2022-2023學年湖北省武漢市洪山區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年湖北省武漢市洪山區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標號涂黑.1．一元二次方程3x2+1＝﹣6x化成一般形式后二次項系數(shù)為3，則一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）A．﹣6，1 B．6，1 C．﹣6x，1 D．6x，12．下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．把方程x2﹣4x+1＝0轉(zhuǎn)化成（x﹣m）2＝n的形式，則m，n的值是（）A．2，15 B．2，﹣1 C．2，3 D．2，54．關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣2（x+1）2+3，下列說法正確的是（）A．開口向上 B．當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小 C．有最小值3 D．頂點坐標是（﹣1，3）5．某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，已知第一季度的總營業(yè)額共1000萬元．如果平均每月增長率為x，則由題意列方程應(yīng)為（）A．200（1+x）2＝1000 B．200+200×2x＝1000 C．200（1+x）+200（1+x）2＝1000 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝10006．拋物線y＝2（x﹣1）2﹣1圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，所得圖象的解析式為y＝2x2+bx+c，則b，c的值為（）A．b＝4，c＝﹣2 B．b＝2，c＝4 C．b＝4，c＝4 D．b＝﹣12，c＝207．已知點A（3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a的圖象上，二次函數(shù)圖象與y軸的交點在正半軸，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y28．如圖所示是拋物線型的拱橋，當拱頂離水面2米時，水面寬4米，如果水面寬為2米，則水面下降（）米．A．1米 B．2米 C．3米 D．10米9．如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的兩個根，那么多項式m3+4n﹣mn+2022的值等于（）A．2018 B．2012 C．﹣2012 D．﹣201810．如圖所示，等邊△ABC邊長為6，點E是中線AD上的一個動點，連接EC，將線段EC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF．當在點E運動過程中，DF取最小值時，△CDF的面積等于（）A． B． C． D．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）將答案直接寫在答題卡指定的位置上.11．方程x2﹣4x＝0的解為．12．平面直角坐標系中，點（2，﹣3）關(guān)于原點對稱的點的坐標是．13．有一個人患了感冒，經(jīng)過兩輪傳染后共有49人患了感冒，按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪后患了感冒的人數(shù)為人．14．若拋物線y＝x2+2x+k與x軸有交點，則k的取值范圍為．15．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），滿足a＞b＞c且a+b+c＝0，下列四個結(jié)論：①ac＞0；②拋物線與x軸一定有兩個不同的公共點；③若拋物線經(jīng)過（﹣3，0），則b＝2a；④對滿足am2+bm+c＜0的任意實數(shù)m，都有a（m+3）2+b（m+3）+c＞0．其中正確的是（填寫序號）．16．如圖所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜邊AB的中點，將△ACB繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AEF，點E在CD的延長線上，若AC＝6，BC＝8，則DE的長為．三、解答題（共8小題，共72分）在答題卡指定的位置上寫出必要的演算過程或證明過程.17．（8分）解方程：（1）x2﹣3x﹣4＝0；（2）x2﹣2x﹣1＝0．18．（8分）如圖所示，在△ABC和△DEC中，AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．點E在邊AB上，若∠ACE＝2∠ECB＝52°，（1）求證：∠A＝∠D；（2）求∠AED的度數(shù)．19．（8分）口袋公園已走入百姓的生活，如圖所示，某口袋公園有一道長為16米的墻，計劃用35米長的圍欄靠墻圍成一個面積為150平方米的矩形草坪ABCD．求該矩形草坪BC邊的長．20．（8分）如圖所示，直線y＝kx與拋物線y＝ax2+bx+c交于A，B兩點：（1）若a＝1，b＝，且A（﹣4，2），求B點坐標；（2）若B（3，﹣2），且A點縱坐標等于4，直接寫出不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集為．21．（8分）如圖所示，在7×6長方形的網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為1個單位長度，我們把每個小正方形的頂點稱為格點，點A，B，C都為格點，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，使點A（1，4），C（2，3）．請用一把無刻度的直尺畫圖：（1）過點C畫一條與線段AB平行的線段CD，格點D的坐標為；（2）過點C畫一條與線段AB垂直的線段CE，格點E的坐標為；（3）畫作∠DCE的角平分線CF，格點F的坐標可以是；（4）畫∠ABM＝45°，那么格點M的坐標可以是．22．消毒洗手液與百姓生活息息相關(guān)，某藥店的消毒洗手液很暢銷．已知該消毒洗手液的進價為每瓶20元，經(jīng)市場調(diào)查，每天洗手液的銷售量y（瓶）與銷售單價x（元/瓶）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)記錄如表所示：x（元/瓶）22242627y（瓶）90807065（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（不需要寫自變量x的取值范圍）（2）若該藥店每天想從這批消毒洗手液的銷售中獲利375元，又想盡量給顧客實惠，問這批消毒洗手液每瓶的售價為多少元？（3）該藥店上級主管部門規(guī)定，消毒洗手液的每瓶利潤不允許高于進價的30%，設(shè)這種消毒洗手液每天的總利潤為w（元），那么售價定為多少元時該藥店可獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？23．如圖所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．（1）如圖1所示，若D是△ABC內(nèi)一點，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連結(jié)AD，BE，求證：AD＝BE；（2）如圖2所示，若D是△ABC外一點，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，且AE＝AB，求證：BD＝CD；（3）如圖3所示，若O是斜邊AB的中點，M為BC下方一點，且OM＝，CM＝7，∠BMC＝45°，則BM＝．24．（12分）如圖1所示，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求△ABC的面積；（2）如圖2所示，點P是拋物線上第一象限的一點，且∠PAB＝∠ACO，求點P的坐標；（3）若點N是直線y＝2上一點，請在圖3中探究：拋物線在x軸上方的部分上是否存在點M，使得△CMN是以點M為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

2022-2023學年湖北省武漢市洪山區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標號涂黑.1．一元二次方程3x2+1＝﹣6x化成一般形式后二次項系數(shù)為3，則一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（）A．﹣6，1 B．6，1 C．﹣6x，1 D．6x，1【分析】根據(jù)一元二次方程的一般式即可求出答案．解：化為一般式為：3x2+6x+1＝0，故一次項系數(shù)為6，常數(shù)項為1．故選：B．2．下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，進行判斷即可．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．解：A．該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意．故選：B．3．把方程x2﹣4x+1＝0轉(zhuǎn)化成（x﹣m）2＝n的形式，則m，n的值是（）A．2，15 B．2，﹣1 C．2，3 D．2，5【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，進行計算即可解答．解：x2﹣4x+1＝0，x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝﹣1+4，（x﹣2）2＝3，∴m＝2，n＝3，故選：C．4．關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣2（x+1）2+3，下列說法正確的是（）A．開口向上 B．當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小 C．有最小值3 D．頂點坐標是（﹣1，3）【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向及頂點坐標，進而求解．解：∵y＝﹣2（x+1）2+3，∴拋物線開口向下，對稱軸為值x＝﹣1，頂點坐標為（﹣1，3），∴函數(shù)最大值為3，x＜﹣1時，y隨x增大而增大，故選：D．5．某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，已知第一季度的總營業(yè)額共1000萬元．如果平均每月增長率為x，則由題意列方程應(yīng)為（）A．200（1+x）2＝1000 B．200+200×2x＝1000 C．200（1+x）+200（1+x）2＝1000 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000【分析】先得到二月份的營業(yè)額，三月份的營業(yè)額，等量關(guān)系為：一月份的營業(yè)額+二月份的營業(yè)額+三月份的營業(yè)額＝1000萬元，把相關(guān)數(shù)值代入即可．解：∵一月份的營業(yè)額為200萬元，平均每月增長率為x，∴二月份的營業(yè)額為200×（1+x），∴三月份的營業(yè)額為200×（1+x）×（1+x）＝200×（1+x）2，∴可列方程為200+200×（1+x）+200×（1+x）2＝1000，即200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000．故選：D．6．拋物線y＝2（x﹣1）2﹣1圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，所得圖象的解析式為y＝2x2+bx+c，則b，c的值為（）A．b＝4，c＝﹣2 B．b＝2，c＝4 C．b＝4，c＝4 D．b＝﹣12，c＝20【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的規(guī)律求出平移后的拋物線的頂點坐標，再利用頂點式形式寫出解析式，然后整理成二次函數(shù)的一般形式，最后根據(jù)對應(yīng)項系數(shù)相等解答．解：拋物線y＝2（x﹣1）2﹣1圖象向左平移2個單位，再向上平移3個單位，所得圖象的解析式為：y＝2（x﹣1+2）2﹣1+3，即y＝2x2+4x+4，∴b＝4，c＝4．故選：C．7．已知點A（3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a的圖象上，二次函數(shù)圖象與y軸的交點在正半軸，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2【分析】求出拋物線的對稱軸H和開口方向，然后關(guān)鍵二次函數(shù)的對稱性和增減性，即可求出答案．解：∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴對稱軸是直線x＝﹣＝1，∵二次函數(shù)圖象與y軸的交點在正半軸，∴﹣3a＞0，∴a＜0，∴二次函數(shù)的開口向下，即在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小，∵B（﹣2，y2）關(guān)于直線x＝1的對稱點為（4，y2），且1＜2＜3＜4，∴y3＞y1＞y2，故選：B．8．如圖所示是拋物線型的拱橋，當拱頂離水面2米時，水面寬4米，如果水面寬為2米，則水面下降（）米．A．1米 B．2米 C．3米 D．10米【分析】根據(jù)已知得出直角坐標系，進而求出二次函數(shù)解析式，再把x＝代入拋物線解析式得出水面高度，即可得出答案．解：建立平面直角坐標系如圖所示，由題意可得：頂點坐標為（0，0），設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，把點坐標（﹣2，﹣2）代入得出：a＝﹣，所以拋物線解析式為y＝﹣0.5x2，當x＝時，y＝﹣0.5x2＝﹣3，所以水面高度下降3﹣2＝1（米），故選：C．9．如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的兩個根，那么多項式m3+4n﹣mn+2022的值等于（）A．2018 B．2012 C．﹣2012 D．﹣2018【分析】先利用一元二次方程解的定義得到m2＝﹣m+3，再用m表示出m3＝4m﹣3，則原式化簡為4（m+n）﹣mn+2019，接著利用根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n＝﹣1，mn＝﹣3，然后利用整體代入的方法計算．解：∵m、n是一元二次方程x2+x＝3的兩個實數(shù)根，∴m2+m﹣3＝0，∴m2＝﹣m+3，∴m3＝m（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（﹣m+3）+3m＝4m﹣3，∴m3+4n﹣mn+2022＝4m﹣3+4n﹣mn+2022＝4（m+n）﹣mn+2019，∵m、n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩個實數(shù)根，∴m+n＝﹣1，mn＝﹣3，∴原式＝4×（﹣1）﹣（﹣3）+2019＝﹣4+3+2019＝2018．故選：A．10．如圖所示，等邊△ABC邊長為6，點E是中線AD上的一個動點，連接EC，將線段EC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到FC，連接DF．當在點E運動過程中，DF取最小值時，△CDF的面積等于（）A． B． C． D．【分析】取AC的中點G，連接EG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得CD＝CG，再求出∠DCF＝∠GCE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE＝CF，然后利用“邊角邊”證明△DCF和△GCE全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF＝EG，然后根據(jù)垂線段最短可得EG⊥AD時最短，再根據(jù)∠CAD＝30°求解即可．解：如圖，取AC的中點G，連接EG，∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴∠ECD+∠DCF＝60°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD是等邊△ABC的對稱軸，∴CD＝BC＝3，AD＝CD＝3，∴CD＝CG，又∵CE旋轉(zhuǎn)到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，S△DCF＝S△GCE，根據(jù)垂線段最短，EG⊥AD時，EG最短，即DF最短，此時∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×6＝3，∴EG＝AG＝×3＝，AE＝EG＝，∴DE＝AD﹣AE＝3﹣＝，∴S△GCE＝EG?DE＝×＝，∴S△DCF＝，故選：D．二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）將答案直接寫在答題卡指定的位置上.11．方程x2﹣4x＝0的解為x1＝0，x2＝4．【分析】x2﹣4x提取公因式x，再根據(jù)“兩式的乘積為0，則至少有一個式子的值為0”求解．解：x2﹣4x＝0x（x﹣4）＝0x＝0或x﹣4＝0x1＝0，x2＝4故答案是：x1＝0，x2＝4．12．平面直角坐標系中，點（2，﹣3）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（﹣2，3）．【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標特點：兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反可直接得到答案．解：點P（2，﹣3）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（﹣2，3），故答案為：（﹣2，3）．13．有一個人患了感冒，經(jīng)過兩輪傳染后共有49人患了感冒，按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪后患了感冒的人數(shù)為343人．【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有x（1+x）人被傳染，根據(jù)“有一個人患了感冒，經(jīng)過兩輪傳染后共有49人患了感冒”，列出一元二次方程，解之取其正值，即可解決問題．解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，第一輪傳染中有x人被傳染，第二輪傳染中有x（1+x）人被傳染，依題意得：1+x+x（1+x）＝49，解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合題意，舍去）．即每輪傳染中平均一個人傳染了6個人．則49×（1+6）＝343，即經(jīng)過三輪后患了感冒的人數(shù)為343人，故答案為：343．14．若拋物線y＝x2+2x+k與x軸有交點，則k的取值范圍為k≤1．【分析】拋物線與x軸有交點，則Δ≥0，進而求解．解：若拋物線y＝x2+2x+k與x軸有交點，則Δ＝22﹣4k≥0，解得k≤1，故答案為：k≤1．15．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)），滿足a＞b＞c且a+b+c＝0，下列四個結(jié)論：①ac＞0；②拋物線與x軸一定有兩個不同的公共點；③若拋物線經(jīng)過（﹣3，0），則b＝2a；④對滿足am2+bm+c＜0的任意實數(shù)m，都有a（m+3）2+b（m+3）+c＞0．其中正確的是②③④（填寫序號）．【分析】①根據(jù)a＞b＞c，a+b+c＝0，通過正、負來判斷；②通過Δ＝b2﹣4ac＞0即可判斷；③根據(jù)題意得到對稱軸即可判斷；④根據(jù)數(shù)形結(jié)合，利用拋物線與x軸的交點及與一元二次不等式的關(guān)系得出結(jié)論．解：∵a＞b＞c，a+b+c＝0，a≠0，∴a、b、c中有正、負，∵c為最小，a為最大，∴c＜0，a＞0，∴ac＜0，故選項①錯誤，不符合題意；∵a＞0，c＜0，∴b2﹣4ac＞0，∴拋物線與x軸一定有兩個不同的公共點，故選項②正確，符合題意；∵a+b+c＝0，∴圖象一定經(jīng)過（1，0），若拋物線經(jīng)過（﹣3，0），則對稱軸為直線x＝﹣＝＝﹣1，∴b＝2a，故選項③正確，符合題意；如圖所示，設(shè)拋物線與x軸的交點為A（1，0），B（x1，0），分兩種情況：i）當a＞0，b＞0，c＜0時，拋物線對稱軸在y軸的左側(cè)，如圖1，∵a+b+c＝0，∴a+b＝﹣c，當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝a﹣b﹣a﹣b＝﹣2b＜0，當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c＝4a﹣2b﹣a﹣b＝3a﹣3b＝3（a﹣b），∵a＞b，∴a﹣b＞0，∴y＞0，∵A（1，0），∴AB＜3，∴當滿足am2+bm+c＜0時，即當x＝m時，y＜0，此時﹣2＜m＜1，∴m+3＞1，則當x＝m+3時，y＞0，∴a（m+3）2+b（m+3）+c＞0，ii）當a＞0，b＜0，c＜0，拋物線對稱軸在y軸的右側(cè)，如圖2，∴a＝﹣b﹣c，當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝﹣b﹣c﹣b+c＝﹣2b＞0，∴AB＜2，∴當am2+bm+c＜0時，即當x＝m時，y＜0，此時﹣1＜m＜1，∴m+3＞2，則當x＝m+3時，y＞0，∴a（m+3）2+b（m+3）+c＞0，故選項④正確，符合題意；故答案為：②③④．16．如圖所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜邊AB的中點，將△ACB繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AEF，點E在CD的延長線上，若AC＝6，BC＝8，則DE的長為．【分析】過點A作AH⊥CE于點H，根據(jù)勾股定理可得AB的長，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得CD的長，根據(jù)S△ACD＝S△ABC，，可得AH的長，根據(jù)勾股定理可得CH的長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進一步可得CE的長．解：過點A作AH⊥CE于點H，如圖所示：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，根據(jù)勾股定理，得AB＝10，∵D是AB的中點，∴CD＝AB＝5，∵S△ACD＝S△ABC，∴CD?AH＝AC?BC，即×5?AH＝×6×8，解得AH＝，∵AC＝6，根據(jù)勾股定理，可得CH＝，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得AC＝AE，∴點H是CE的中點，∴CE＝2CH＝，故答案為：．三、解答題（共8小題，共72分）在答題卡指定的位置上寫出必要的演算過程或證明過程.17．（8分）解方程：（1）x2﹣3x﹣4＝0；（2）x2﹣2x﹣1＝0．【分析】（1）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于x的一元一次方程，再進一步求解即可；（2）將一次項移到方程的左邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開方即可得．解：（1）x2﹣3x﹣4＝0，（x+1）（x﹣4）＝0，∴x+1＝0或x﹣4＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4；（2）x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣．18．（8分）如圖所示，在△ABC和△DEC中，AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．點E在邊AB上，若∠ACE＝2∠ECB＝52°，（1）求證：∠A＝∠D；（2）求∠AED的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)SSS證明△ABC≌△DEC即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)∠ACE＝2∠ECB＝52°結(jié)合△ABC≌△DEC，推出∠CED＝∠B＝∠CEB＝77°，即可求解．【解答】（1）證明：在△ABC與△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SSS），∴∠A＝∠D；（2）解：∵∠ACE＝2∠ECB＝52°，∴∠ECB＝26°，∵CE＝CB，∴∠CEB＝∠B＝＝＝77°，由（1）知，△ABC≌△DEC，∴∠CED＝∠B＝77°，∴∠AED＝180°﹣∠CED﹣∠CEB＝180°﹣77°﹣77°＝26°．19．（8分）口袋公園已走入百姓的生活，如圖所示，某口袋公園有一道長為16米的墻，計劃用35米長的圍欄靠墻圍成一個面積為150平方米的矩形草坪ABCD．求該矩形草坪BC邊的長．【分析】可設(shè)矩形草坪BC邊的長為x米，則AB的長是米，根據(jù)長方形的面積公式列出一元二次方程求解解：設(shè)BC邊的長為x米，則AB＝CD＝米，根據(jù)題意得：?x＝150，解得：x1＝15，x2＝20，∵20＞16，∴x2＝20不合題意，舍去，答：矩形草坪BC邊的長為15米．20．（8分）如圖所示，直線y＝kx與拋物線y＝ax2+bx+c交于A，B兩點：（1）若a＝1，b＝，且A（﹣4，2），求B點坐標；（2）若B（3，﹣2），且A點縱坐標等于4，直接寫出不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集為﹣6＜x＜3．【分析】（1）把A點的坐標分別代入直線和拋物線的解析式即可求得k＝﹣，c＝﹣8，然后兩解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求得點B的坐標；（2）利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，進而求得點A的坐標，然后觀察圖象即可求得不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集．解：（1）∵直線y＝kx與拋物線y＝ax2+bx+c交于A，B兩點，a＝1，b＝，A（﹣4，2），∴2＝﹣4k，16﹣6+c＝2，解得k＝﹣，c＝﹣8，∴直線為y＝﹣x，拋物線為y＝x2+x﹣8，由解得或，∴B（2，﹣1）；（2）∵直線y＝kx經(jīng)過點B（3，﹣2），∴﹣2＝3k，解得k＝﹣，∴直線為y＝﹣x，把y＝4代入y＝﹣x得，4＝﹣x，∴x＝﹣6，∴A（﹣6，4），由圖象可知，當﹣6＜x＜3時，拋物線y＝ax2+bx+c在直線的下方，∴不等式ax2+（b+）x+c＜0的解集為﹣6＜x＜3，故答案為：﹣6＜x＜3．21．（8分）如圖所示，在7×6長方形的網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為1個單位長度，我們把每個小正方形的頂點稱為格點，點A，B，C都為格點，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，使點A（1，4），C（2，3）．請用一把無刻度的直尺畫圖：（1）過點C畫一條與線段AB平行的線段CD，格點D的坐標為（5，4）；（2）過點C畫一條與線段AB垂直的線段CE，格點E的坐標為（3，0）；（3）畫作∠DCE的角平分線CF，格點F的坐標可以是（6，1）或（4，2）；（4）畫∠ABM＝45°，那么格點M的坐標可以是（2，1）或（3，3）或（1，﹣1）．【分析】（1）利用點A和C的坐標確定平移的方向與距離，然后利用此平移規(guī)律得到D點坐標，再描點即可；（2）把CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，則CE⊥AB，從而得到E點坐標；（3）把EC繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF或取DE的中點得到F點，然后寫出對應(yīng)的坐標即可；（4）把DE平移使點D與B點重合，則平移后的線段（或線段的延長線）上的格點為M點．解：（1）如圖，CD為所作，D點坐標為（5，4）．故答案為：（5，4）．（2）如圖，CE為所作，E點坐標為（3，0）．故答案為：（3，0）．（3）如圖，CF為所作，F(xiàn)點的坐標可以為（6，1）或（4，2）．故答案為：（6，1）或（4，2）．（4）如圖，點M為所作，M點的坐標為（2，1）或（3，3）或（1，﹣1）．故答案為：（2，1）或（3，3）或（1，﹣1）．22．消毒洗手液與百姓生活息息相關(guān)，某藥店的消毒洗手液很暢銷．已知該消毒洗手液的進價為每瓶20元，經(jīng)市場調(diào)查，每天洗手液的銷售量y（瓶）與銷售單價x（元/瓶）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)記錄如表所示：x（元/瓶）22242627y（瓶）90807065（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（不需要寫自變量x的取值范圍）（2）若該藥店每天想從這批消毒洗手液的銷售中獲利375元，又想盡量給顧客實惠，問這批消毒洗手液每瓶的售價為多少元？（3）該藥店上級主管部門規(guī)定，消毒洗手液的每瓶利潤不允許高于進價的30%，設(shè)這種消毒洗手液每天的總利潤為w（元），那么售價定為多少元時該藥店可獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）由題意得：375＝（x﹣20）（﹣5x+200），即可求解；（3）由題意得：w＝（x﹣20）（﹣5x+200）＝﹣5（x﹣40）（x﹣20），再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．解：（1）設(shè)銷售量y（瓶）與銷售單價x（元/瓶）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系為y＝kx+b，在表格取點（22，90）、（24，80）代入上式得：，解得，故函數(shù)的表達式為y＝﹣5x+200；（2）由題意得：375＝（x﹣20）（﹣5x+200），解得：x＝35或25，考慮到盡量給顧客實惠，則x＝35舍去，故x＝25，即這批消毒洗手液每瓶的售價為25元；（3）消毒洗手液的每瓶利潤不允許高于進價的30%，即x≤20（1+30%）＝26，由題意得：w＝（x﹣20）（﹣5x+200）＝﹣5（x﹣40）（x﹣20），則函數(shù)的對稱軸為x＝（40+20）＝30，∵﹣5＜0，故當x＜30時，w隨x的增大而增大，∴當x＝26時，w有最大值為420，故售價定為26元時該藥店可獲得的利潤最大，最大利潤420元．23．如圖所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．（1）如圖1所示，若D是△ABC內(nèi)一點，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連結(jié)AD，BE，求證：AD＝BE；（2）如圖2所示，若D是△ABC外一點，將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，且AE＝AB，求證：BD＝CD；（3）如圖3所示，若O是斜邊AB的中點，M為BC下方一點，且OM＝，CM＝7，∠BMC＝45°，則BM＝5．【分析】（1）由等腰直角三角形性質(zhì)得AC＝BC，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CD＝CE，∠DCE＝90°，然后由SAS證△∠ACD≌△BCE，即可得出結(jié)論；（2）連接AD、BE，AD交BE于點O，AD交BC于點N，連接DE，證△ACD≌△BCE（SAS），得∠DAC＝∠EBC，再證AD⊥BE，則OE＝OB，然后由等腰三角形的性質(zhì)得DE＝BD，即可得出結(jié)論；（3）過點O作OP⊥OM，且OP＝OM，連接PM、PC，并延長PC交BM于點Q，交QM于點H，連接OC，證△POC≌△MOB（SAS），得CP＝BM，∠OPC＝∠OMB，再證∠PQM＝∠POM＝90°，則△CMQ是等腰直角三角形，得CQ＝MQ＝，設(shè)PC＝x，則PQ＝（x+），然后在Rt△PQM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CD＝CE，∠DCE＝90°，∵∠ACD+∠DCB＝90°，∠BCE+∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△∠ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）證明：如圖2，連接AD、BE，AD交BE于點O，AD交BC于點N，連接DE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：CD＝CE，∠DCE＝90°，∴△DCE是等腰直角三角形，∴DE＝CD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠DCB＝∠DCE+∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠DAC＝∠EBC，∵∠ANC＝∠BNO，∴∠ACN＝∠BON，∵∠ACB＝90°，∴∠BOA＝90°，即AD⊥BE，∵AE＝AB，∴OE＝OB，∴DE＝BD，∴BD＝CD；（3）解：如圖3，過點O作OP⊥OM，且OP＝OM，連接PM、