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2022-2023學(xué)年廣東省河源市龍川縣培英學(xué)校八年級(jí)(下)開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題:本大題共10小題,每小題3分,共30分。1.以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng),能構(gòu)成直角三角形的是()A.5、6、7 B.10、8、4 C.7、24、25 D.9、15、172.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,AC=2,則BC的值()A. B. C. D.3.判斷下列三條線段a,b,c組成的三角形不是直角三角形的是()A.a(chǎn)=4,b=5,c=3 B.a(chǎn)=7,b=25,c=24 C.a(chǎn)=40,b=50,c=60 D.a(chǎn)=5,b=12,c=134.如圖所示,在Rt△ABC中,AB=8,AC=6,∠CAB=90°,AD⊥BC,那么AD的長(zhǎng)為()A.1 B.2 C.3 D.4.85.如圖所示,有一塊直角三角形紙片,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,將斜邊AB翻折,使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處,折痕為AD,則CE的長(zhǎng)為()A.1cm B.1.5cm C.2cm D.3cm6.如圖,點(diǎn)P是∠BAC的平分線AD上一點(diǎn),PE⊥AC于點(diǎn)E,且PE=3,AP=5,點(diǎn)F在邊AB上運(yùn)動(dòng),當(dāng)運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)△FAP面積恰好是△EAP面積的2倍,則此時(shí)AF的長(zhǎng)是()A.10 B.8 C.6 D.47.直角三角形的兩邊長(zhǎng)m,n滿足,則第三邊長(zhǎng)是()A.5 B.5或 C.4或 D.48.如圖是一個(gè)正六棱柱的主視圖和左視圖,則圖中的a=()A. B. C.2 D.19.已知:如圖在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,點(diǎn)C,D,E三點(diǎn)在同一條直線上,連接BD,BE.以下四個(gè)結(jié)論:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE2=2(AD2+AB2),其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.410.如圖,點(diǎn)E在△DBC的邊DB上,點(diǎn)A在△DBC內(nèi)部,∠DAE=∠BAC=90°,AD=AE,AB=AC.給出下列結(jié)論:①BD=CE;②∠ABD+∠ECB=45°;③BD⊥CE;④BE2=2(AD2+AB2)﹣CD2.其中不正確的結(jié)論有()個(gè).A.3 B.2 C.1 D.0二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分。11.把兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置,其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A,且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)B,C,D在同一直線上.若AB=,則CD=.12.如圖,已知AB是線段CD的垂直平分線,E是AB上一點(diǎn),如果EC=10,EF=8,那么DF=.13.如圖,在3×3的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)A,B,C均為格點(diǎn),以點(diǎn)A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑作弧,交格線于點(diǎn)D,則CD的長(zhǎng)為.14.在四邊形ABCD中,已知△ABC是等邊三角形,∠ADC=30°,AD=3,BD=5,則邊CD的長(zhǎng)為.15.如圖,∠BAC=90°,AB=AC,AE⊥AD,且AE=AD,AF平分∠DAE交BC于F,若BD=6,CF=8,則線段AD的長(zhǎng)為.16.如圖,∠BAC=90度,AB=AC,AE⊥AD,且AE=AD,AF平分∠DAE交BC于F,若BD=6,CF=8,則線段AD的長(zhǎng)為.17.如圖,在矩形ABCD中,AD=3,將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到矩形AEFG,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在CD上,且DE=EF,則AB的長(zhǎng)為.三、解答題:第18,19.20小題5分,第21,22,23小題9分,第24,25小題10分。18.如圖所示,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC邊上的中線AD=6,求BC的長(zhǎng).19.一個(gè)零件的形狀如圖所示,工人師傅按規(guī)定做得∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,假如這是一塊鋼板,你能幫工人師傅計(jì)算一下這塊鋼板的面積嗎?20.如圖,長(zhǎng)方形ABCD中,AB=8,BC=10,在邊CD上取一點(diǎn)E,將△ADE折疊后點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處(1)求CE的長(zhǎng);(2)在(1)的條件下,BC邊上是否存在一點(diǎn)P,使得PA+PE值最?。咳舸嬖?,請(qǐng)求出最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.21.如圖,在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),直線FG過(guò)AC上的點(diǎn)F,交BC于D,交AC上的平行線BG于點(diǎn)G,DE⊥GF,并交AB于點(diǎn)E,連接EG,EF.(1)求證:BG=CF;(2)當(dāng)點(diǎn)F位于何位置時(shí),四邊形ABGF是平行四邊形,并證明;(3)若AB=AC,AB⊥AC,求證:BE2+CF2=EF2.22.為了綠化環(huán)境,我縣某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD,如圖所示,學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮,經(jīng)測(cè)量∠A=90°,AB=3m,DA=4m,BC=12m,CD=13m.(1)求出空地ABCD的面積.(2)若每種植1平方米草皮需要200元,問(wèn)總共需投入多少元?23.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn).A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(m,0)、B(0,n),且,點(diǎn)P從A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AO勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)求OA、OB的長(zhǎng);(2)連接PB,若△POB的面積不大于3且不等于0,求t的范圍;(3)過(guò)P作直線AB的垂線,垂足為D,直線PD與y軸交于點(diǎn)E,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,是否存在這樣的點(diǎn)P,使△EOP≌△AOB?若存在,請(qǐng)求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.24.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)E在邊AD上,且CB=CE,點(diǎn)F是射線ED上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠ECF的平分線CG交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.(1)若∠EBC=70°,∠ECF=38°,求∠G的度數(shù).(2)在動(dòng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,的值是否發(fā)生變化?若不變,求出它的值,若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.25.平面內(nèi),點(diǎn)B為△ACD外一點(diǎn),連接BA、BC,∠ABC=19°,∠ADC=45°.(1)如圖1,∠BAD和∠BCD的角平分線交于點(diǎn)M,直接寫出∠AMC的度數(shù)為.(2)如圖2,點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上,∠DAE的平分線和∠BCD平分線交于點(diǎn)F,求∠AFC的大?。?)如圖3,在(2)的條件下,延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)I,且3∠EAG+2∠FCI=199°,過(guò)點(diǎn)D作射線DH⊥AC,交射線BA于點(diǎn)E,交AI于點(diǎn)G,當(dāng)AH:AC=3:5,HG:HD=1:6,S△AGH=,CD=4時(shí),求GI的長(zhǎng).
參考答案一、單選題:本大題共10小題,每小題3分,共30分。1.以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng),能構(gòu)成直角三角形的是()A.5、6、7 B.10、8、4 C.7、24、25 D.9、15、17【分析】欲求證是否為直角三角形,這里給出三邊的長(zhǎng),只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可.解:A、52+362≠72,不能構(gòu)成直角三角形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、42+82≠102,不能構(gòu)成直角三角形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、72+242=252,能構(gòu)成直角三角形,故本選項(xiàng)正確;D、92+152≠172,不能構(gòu)成直角三角形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的逆定理.判斷三角形是否為直角三角形,已知三角形三邊的長(zhǎng),只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.勾股定理的逆定理:若三角形三邊滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,AC=2,則BC的值()A. B. C. D.【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,AC=2,∴BC===,故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理,熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.3.判斷下列三條線段a,b,c組成的三角形不是直角三角形的是()A.a(chǎn)=4,b=5,c=3 B.a(chǎn)=7,b=25,c=24 C.a(chǎn)=40,b=50,c=60 D.a(chǎn)=5,b=12,c=13【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.解:A、∵32+42=52,∴由線段a,b,c組成的三角形是直角三角形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、∵72+242=252,∴由線段a,b,c組成的三角形是直角三角形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、∵402+502≠602,∴由線段a,b,c組成的三角形不是直角三角形,故本選項(xiàng)正確;D、∵52+122=132,∴由線段a,b,c組成的三角形不是直角三角形,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理,熟知在任何一個(gè)直角三角形中,兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵.4.如圖所示,在Rt△ABC中,AB=8,AC=6,∠CAB=90°,AD⊥BC,那么AD的長(zhǎng)為()A.1 B.2 C.3 D.4.8【分析】先根據(jù)AB=8,AC=6,∠CAB=90°,利用勾股定理可求BC,再根據(jù)S△ABC=AC?AB=BC?AD,可求AD.解:如右圖所示,在Rt△ABC中,AB=8,AC=6,∠CAB=90°,∴BC===10,又∵S△ABC=AC?AB=BC?AD,∴6×8=10AD,∴AD=4.8.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理.注意直角三角形面積的兩種求法,等于兩直角邊乘積的一半,也等于斜邊乘以斜邊上高的積的一半.5.如圖所示,有一塊直角三角形紙片,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,將斜邊AB翻折,使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處,折痕為AD,則CE的長(zhǎng)為()A.1cm B.1.5cm C.2cm D.3cm【分析】根據(jù)勾股定理可將斜邊AB的長(zhǎng)求出,根據(jù)折疊的性質(zhì)知,AE=AB,已知AC的長(zhǎng),可將CE的長(zhǎng)求出.解:在Rt△ABC中,AB===5根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:AE=AB=5∵AC=4∴CE=AE﹣AC=1即CE的長(zhǎng)為1故選:A.【點(diǎn)評(píng)】將圖形進(jìn)行折疊后,兩個(gè)圖形全等,是解決折疊問(wèn)題的突破口.6.如圖,點(diǎn)P是∠BAC的平分線AD上一點(diǎn),PE⊥AC于點(diǎn)E,且PE=3,AP=5,點(diǎn)F在邊AB上運(yùn)動(dòng),當(dāng)運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)△FAP面積恰好是△EAP面積的2倍,則此時(shí)AF的長(zhǎng)是()A.10 B.8 C.6 D.4【分析】作PH⊥AB于H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.解:作PH⊥AB于H,∵點(diǎn)P是∠BAC的平分線上一點(diǎn),PE⊥AC,PH⊥AB,∴PH=PE,由勾股定理得,AE==4,∵△FAP面積是△EAP面積的2倍,∴AF=2AE=8,故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì),三角形的面積計(jì)算,掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.7.直角三角形的兩邊長(zhǎng)m,n滿足,則第三邊長(zhǎng)是()A.5 B.5或 C.4或 D.4【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出m,n,再分兩種情況根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題.解:∵,∴(m﹣3)2+=0.∴m﹣3=0且2n﹣8=0.∴m=3,n=4.①n=4為斜角邊時(shí),則第三邊長(zhǎng)為:=;②n=4為直角邊時(shí),則第三邊長(zhǎng)為:=5;綜上所述,第三邊長(zhǎng)為5或.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì),勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),屬于中考??碱}型.8.如圖是一個(gè)正六棱柱的主視圖和左視圖,則圖中的a=()A. B. C.2 D.1【分析】由正六棱柱的主視圖和左視圖,可得到正六棱柱的邊長(zhǎng)為2,求a的值可結(jié)合俯視圖來(lái)解答,如下圖.解:由正六棱柱的主視圖和左視圖,可得到正六棱柱的最長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)是4,則邊長(zhǎng)為2,作AD⊥BC于D,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,∴在直角△ABD中,∠ABD=30°,AD=1,∴BD===.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正六棱柱的三視圖,注意題目中的隱含條件及左視圖的特點(diǎn),可將其轉(zhuǎn)化到直角三角形中解答.培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力.9.已知:如圖在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,點(diǎn)C,D,E三點(diǎn)在同一條直線上,連接BD,BE.以下四個(gè)結(jié)論:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE2=2(AD2+AB2),其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4【分析】①由AB=AC,AD=AE,利用等式的性質(zhì)得到夾角相等,利用SAS得出三角形ABD與三角形ACE全等,由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到BD=CE;②由三角形ABD與三角形ACE全等,得到一對(duì)角相等,再利用等腰直角三角形的性質(zhì)及等量代換得到BD垂直于CE;③由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABD+∠DBC=45°,等量代換得到∠ACE+∠DBC=45°;④由BD垂直于CE,在直角三角形BDE中,利用勾股定理列出關(guān)系式,等量代換即可作出判斷.解:①∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,∵在△BAD和△CAE中,,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE,故①正確;②∵△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE,∵∠ABD+∠DBC=45°,∴∠ACE+∠DBC=45°,∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°,則BD⊥CE,故②正確;③∵△ABC為等腰直角三角形,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABD+∠DBC=45°,∵∠ABD=∠ACE∴∠ACE+∠DBC=45°,故③正確;④∵BD⊥CE,∴在Rt△BDE中,利用勾股定理得:BE2=BD2+DE2,∵△ADE為等腰直角三角形,∴DE=AD,即DE2=2AD2,∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2,而BD2≠2AB2,故④錯(cuò)誤,綜上,正確的個(gè)數(shù)為3個(gè).故選:C.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,以及等腰直角三角形的性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.10.如圖,點(diǎn)E在△DBC的邊DB上,點(diǎn)A在△DBC內(nèi)部,∠DAE=∠BAC=90°,AD=AE,AB=AC.給出下列結(jié)論:①BD=CE;②∠ABD+∠ECB=45°;③BD⊥CE;④BE2=2(AD2+AB2)﹣CD2.其中不正確的結(jié)論有()個(gè).A.3 B.2 C.1 D.0【分析】只要證明△DAB≌△EAC,利用全等三角形的性質(zhì)即可一一判斷;解:∵∠DAE=∠BAC=90°,∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE,AB=AC,∴△DAB≌△EAC(SAS),∴BD=CE,∠ABD=∠ECA,故①結(jié)論正確,∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°,故②結(jié)論正確,∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°,∴∠CEB=90°,即BD⊥CE,故③結(jié)論正確,∴BE2=BC2﹣EC2=2AB2﹣(CD2﹣DE2)=2AB2﹣CD2+2AD2=2(AD2+AB2)﹣CD2.故④結(jié)論正確,∴不正確的結(jié)論有0個(gè).故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分。11.把兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置,其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A,且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)B,C,D在同一直線上.若AB=,則CD=﹣1.【分析】先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC=2,BF=AF=1,再利用勾股定理求出DF,即可得出結(jié)論.解:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F,在Rt△ABC中,∠B=45°,∴BC=AB=2,BF=AF=AB=1,∵兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺,∴AD=BC=2,在Rt△ADF中,根據(jù)勾股定理得,DF==∴CD=BF+DF﹣BC=1+﹣2=﹣1,故答案為:﹣1.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理,等腰直角三角形的性質(zhì),正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵.12.如圖,已知AB是線段CD的垂直平分線,E是AB上一點(diǎn),如果EC=10,EF=8,那么DF=6.【分析】根據(jù)勾股定理求出CF,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DF=CF,得到答案.解:∵CD⊥AB,EC=10,EF=8,∴CF==6,∵AB是線段CD的垂直平分線,∴DF=CF=6,故答案為:6.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì),掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.13.如圖,在3×3的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)A,B,C均為格點(diǎn),以點(diǎn)A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑作弧,交格線于點(diǎn)D,則CD的長(zhǎng)為3﹣.【分析】由勾股定理求出AB,再由勾股定理求出DE,即可得出CD的長(zhǎng).解:連接AB,AD,如圖所示:∵AD=AB==2,∴DE==,∴CD=3﹣.故答案為:3﹣.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理,由勾股定理求出AB,DE是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.14.在四邊形ABCD中,已知△ABC是等邊三角形,∠ADC=30°,AD=3,BD=5,則邊CD的長(zhǎng)為4.【分析】延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=CD,連接CE.通過(guò)證明△BCD≌△ACE,可得出BD=AE,從而得出CD的值.解:在CD外側(cè)作等邊三角形△CDE,連接AE,則∠ADE=90°,DE=CD,∠DCE=60,在△ACE和△BCD中,∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD,∴在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2,其中AD=3,AE=BD=5,則CD=DE=4.故答案為:4.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì),正確的作出輔助線構(gòu)造全等是解題的關(guān)鍵.15.如圖,∠BAC=90°,AB=AC,AE⊥AD,且AE=AD,AF平分∠DAE交BC于F,若BD=6,CF=8,則線段AD的長(zhǎng)為6.【分析】連接EF,作AG⊥BC于點(diǎn)G,由等腰直角三角形的性質(zhì)得∠B=∠ACB=45°,BG=CG,則AG=BG=CG=BC,可證明△ACE≌△ABD,得CE=BD=6,∠ACE=∠B=45°,則∠ECF=90°,所以EF==10,再證明△EAF≌△DAF,得EF=DF=10,即可求得BC=24,則AG=BG=BC=12,DG=6,根據(jù)勾股定理求得AD=6.解:連接EF,作AG⊥BC于點(diǎn)G,則∠ADG=90°,∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,BG=CG,∴AG=BG=CG=BC,∵AE⊥AD,∴∠DAE=90°,∴∠CAE=∠BAD=90°﹣∠CAD,在△ACE和△ABD中,,∴△ACE≌△ABD(SAS),∴CE=BD=6,∠ACE=∠B=45°,∴∠ECF=∠ACE+∠ACB=90°,∵CF=8,∴EF===10,∵AF平分∠DAE交BC于F,∴∠EAF=∠DAF,在△EAF和△DAF中,,∴△EAF≌△DAF(SAS),∴EF=DF=10,∴BC=BD+DF+CF=6+10+8=24,∴AG=BG=BC=×24=12,∴DG=BG﹣BD=12﹣6=6,∴AD===6,故答案為:6.【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.16.如圖,∠BAC=90度,AB=AC,AE⊥AD,且AE=AD,AF平分∠DAE交BC于F,若BD=6,CF=8,則線段AD的長(zhǎng)為6.【分析】由“SAS”可證△ABD≌△ACE,△DAF≌△EAF可得BD=CE,∠4=∠B,DF=EF,由勾股定理可求EF的長(zhǎng),即可求BC的長(zhǎng),由勾股定理可求AD的長(zhǎng).解:如圖,連接EF,過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G,∵AE⊥AD,∴∠DAE=∠DAC+∠2=90°,又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°,∴∠1=∠2,在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD=CE,∠4=∠B∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠3=45°∴∠4=∠B=45°,∴∠ECF=∠3+∠4=90°,∴CE2+CF2=EF2,∴BD2+FC2=EF2,∵AF平分∠DAE,∴∠DAF=∠EAF,在△DAF和△EAF中,∴△DAF≌△EAF(SAS).∴DF=EF.∴BD2+FC2=DF2.∴DF2=BD2+FC2=62+82=100,∴DF=10∴BC=BD+DF+FC=6+10+8=24,∵AB=AC,AG⊥BC,∴BG=AG=BC=12,∴DG=BG﹣BD=12﹣6=6,∴AD==6故答案為:6【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.17.如圖,在矩形ABCD中,AD=3,將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到矩形AEFG,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在CD上,且DE=EF,則AB的長(zhǎng)為3.【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=EF,AB=AE,再由DE=EF,等量代換得到AD=DE,即三角形AED為等腰直角三角形,利用勾股定理求出AE的長(zhǎng),即為AB的長(zhǎng).解:由旋轉(zhuǎn)得:AD=EF,AB=AE,∠D=90°,∵DE=EF,∴AD=DE,即△ADE為等腰直角三角形,根據(jù)勾股定理得:AE==3,則AB=AE=3,故答案為:3【點(diǎn)評(píng)】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),矩形的性質(zhì),熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.三、解答題:第18,19.20小題5分,第21,22,23小題9分,第24,25小題10分。18.如圖所示,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC邊上的中線AD=6,求BC的長(zhǎng).【分析】延長(zhǎng)AD到E使AD=DE,連接CE,證△ABD≌△ECD,求出AE和CE的長(zhǎng),根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠E=90°,根據(jù)勾股定理求出CD即可.解:延長(zhǎng)AD到E使AD=DE,連接CE,在△ABD和△ECD中,∴△ABD≌△ECD,∴AB=CE=5,AD=DE=6,AE=12,在△AEC中,AC=13,AE=12,CE=5,∴AC2=AE2+CE2,∴∠E=90°,由勾股定理得:CD==,∴BC=2CD=2,答:BC的長(zhǎng)是2.【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中線等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,關(guān)鍵是正確地作輔助線,把已知條件轉(zhuǎn)化成一個(gè)直角三角形,題型較好.19.一個(gè)零件的形狀如圖所示,工人師傅按規(guī)定做得∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,假如這是一塊鋼板,你能幫工人師傅計(jì)算一下這塊鋼板的面積嗎?【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD與△ABC均為直角三角形,進(jìn)而可求解其面積.解:∵42+32=52,52+122=132,即AB2+BC2=AC2,故∠B=90°,同理,∠ACD=90°,∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36.答:這塊鋼板的面積等于36.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理及其逆定理,在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法,關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型,畫出準(zhǔn)確的示意圖.20.如圖,長(zhǎng)方形ABCD中,AB=8,BC=10,在邊CD上取一點(diǎn)E,將△ADE折疊后點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處(1)求CE的長(zhǎng);(2)在(1)的條件下,BC邊上是否存在一點(diǎn)P,使得PA+PE值最???若存在,請(qǐng)求出最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】(1)先判斷出AF=AD=8,進(jìn)而利用勾股定理求出BF=6,最后在Rt△ECF,利用勾股定理,即可得出結(jié)論;(2)先作出點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)E',進(jìn)而求出DE',再利用勾股定理即可得出結(jié)論.解:(1)長(zhǎng)方形ABCD中,AB=8,BC=10,∴∠B=∠BCD=90°,CD=AB=8,AD=BC=10,由折疊知,EF=DE,AF=AD=8,在Rt△ABF中,根據(jù)勾股定理得,BF==6,∴CF=BC﹣BF=4,設(shè)CE=x,則EF=DE=CD﹣CE=8﹣x,在Rt△ECF中,根據(jù)勾股定理得,CF2+CE2=EF2,∴16+x2=(8﹣x)2,∴x=3,∴CE=3;(2)如圖,延長(zhǎng)EC至E'使CE'=CE=3,連接AE'交BC于P,此時(shí),PA+PE最小,最小值為AE',∵CD=8,∴DE'=CD+CE'=8+3=11,在Rt△ADE'中,根據(jù)勾股定理得,AE'==.【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題,主要考查了折疊的性質(zhì),矩形的性質(zhì),求出CE是解本題的關(guān)鍵.21.如圖,在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),直線FG過(guò)AC上的點(diǎn)F,交BC于D,交AC上的平行線BG于點(diǎn)G,DE⊥GF,并交AB于點(diǎn)E,連接EG,EF.(1)求證:BG=CF;(2)當(dāng)點(diǎn)F位于何位置時(shí),四邊形ABGF是平行四邊形,并證明;(3)若AB=AC,AB⊥AC,求證:BE2+CF2=EF2.【分析】(1)證明△BDG≌△CDF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論;(2)根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答;(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)證明即可.【解答】(1)證明:∵D為BC的中點(diǎn),∴BD=DC,∵BG∥AC,∴∠DBG=∠C,在△BDG和△CDF中,,∴△BDG≌△CDF(ASA)∴BG=CF;(2)解:當(dāng)點(diǎn)F位于AC的中點(diǎn)時(shí),四邊形ABGF是平行四邊形,理由如下:∵AF=FC,BG=FC,∴AF=BG,又BG∥AC,∴四邊形ABGF是平行四邊形;(3)證明:AB=AC,AB⊥AC,∴∠ABC=∠C=45°,∴∠DBG=∠C=45°,∴∠EBG=90°,∴BE2+BG2=EG2,∵D為BC的中點(diǎn),DE⊥GF,∴EF=EG,∴BE2+CF2=EF2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、勾股定理,掌握一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵.22.為了綠化環(huán)境,我縣某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD,如圖所示,學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮,經(jīng)測(cè)量∠A=90°,AB=3m,DA=4m,BC=12m,CD=13m.(1)求出空地ABCD的面積.(2)若每種植1平方米草皮需要200元,問(wèn)總共需投入多少元?【分析】(1)連接BD,在直角三角形ABD中,利用勾股定理求出BD,再利用勾股定理的逆定理判斷得到三角形BCD為直角三角形,四邊形ABCD面積等于三角形ABD面積+三角形BCD面積,求出即可;(2)由(1)求出的面積,乘以200即可得到結(jié)果.解:(1)連接BD,在Rt△ABD中,BD2=AB2+AD2=32+42=52,在△CBD中,CD2=132,BC2=122,而122+52=132,即BC2+BD2=CD2,∴∠DBC=90°,則S四邊形ABCD=S△BAD+S△DBC=?AD?AB+DB?BC=×4×3+×12×5=36(平方米);(2)所以需費(fèi)用36×200=7200(元).【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理的應(yīng)用,熟練掌握勾股定理及逆定理是解本題的關(guān)鍵.23.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn).A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(m,0)、B(0,n),且,點(diǎn)P從A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AO勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)求OA、OB的長(zhǎng);(2)連接PB,若△POB的面積不大于3且不等于0,求t的范圍;(3)過(guò)P作直線AB的垂線,垂足為D,直線PD與y軸交于點(diǎn)E,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,是否存在這樣的點(diǎn)P,使△EOP≌△AOB?若存在,請(qǐng)求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】(1)根據(jù)已知得出關(guān)于mn的方程組,求出即可;(2)分為兩種情況:①當(dāng)P在線段OA上時(shí),求出三角形BOP的面積,得出不等式組,求出其解集即可;②當(dāng)P在線段OA的延長(zhǎng)線上時(shí),求出三角形BOP的面積,得出不等式組,求出其解集即可;(3)當(dāng)OP=OB=3時(shí),分為兩種情況,畫出符合條件的兩種圖形,結(jié)合圖形和全等三角形的性質(zhì)即可得出答案.解:(1)∵|m﹣n﹣3|+=0,∴m﹣n﹣3=0,2n﹣6=0,解得:n=3,m=6,∴OA=6,OB=3;(2)分為兩種情況:①當(dāng)P在線段OA上時(shí),AP=t,PO=6﹣t,∴△BOP的面積S=×(6﹣t)×3=9﹣t,∵若△POB的面積不大于3且不等于0,∴0<9﹣t≤3,解得:4≤t<6;②當(dāng)P在線段OA的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖,AP=t,PO=t﹣6,∴△BOP的面積S=×(t﹣6)×3=t﹣9,∵若△POB的面積不大于3且不等于0,∴0<t﹣9≤3,解得:6<t≤8;即t的范圍是4≤t≤8且t≠6;(3)當(dāng)OP=OB=3時(shí),分為兩種情況(如圖):第一個(gè)圖中t=3,第二個(gè)圖中AP=6+3=9,即t=9;即存在這樣的點(diǎn)P,使△EOP≌△AOB,t的值是3或9.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值,二次根式的性質(zhì),垂直定義,全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用,題目比較典型,但是有一定的難度,注意要進(jìn)行分類討論?。?4.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)E在邊AD上,且CB=CE,點(diǎn)F是射線ED上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠ECF的平分線CG交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.(1)若∠EBC=70°,∠ECF=38°,求∠G的度數(shù).(2)在動(dòng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,的值是否發(fā)生變化?若不變,求出它的值,若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】(1)先利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠CEB=∠CBE=70°,再利用角平分線的性質(zhì)可得∠GCE=19°,然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠G=∠CEB﹣∠GCE,進(jìn)行計(jì)算即可解答;(2)先利用平行線的性質(zhì)可得∠AEB=∠CBE,從而可得∠AEB=∠CEB,再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠CFE=
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