B）

A．2016B．2018C．2020D．2022

6．利用平方根去根號(hào)能夠構(gòu)造一具整系數(shù)方程．例如：x=+1時(shí)，移項(xiàng)得x﹣1=，兩邊平方得（x﹣1）2=（）2，因此x2﹣2x+1=2，即x2﹣2x﹣1=0．仿照上述構(gòu)造辦法，當(dāng)x=時(shí)，能夠構(gòu)造出一具整系數(shù)方程是（B）

A．4x2+4x+5=0B．4x2+4x﹣5=0C．x2+x+1=0D．x2+x﹣1=0

7．若方程（n﹣1）x2+x﹣1=0是對(duì)于x的一元二次方程，則（C）

A．n≠1B．n≥0C．n≥0且n≠1D．n為任意實(shí)數(shù)

8．對(duì)于x的方程ax2﹣3x+1=2x2是一元二次方程，則a的取值范圍為（C）

A．a(chǎn)≠0B．a(chǎn)＞0C．a(chǎn)≠2D．a(chǎn)＞2

9．下列方程是一元二次方程的是（D）

A．a(chǎn)x2+bx+c=0B．3x2﹣2x=3（x2﹣2）C．x3﹣2x﹣4=0D．（x﹣1）2+1=0

10．方程2x2﹣6x=9的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分不為（C）

A．6，2，9B．2，﹣6，9C．2，﹣6，﹣9D．﹣2，6，9

11．方程x2+6x﹣5=0的左邊配成徹底平方后所得方程為（A）

A．（x+3）2=14B．（x﹣3）2=14C．（x+3）2=4D．（x﹣3）2=4

12．用配辦法解方程2x2+3x﹣1=0，則方程可變形為（B）

A．（3x+1）2=1B．C．D．

13．別論x，y取何實(shí)數(shù)，代數(shù)式x2﹣4x+y2﹣6y+13總是（A）

A．非負(fù)數(shù)B．正數(shù)C．負(fù)數(shù)D．非正數(shù)

14．一元二次方程（x﹣2018）2+2017=0的根的事情是（D）

A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)別相等的實(shí)數(shù)根C．惟獨(dú)一具實(shí)數(shù)根D．無實(shí)數(shù)根15．一元二次方程x2+4=0的根的事情是（C）

A．有兩個(gè)別相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根D．無法確定

16．對(duì)于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（A）

A．m≥﹣1B．m＞﹣1C．m≤﹣1D．m＜﹣1

17．若對(duì)于x的一元二次方程mx2﹣x=有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（B）

A．m≥﹣1B．m≥﹣1且m≠0C．m＞﹣1且m≠0D．m≠0

18．對(duì)于x的方程（a﹣6）x2﹣8x+6=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是（C）

A．6B．7C．8D．9

19．若對(duì)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（A）

A．k≥0B．k＞0C．k≥D．k＞

20．方程的根的事情是（D）

A．有兩個(gè)別等的有理數(shù)根B．有兩個(gè)相等的有理數(shù)根

C．有兩個(gè)別等的無理數(shù)根D．有兩個(gè)相等的無理數(shù)根

21．對(duì)于x的方程|x2﹣x|﹣a=0，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有2個(gè)別同的實(shí)根；②存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有3個(gè)別同的實(shí)根；

③存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有4個(gè)別同的實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有6個(gè)別同的實(shí)根；

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（C）

A．1B．2C．3D．4

解：∵|x2﹣x|﹣a=0，∴|x2﹣x|=a，∴a≥0，當(dāng)a=0時(shí)，x2﹣x=0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

若x2﹣x＞0，則x2﹣x﹣a=0，∴△=（﹣1）2+4a=4a+1＞0，此刻方程有兩個(gè)別相等的實(shí)數(shù)根．

若x2﹣x＜0，則﹣x2+x﹣a=0，即則x2﹣x+a=0，∴△=（﹣1）2﹣4a=﹣4a+1，當(dāng)﹣4a+1＞0時(shí)，0≤a＜，此刻方程有兩個(gè)別相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)﹣4a+1=0時(shí)，a=，此刻方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

當(dāng)﹣4a+1＜0時(shí)，a＞，此刻方程沒有的實(shí)數(shù)根；∴當(dāng)0＜a＜時(shí)，使得方程恰有4個(gè)別同的實(shí)根，故③正確；當(dāng)a=時(shí)，使得方程恰有3個(gè)別同的實(shí)根，故②正確；當(dāng)a=0或a＞時(shí)，使得方程恰有2個(gè)別同的實(shí)根，故①正確．∴正確的結(jié)論是①②③．

22．已知a、b、c是△ABC的三邊長，且方程a（1+x2）+2bx﹣c（1﹣x2）=0的兩根相等，則△ABC

為（C）

A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．任意三角形

23．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，下列講法：

①若a+b+c=0，則b2﹣4ac＞0；

②若方程兩根為﹣1和2，則2a+c=0；

③若方程ax2+c=0有兩個(gè)別相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c=0必有兩個(gè)別相等的實(shí)根；

④若b=2a+c，則方程有兩個(gè)別相等的實(shí)根．其中正確的有（C）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④

解：①當(dāng)x=1時(shí)，有若a+b+c=0，即方程有實(shí)數(shù)根了，∴△≥0，故錯(cuò)誤；

②把x=﹣1代入方程得到：a﹣b+c=0（1）把x=2代入方程得到：4a+2b+c=0（2）

把（2）式減去（1）式×2得到：6a+3c=0，即：2a+c=0，故正確；

③方程ax2+c=0有兩個(gè)別相等的實(shí)數(shù)根，則它的△=﹣4ac＞0，

∴b2﹣4ac＞0而方程ax2+bx+c=0的△=b2﹣4ac＞0，∴必有兩個(gè)別相等的實(shí)數(shù)根．故正確；

④若b=2a+c則△=b2﹣4ac=（2a+c）2﹣4ac=4a2+c2，∵a≠0，∴4a2+c2＞0故正確．

②③④都正確，故選C．

24．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，其中真命題有（C）

①若a+b+c=0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0兩根為﹣1和2，則2a+c=0；③若方程ax2+c=0有兩個(gè)別相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c=0必有兩個(gè)別相等的實(shí)根．

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0個(gè)

解：①若a+b+c=0，方程ax2+bx+c=0有一根為1，又a≠0，則b2﹣4ac≥0，正確；

②由兩根關(guān)系可知，﹣1×2=，整理得：2a+c=0，正確；

③若方程ax2+c=0有兩個(gè)別相等的實(shí)根，則﹣4ac＞0，可知b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0必有兩個(gè)別相等的實(shí)根，正確．

25．若對(duì)于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0無實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)y=（n+1）x﹣n的圖象別通過（C）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

26．已知向來角三角形的三邊長為a，b，c，∠B=90°，這么對(duì)于x的方程a（x2﹣1）﹣2x+b（x2+1）=0的根的事情為（D）

A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)別相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根D．無法確定

二．填空題（共1小題）

27．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=41，x1=，x2=．三．解答題（共13小題）

28．解下列方程

（1）（x﹣3）2﹣16=0；（2）（x+1）（x+3）=6x+4．

解：（1）原方程化為（x﹣3﹣4）（x﹣3+4）=0解得x1=7，x2=﹣1；

（2）原方程整理，得x2﹣2x﹣1=0配方，得（x﹣1）2=2開平方，得．

29．解方程4（x﹣1）2=9解得x1=，x2=﹣．

30．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運(yùn)算“△”，其規(guī)則為：a△b=a2﹣b2，依照那個(gè)規(guī)則：

（1）求4△3的值；

（2）求（x+2）△5=0中x的值．

解：（1）4△3=42﹣32=16﹣9=7；

（2）由題意得（x+2）△5=（x+2）2﹣52=0，（x+2）2=25，兩邊直截了當(dāng)開平方得：x+2=±5，

x+2=5，x+2=﹣5，解得：x1=3，x2=﹣7．

31．解方程：4（x﹣1）2﹣81=0．因此x1=，x2=﹣．

32．解方程：（2x﹣3）2﹣25=0．解得：x1=，x2=．

33．解方程：4（x+3）2=25（x﹣2）2．解得：，．

34．用適當(dāng)?shù)霓k法解下面的方程：

（1）（x﹣5）2﹣9=0（2）3x2﹣1=6x．

解得：x=8或x=2；x==．．

35．已知對(duì)于x的一元二次方程（a+3）x2﹣ax+1=0有相等的實(shí)數(shù)根．

（1）求a的值；（2）求方程的根．

解：（1）∵對(duì)于x的一元二次方程（a+3）x2﹣ax+1=0有相等的實(shí)數(shù)根．

∴a+3≠0，且△=a2﹣4（a+3）=（a﹣6）（a+2）=0，∴a=6或a=﹣2，

（2）由（1）知，a=6或a=﹣2，當(dāng)a=6時(shí)，原方程可化為9x2﹣6x+1=0，

∴（4a﹣1）2=0，∴x1=x2=，當(dāng)a=﹣2時(shí)，原方程可化為x2+2x+1=0，

∴（2a+1）2=0，∴x1=x2=﹣．

36．對(duì)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0

（1）若x=﹣1是方程的一具根，求m的值及另一具根．

（2）當(dāng)m為何值時(shí)方程有兩個(gè)別同的實(shí)數(shù)根．

解：（1）將x=﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2=0，解得：m=2．

當(dāng)m=2時(shí)，原方程為x2﹣x﹣2=0，即（x+1）（x﹣2）=0，∴x1=﹣1，x2=2，∴方程的另一具根為2．（2）∵方程（m﹣1）x2﹣x﹣2=0有兩個(gè)別同的實(shí)數(shù)根，

∴，解得：m＞且m≠1，

∴當(dāng)m＞且m≠1時(shí)，方程有兩個(gè)別同的實(shí)數(shù)根．

37．已知對(duì)于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）=0，其中a、b、c分不為△ABC三邊的長．（1）假如x=﹣1是方程的根，試推斷△ABC的形狀，并講明理由；

（2）假如方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試推斷△ABC的形狀，并講明理由；

（3）假如△ABC是等邊三角形，試求那個(gè)一元二次方程的根．

解：（1）△ABC是等腰三角形，理由：當(dāng)x=﹣1時(shí)，（a+b）﹣2c+（b﹣a）=0，∴b=c，

∴△ABC是等腰三角形，

（2）△ABC是直角三角形，理由：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=（2c）2﹣4（a+b）（b﹣a）=0，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形；

（3）∵△ABC是等邊